Để áp dụng các phương pháp nghiên cứu định lượng, cần xây dựng một mô hình toán học của tác nghiệp. Khi xây dựng mô hình, tác nghiệp thường được đơn giản hóa và lược đồ hóa, còn lược đồ thu được được mô tả bằng các công cụ toán học. Mô hình của một tác nghiệp là một mô tả toán học đủ chính xác về tác nghiệp, được biểu diễn qua các hàm số, phương trình, hệ phương trình và bất phương trình. Hiệu quả của một tác nghiệp là mức độ đạt được mục tiêu của nó.
Phát biểu tổng quát của bài toán vận trù học
Trong vận trù học, một tình huống quản lý bao hàm mục tiêu và quyết định. Các quyết định được đưa ra để đạt được mục tiêu. Tình huống quản lý được mô tả bằng một mô hình. Mô hình chứa một thước đo hiệu quả, qua đó xác định một quyết định gần với mục tiêu đến mức nào. Thước đo hiệu quả phụ thuộc vào các yếu tố ảnh hưởng đến tác nghiệp. Tất cả các yếu tố được đưa vào mô tả của một tác nghiệp có thể được chia thành hai nhóm: các yếu tố hằng định không thể tác động được, và các yếu tố có thể điều khiển.
Các thành phần khái niệm của mô hình được biểu diễn dưới dạng “hộp đen”, trong đó trọng tâm chính là xác định đầu vào và đầu ra. Đầu vào là những gì mô hình xử lý; đầu ra là những gì mô hình tạo ra. Các biến điều khiển được và không điều khiển được đều được cung cấp dưới dạng đầu vào. Đầu ra là tiêu chí hiệu quả. Mô hình chứa một thước đo hiệu quả rõ ràng, qua đó xác định một quyết định gần với mục tiêu đến mức nào. Khi xây dựng một mô hình, điều quan trọng là phải chỉ rõ các tham số đầu vào sẽ ảnh hưởng như thế nào đến thước đo đã nêu.
Tiêu chí hiệu quả, được biểu diễn bằng một hàm số nhất định gọi là hàm mục tiêu, phụ thuộc vào các yếu tố của cả hai nhóm. Biểu thức toán học của tiêu chí hiệu quả được gọi là hàm mục tiêu. Hàm mục tiêu là một thước đo hiệu quả được phát biểu (hình thức hóa) bằng toán học, cần được cực đại hóa hoặc cực tiểu hóa.
Các biến điều khiển được là những tham số do người ra quyết định quản lý.
Các biến không điều khiển được là các yếu tố bên ngoài mà người quản lý không thể kiểm soát, nhưng lại có vai trò thiết yếu đối với việc đạt được các mục tiêu.
Tiêu chí hiệu quả, hay hàm mục tiêu, là một hàm của các biến quyết định, biểu diễn mức độ xấp xỉ với mục tiêu.
Định nghĩa mô hình toán học: mô hình toán học được hiểu là bất kỳ toán tử nào, khi cho các giá trị tương ứng của các tham số đầu vào, sẽ xác lập các giá trị đầu ra của các tham số của đối tượng được mô hình hóa, trong phạm vi tập hợp các giá trị chấp nhận được của các tham số đầu vào và đầu ra đối với đối tượng được mô hình hóa.
Mô hình vận trù học và ra quyết định
Vận trù học hướng đến việc luận chứng định lượng cho việc ra quyết định hợp lý. Các mô hình như vậy giao thoa chặt chẽ với một lớp rộng các bài toán trong lý thuyết ra quyết định và các bài toán tối ưu hóa.
Khi xây dựng một mô hình vận trù học, cần trả lời các câu hỏi sau:
- trong trường hợp cụ thể, cái gì nên được coi là các phương án giải quyết thay thế?
- các phương án thay thế được lựa chọn theo tiêu chí nào?
- các phương án khả thi phải thỏa mãn những ràng buộc nào?
Mô hình toán học chuẩn của vận trù học được trình bày dưới dạng phát biểu sau: cực đại hóa hoặc cực tiểu hóa hàm mục tiêu, với điều kiện thỏa mãn các ràng buộc.
Khi lựa chọn một phương án, phương án nào cực đại hóa hoặc cực tiểu hóa hàm mục tiêu sẽ được ưu tiên. Ví dụ về cực đại hóa hàm mục tiêu bao gồm lợi nhuận và năng suất. Cực tiểu hóa hàm mục tiêu có thể liên quan đến chi phí, phí tổn, thời gian, v.v. Việc lựa chọn tiêu chí hiệu quả là khâu trung tâm, quan trọng nhất của nghiên cứu. Tìm được một phương án không tối ưu đối với một tiêu chí được lựa chọn đúng còn tốt hơn nhiều so với một phương án tối ưu đối với một tiêu chí được lựa chọn sai.
Một phương án khả thi là phương án thỏa mãn tất cả các ràng buộc của mô hình. Có thể có vô số phương án khả thi.
Một phương án tối ưu là phương án, ngoài việc khả thi, còn làm cho hàm mục tiêu đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu.
Các phương án được gọi là tối ưu nếu, theo một dấu hiệu nào đó, chúng được ưu tiên hơn các phương án khác. Mỗi lựa chọn phương án tốt nhất đều mang tính cụ thể, vì nó dựa trên sự phù hợp với các tiêu chí đã xác lập. Khi nói về một phương án tối ưu, người ta cần chỉ rõ các tiêu chí này (“tối ưu theo…”). Cái tối ưu theo một tiêu chí không nhất thiết là tối ưu theo một tiêu chí khác.
