मात्रात्मक अनुसंधान विधियों को लागू करने के लिए, संक्रिया का गणितीय मॉडल बनाना आवश्यक है। मॉडल का निर्माण करते समय, संक्रिया को सामान्यतः सरल और योजनाबद्ध किया जाता है, और परिणामी योजना को गणितीय उपकरणों की सहायता से वर्णित किया जाता है। संक्रिया का मॉडल संक्रिया का एक पर्याप्त रूप से सटीक गणितीय विवरण है, जो फलनों, समीकरणों, समीकरणों की प्रणालियों और असमिकाओं के माध्यम से व्यक्त किया जाता है। किसी संक्रिया की प्रभावशीलता वह सीमा है जिस तक वह अपने उद्देश्य को प्राप्त करती है।
संक्रिया विज्ञान समस्या का सामान्य निरूपण
संक्रिया विज्ञान में, प्रबंधन स्थिति में लक्ष्य और निर्णय शामिल होते हैं। लक्ष्य प्राप्त करने के लिए निर्णय लिए जाते हैं। प्रबंधन स्थिति को एक मॉडल द्वारा वर्णित किया जाता है। मॉडल में प्रभावशीलता का एक माप होता है, जिससे यह निर्धारित किया जाता है कि कोई निर्णय लक्ष्य के कितना निकट है। प्रभावशीलता का माप उन कारकों पर निर्भर करता है जो संक्रिया को प्रभावित करते हैं। किसी संक्रिया के विवरण में शामिल सभी कारकों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है: स्थिर कारक जिन्हें प्रभावित नहीं किया जा सकता, और नियंत्रणीय कारक।
मॉडल के अवधारणात्मक तत्वों को “ब्लैक बॉक्स” के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जहाँ मुख्य ध्यान इनपुट और आउटपुट को परिभाषित करने पर होता है। इनपुट वह है जिसे मॉडल संसाधित करता है; आउटपुट वह है जो मॉडल उत्पन्न करता है। नियंत्रणीय और अनियंत्रणीय चर इनपुट के रूप में दिए जाते हैं। आउटपुट प्रभावशीलता का मानदंड होता है। मॉडल में प्रभावशीलता का एक स्पष्ट माप होता है, जिससे यह निर्धारित किया जाता है कि कोई निर्णय लक्ष्य के कितना निकट है। मॉडल का निर्माण करते समय यह निर्दिष्ट करना महत्वपूर्ण है कि इनपुट प्राचल निर्धारित माप को किस प्रकार प्रभावित करेंगे।
प्रभावशीलता का मानदंड, जिसे उद्देश्य फलन नाम के एक निश्चित फलन द्वारा व्यक्त किया जाता है, दोनों समूहों के कारकों पर निर्भर करता है। प्रभावशीलता के मानदंड की गणितीय अभिव्यक्ति को उद्देश्य फलन कहा जाता है। उद्देश्य फलन प्रभावशीलता का एक गणितीय रूप से सूत्रबद्ध (औपचारिक) माप है, जिसे अधिकतम या न्यूनतम करना आवश्यक है।
नियंत्रणीय चर वे प्राचल हैं जिन्हें निर्णयकर्ता द्वारा प्रबंधित किया जाता है।
अनियंत्रणीय चर वे बाह्य कारक हैं जिन्हें प्रबंधक नियंत्रित नहीं कर सकता, परंतु जो लक्ष्यों की प्राप्ति के लिए आवश्यक होते हैं।
प्रभावशीलता का मानदंड, अथवा उद्देश्य फलन, निर्णय चरों का एक फलन है जो लक्ष्य के निकट पहुँचने की मात्रा को व्यक्त करता है।
गणितीय मॉडल की परिभाषा: गणितीय मॉडल से ऐसा कोई भी संकारक (ऑपरेटर) समझा जाता है, जो इनपुट प्राचलों के संगत मूल्यों के आधार पर मॉडल किए जा रहे प्रतिवस्तु के आउटपुट प्राचलों के मूल्यों को, मॉडल किए जा रहे प्रतिवस्तु के इनपुट और आउटपुट प्राचलों के स्वीकार्य मूल्यों के समुच्चय के भीतर, स्थापित करता है।
संक्रिया विज्ञान के मॉडल और निर्णयन
संक्रिया विज्ञान युक्तियुक्त निर्णयन के मात्रात्मक औचित्य की ओर उन्मुख है। ऐसे मॉडल निर्णय सिद्धांत की समस्याओं के एक बड़े वर्ग और अनुकूलन समस्याओं के साथ निकटता से संबंधित हैं।
संक्रिया विज्ञान मॉडल विकसित करते समय निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर देना आवश्यक है:
- विशिष्ट स्थिति में किन बातों को वैकल्पिक समाधान माना जाना चाहिए?
- किस मानदंड के आधार पर वैकल्पिक समाधानों का चयन किया जाता है?
- व्यवहार्य समाधानों को किन बाधाओं को पूरा करना चाहिए?
संक्रिया विज्ञान का मानक गणितीय मॉडल इस निरूपण में प्रस्तुत किया जाता है: बाधाओं की पूर्ति के अध्यधीन, उद्देश्य फलन का अधिकतमीकरण या न्यूनतमीकरण।
समाधान चुनते समय, वह समाधान वरीयता प्राप्त करता है जो उद्देश्य फलन को अधिकतम या न्यूनतम करता है। उद्देश्य फलन के अधिकतमीकरण के उदाहरणों में लाभ और उत्पादकता शामिल हैं। उद्देश्य फलन का न्यूनतमीकरण लागत, व्यय, समय आदि से संबंधित हो सकता है। प्रभावशीलता के मानदंड का चयन अध्ययन का केंद्रीय, सर्वाधिक महत्वपूर्ण क्षण है। सही ढंग से चुने गए मानदंड के लिए एक गैर-इष्टतम समाधान खोजना, गलत ढंग से चुने गए मानदंड के लिए इष्टतम समाधान खोजने से कहीं बेहतर है।
व्यवहार्य समाधान वह है जो मॉडल की सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है। व्यवहार्य समाधानों की संख्या अनंत हो सकती है।
इष्टतम समाधान वह है जो व्यवहार्य होने के साथ-साथ उद्देश्य फलन को उसके अधिकतम या न्यूनतम मूल्य तक पहुँचाता है।
समाधानों को इष्टतम कहा जाता है यदि किसी विशेष गुण के आधार पर वे अन्य समाधानों से अधिक वरीय हों। सर्वोत्तम विकल्प का प्रत्येक चयन विशिष्ट होता है, क्योंकि यह स्थापित मानदंडों के अनुरूप होने पर आधारित होता है। जब किसी इष्टतम विकल्प की बात की जाती है, तो इन मानदंडों को निर्दिष्ट किया जाता है (“…के संबंध में इष्टतम”)। जो एक मानदंड के अंतर्गत इष्टतम है, वह आवश्यक रूप से दूसरे के अंतर्गत इष्टतम नहीं होता।
बाधा एक असमिका या समिका के रूप में एक गणितीय अभिव्यक्ति है, जिसे मॉडल के चरों को संतुष्ट करना चाहिए।
बाधाएँ व्यवहार्य समाधानों के समुच्चय को संकीर्ण करती हैं। कुछ मामलों में, दी गई बाधाओं के अंतर्गत कोई इष्टतम समाधान बिल्कुल नहीं हो सकता। इसका अर्थ है कि समस्या के हल के आधार पर लिए गए अंतिम निर्णय की गुणवत्ता इस बात पर निर्भर करती है कि मॉडल वास्तविक स्थिति को, जिसे वह बाधाओं के माध्यम से औपचारिक रूप से वर्णित करता है, कितनी पर्याप्तता से दर्शाता है। बाधाओं में कोटा, वाहन की भार क्षमता, नियोजित कार्य की मात्रा, उपकरण की वजन विशेषताएँ, संसाधन सीमाएँ आदि शामिल हैं।
जब बाधाओं की संरचना बदलती है, तो एक भिन्न समाधान सर्वोत्तम बन सकता है। वास्तविक दुनिया में, बाधाओं की प्रकृति भौतिक, आर्थिक या राजनीतिक हो सकती है, और वे आवश्यक रूप से औपचारिकीकरण के योग्य नहीं होती हैं। कोई विशेष समाधान केवल दिए गए मॉडल के लिए, स्थापित बाधाओं की प्रणाली के अध्यधीन, सर्वोत्तम होगा। मॉडल जितना अधिक सटीकता से स्थिति को दर्शाता है, समस्या का समाधान इष्टतम के उतना ही निकट होता है।
संक्रिया विज्ञान के मॉडलों का वर्गीकरण
सभी संक्रिया विज्ञान मॉडलों को संक्रिया की प्रकृति और गुणों, हल की जा रही समस्याओं की प्रकृति, और प्रयुक्त गणितीय विधियों के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है:
- यदि प्रभावशीलता का मानदंड एक रैखिक फलन है और बाधाओं की प्रणाली में फलन भी रैखिक हैं, तो समस्या रैखिक प्रोग्रामिंग की समस्या है।
- यदि, अपने भावार्थ के आधार पर, इसके समाधान पूर्णांक होने चाहिए, तो यह पूर्णांक रैखिक प्रोग्रामिंग की समस्या है।