Một ràng buộc là một biểu thức toán học dưới dạng bất phương trình hoặc phương trình mà các biến của mô hình phải thỏa mãn.
Các ràng buộc làm hẹp lại tập hợp các phương án khả thi. Trong một số trường hợp, có thể hoàn toàn không tồn tại phương án tối ưu với các ràng buộc đã nêu. Điều này có nghĩa là chất lượng của quyết định cuối cùng, được đưa ra trên cơ sở giải bài toán, phụ thuộc vào mức độ mô hình phản ánh đầy đủ tình huống thực tế mà nó mô tả một cách hình thức qua các ràng buộc. Các ràng buộc bao gồm hạn mức, tải trọng phương tiện, khối lượng nhiệm vụ theo kế hoạch, đặc tính trọng lượng của thiết bị, hạn chế về nguồn lực, v.v.
Khi cấu hình các ràng buộc thay đổi, một phương án khác có thể trở thành phương án tốt nhất. Trong thực tế, các ràng buộc có thể mang bản chất vật lý, kinh tế hoặc chính trị và không nhất thiết có thể được hình thức hóa. Một phương án cụ thể sẽ chỉ là tốt nhất đối với mô hình đã cho, với hệ thống ràng buộc đã xác lập. Mô hình phản ánh tình huống càng chính xác, phương án giải bài toán càng gần với phương án tối ưu.
Phân loại các mô hình vận trù học
Tất cả các mô hình vận trù học có thể được phân loại tùy theo tính chất và đặc điểm của tác nghiệp, đặc trưng của các bài toán cần giải quyết, và các phương pháp toán học được sử dụng:
- Nếu tiêu chí hiệu quả là một hàm tuyến tính và các hàm trong hệ ràng buộc cũng là tuyến tính, thì bài toán là bài toán quy hoạch tuyến tính.
- Nếu, theo ý nghĩa nội dung của nó, các nghiệm phải là số nguyên, thì đó là bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên.
- Nếu tiêu chí hiệu quả và/hoặc hệ ràng buộc được xác định bằng các hàm phi tuyến, thì ta có một bài toán quy hoạch phi tuyến. Đặc biệt, nếu các hàm đã nêu có tính chất lồi, bài toán thu được là một bài toán quy hoạch lồi.
- Nếu một bài toán quy hoạch toán học bao gồm một biến thời gian và tiêu chí hiệu quả được biểu diễn không phải một cách trực tiếp như một hàm của các biến, mà một cách gián tiếp — qua các phương trình mô tả sự tiến triển của các tác nghiệp theo thời gian, thì bài toán đó là một bài toán quy hoạch động.
- Nếu việc tìm nghiệm tối ưu chính xác bằng thuật toán là không thể thực hiện được do số lượng phương án nghiệm quá lớn, thì các phương pháp quy hoạch heuristic được sử dụng, cho phép giảm đáng kể số lượng phương án phải xem xét và tìm được, nếu không phải là phương án tối ưu, thì một phương án đủ tốt và thỏa đáng về mặt thực tiễn.
Theo cách phát biểu nội dung của chúng, rất nhiều bài toán vận trù học điển hình khác có thể được chia thành một số lớp:
- Các bài toán lập tiến độ dự án (PERT/CPM) xem xét các mối quan hệ giữa thời điểm hoàn thành của một tập hợp lớn, phức tạp các tác nghiệp (nhiệm vụ) và thời điểm bắt đầu của tất cả các tác nghiệp trong tập hợp đó. Các bài toán này bao gồm việc tìm thời gian tối thiểu của tập hợp tác nghiệp và mối quan hệ tối ưu giữa chi phí và thời điểm hoàn thành.
- Các bài toán hàng đợi được dành cho việc nghiên cứu và phân tích các hệ thống phục vụ có hàng đợi các yêu cầu hoặc nhu cầu, và bao gồm việc xác định các thước đo hoạt động của hệ thống và các đặc tính tối ưu của chúng — chẳng hạn, xác định số lượng kênh phục vụ, thời gian phục vụ, v.v.
- Các bài toán quản lý tồn kho bao gồm việc tìm các giá trị tối ưu của mức tồn kho (điểm đặt hàng lại) và khối lượng đặt hàng. Đặc điểm phân biệt của các bài toán này là khi mức tồn kho tăng lên, một mặt, chi phí lưu trữ tăng lên, nhưng mặt khác, các tổn thất do khả năng thiếu hụt sản phẩm dự trữ lại giảm xuống.
- Các bài toán phân bổ nguồn lực nảy sinh khi có một tập hợp các tác nghiệp (nhiệm vụ) nhất định cần được thực hiện với các nguồn lực hạn chế hiện có, và cần tìm cách phân bổ tối ưu các nguồn lực giữa các tác nghiệp hoặc thành phần tối ưu của các tác nghiệp.
- Các bài toán bảo trì và thay thế có ý nghĩa liên quan đến sự hao mòn và lão hóa của thiết bị và nhu cầu thay thế thiết bị đó.
- Trong số các mô hình vận trù học, các mô hình để ra các quyết định tối ưu trong các tình huống xung đột, được nghiên cứu bởi lý thuyết trò chơi, được tách ra thành một nhóm riêng. Các tình huống xung đột, trong đó lợi ích của hai (hoặc nhiều) bên theo đuổi các mục tiêu khác nhau va chạm với nhau, bao gồm một số tình huống trong các lĩnh vực kinh tế, pháp luật, quân sự, v.v. Trong các bài toán lý thuyết trò chơi, cần xây dựng các khuyến nghị về hành vi hợp lý của các bên tham gia xung đột và xác định các chiến lược tối ưu của họ.