- यदि प्रभावशीलता का मानदंड और/या बाधाओं की प्रणाली अरैखिक फलनों द्वारा निर्दिष्ट की जाती है, तो हमारे पास अरैखिक प्रोग्रामिंग की समस्या है। विशेष रूप से, यदि उक्त फलनों में उत्तलता के गुण हों, तो परिणामी समस्या उत्तल प्रोग्रामिंग की समस्या होती है।
- यदि किसी गणितीय प्रोग्रामिंग समस्या में एक समय चर शामिल है और प्रभावशीलता का मानदंड चरों के फलन के रूप में स्पष्ट रूप से नहीं, बल्कि अप्रत्यक्ष रूप से — समय के साथ संक्रियाओं की प्रगति का वर्णन करने वाले समीकरणों के माध्यम से — व्यक्त किया जाता है, तो समस्या गतिक प्रोग्रामिंग की समस्या है।
- यदि समाधान विकल्पों की अत्यधिक बड़ी संख्या के कारण कलनविधि द्वारा ठीक इष्टतम ज्ञात करना असंभव है, तो अनुमानाश्रित (हूरिस्टिक) प्रोग्रामिंग विधियों का प्रयोग किया जाता है, जो जाँचे जाने वाले विकल्पों की संख्या को काफी हद तक कम करना और, यदि इष्टतम न भी हो, तो व्यावहारिक दृष्टि से पर्याप्त रूप से संतोषजनक समाधान ढूँढना संभव बनाती हैं।
उनके भावार्थपरक निरूपण के आधार पर, कई अन्य विशिष्ट संक्रिया विज्ञान समस्याओं को कई वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:
- परियोजना अनुसूचन की समस्याएँ (PERT/CPM) संक्रियाओं (कार्यों) के एक बड़े समूह के पूर्ण होने की तारीखों और समूह की सभी संक्रियाओं के आरंभ समयों के बीच के संबंधों की जाँच करती हैं। इन समस्याओं में संक्रियाओं के समूह की न्यूनतम अवधि और लागत तथा पूर्णता समय के बीच के इष्टतम संबंध को ढूँढना शामिल है।
- पंक्ति (कतार) की समस्याएँ माँगों या अनुरोधों की पंक्तियों वाली सेवा प्रणालियों के अध्ययन और विश्लेषण के लिए समर्पित हैं, और इनमें प्रणालियों के निष्पादन मापों और उनकी इष्टतम विशेषताओं को निर्धारित करना शामिल है — उदाहरण के लिए, सेवा चैनलों की संख्या, सेवा समय आदि का निर्धारण।
- भंडार प्रबंधन की समस्याओं में भंडार स्तर (पुनः क्रम बिंदु) और आदेश आकार के इष्टतम मूल्य ढूँढना शामिल है। ऐसी समस्याओं की विशिष्ट विशेषता यह है कि जैसे-जैसे भंडार स्तर बढ़ता है, एक ओर संग्रहण लागत बढ़ती है, परंतु दूसरी ओर संग्रहित उत्पाद की संभावित कमी से होने वाली हानि घटती है।
- संसाधन आबंटन की समस्याएँ तब उत्पन्न होती हैं जब सीमित उपलब्ध संसाधनों के साथ संक्रियाओं (कार्यों) का एक निश्चित समुच्चय संपन्न किया जाना हो, और संक्रियाओं के बीच संसाधनों के इष्टतम आबंटन या संक्रियाओं की इष्टतम संरचना ढूँढना आवश्यक हो।
- अनुरक्षण और प्रतिस्थापन की समस्याएँ उपकरणों की टूट-फूट और वृद्धावस्था तथा उनके प्रतिस्थापन की आवश्यकता के संबंध में उपयुक्त होती हैं।
- संक्रिया विज्ञान के मॉडलों में, खेल सिद्धांत द्वारा अध्ययन की जाने वाली संघर्ष स्थितियों में इष्टतम निर्णय लेने के मॉडलों को विशेष रूप से अलग किया जाता है। ऐसी संघर्ष स्थितियाँ, जिनमें भिन्न लक्ष्यों का अनुसरण करने वाले दो (या अधिक) पक्षों के हित टकराते हैं, अर्थशास्त्र, विधि, सैन्य मामलों तथा इसी प्रकार के क्षेत्रों की कई स्थितियों को शामिल करती हैं। खेल सिद्धांत की समस्याओं में संघर्ष के भागीदारों के युक्तियुक्त व्यवहार हेतु सिफारिशें विकसित करना और उनकी इष्टतम रणनीतियों का निर्धारण करना आवश्यक होता है।