Оптимизация

Оптимално означава най-добро при дадени условия. Качеството се оценява чрез критерий за оптималност, а условията се задават като ограничения върху допълнителни критерии.

Стремежът към повишаване на ефикасността в труда, в творческата дейност и във всяка целенасочена дейност намира своя основен израз в понятието оптималност. Разликата между научното и обикновеното разбиране за оптималност е минимална. Макар изрази като „най-оптимално” или „максимален ефект при минимални разходи” да са математически неточни, те приблизително предават замисления смисъл. Когато се изисква конкретна оптимизация, хората обикновено преформулират твърденията си по-точно.

Оптимизацията — в математиката, информатиката и операционните изследвания — е задачата за намиране на екстремум (минимум или максимум) на целева функция в определена област на крайномерно векторно пространство, ограничена от система от линейни и/или нелинейни равенства и/или неравенства.

Моделите за оптимизация (модели) са предназначени да определят оптималните (най-добрите) параметри на моделирания обект по отношение на определен критерий или да намерят оптимален (най-добър) режим на управление на процес. Част от параметрите на модела се класифицират като управляващи параметри; чрез тяхното варииране могат да се получат различни набори от изходни параметрични стойности. По правило такива модели се изграждат с помощта на един или повече описателни модели и включват критерий, който позволява да се сравняват различните набори от изходни стойности с цел избор на най-добрия. Върху областта на входните параметрични стойности могат да бъдат наложени ограничения под формата на равенства и неравенства, свързани с характеристиките на разглеждания обект или процес. Целта на моделите за оптимизация е да се намерят такива допустими управляващи параметри, при които критерият за избор достига своята „най-добра стойност”.

Задачата се формулира като математически модел. Стандартният математически модел на операционните изследвания се представя в следната формулировка:

Максимизиране или минимизиране на целевата функция при спазване на ограниченията.

Решенията се наричат оптимални, ако по един или друг признак са предпочитани пред останалите. Всеки избор на най-добра алтернатива е конкретен, защото се основава на съответствие с установени критерии. Когато се говори за оптимална алтернатива, се посочват тези критерии („оптимална по отношение на…”). Онова, което е оптимално по един критерий, не е задължително такова по друг.

Допустимо решение е такова, което удовлетворява всички ограничения на модела. В определени случаи броят на допустимите решения може да е безкраен.

Оптимално решение е такова, което, освен че е допустимо, максимизира или минимизира целевата функция.

Оптимизацията е максимизиране или минимизиране на целевата функция.

Модел за оптимизация е модел за вземане на решения, който съдържа мярка за ефективност (целева функция), подлежаща на оптимизиране при дадени ограничения.

Оптимално решение е допустим набор от стойности на решаващите променливи, който оптимизира целевата функция на модела за оптимизация.

Голям брой практически задачи за избор се свеждат до намиране на най-добрите или най-предпочитаните алтернативи, а често и до намиране на единствената най-добра алтернатива. При това всеки вземащ решение има свои субективни представи за онова, което е предпочитано за него в конкретната ситуация на избор.

Много задачи допускат математически модел на избора, при който най-добрата алтернатива се определя от един или повече числени критерии за ефективност (или качество). Тези критерии, определени от задачата, представляват целеви функции на променливи, изразяващи свойствата на алтернативите. Най-предпочитаната от вземащия решение алтернатива е тогава оптималният избор, който дава екстремални стойности на мерките за ефективност при дадените условия.

Основен аспект при формулирането на задачата за оптимален избор е възможността проблемната ситуация и предпочитанията на вземащия решение да бъдат описани в количествена форма. Това означава, първо, че възможните алтернативи за решение (алтернативи, обекти, начини на действие) се определят чрез количествени признаци (променливи, параметри, атрибути), измерени по числени скали. Второ, трябва да бъдат зададени количествени мерки (критерии за оптималност, мерки за ефективност, целеви функции, функции на стойността), чрез чиято величина се оценява качеството на избраната алтернатива. Такива ситуации са характерни за добре структурирани проблеми и повтарящи се ситуации на избор, типични за операционните изследвания и оптималното управление.

За анализ на възможните алтернативи за решаване на задача (начини за постигане на цел) и за избор на най-добрата алтернатива (или алтернативи) сред тях се изграждат формални модели на оптималния избор. Моделът предоставя опростено представяне на реалния проблем и трябва да отразява най-важните, обективно съществуващи зависимости и връзки между алтернативите, тяхните описателни признаци и ограниченията, наложени от управляеми и неуправляеми фактори. Изграждането на такъв модел е задача на консултанти-анализатори и експерти, с участието на вземащия решение. При изграждането на модел на избора трябва да се намери баланс между адекватността и детайлността на модела, от една страна, и точността, изисквана от реалната задача за избор, от друга, както и обема на информацията, необходима за намиране на решението — както вече наличната, така и онази, която може допълнително да се получи.

Задачите за оптимизация са строго формални математически задачи. Практическата значимост на решенията на такива задачи зависи пряко от качеството на изходния математически модел. При сложни системи математическото моделиране е трудно, приблизително и неточно. Колкото по-сложна е системата, толкова по-предпазливо трябва да се подхожда към нейната оптимизация.

От гледна точка на системния анализ отношението към оптимизацията може да се формулира по следния начин: тя е мощно средство за повишаване на ефикасността, но трябва да се използва с нарастваща предпазливост при увеличаване на сложността на проблема.

Въпреки очевидната полезност на идеята за оптимизация, практиката изисква тя да се използва с внимание. Има достатъчно убедителни основания за подобен извод.

1. Оптималното решение често се оказва нестабилно: изглеждащи незначителни промени в условията на задачата могат да доведат до избора на съществено различни алтернативи.
2. Разглежданата система е част от някоя по-голяма система, а локалната оптимизация не непременно води до същия резултат, който би се изисквал за подсистемата при оптимизиране на системата като цяло. Това налага съгласуване на критериите на подсистемата с критериите на системата, поради което локалната оптимизация често се оказва излишна.
3. Критериите характеризират целта само косвено — понякога по-добре, понякога по-зле, но винаги приблизително. Максимизирането на критерия за оптималност често се приравнява на целта, но в действителност това са различни неща. Всъщност критерият и целта се съотнасят помежду си като модел и оригинал, с всички произтичащи от това последствия. Много цели са трудни или дори невъзможни за количествено описание.
4. Без да се зададат всички необходими ограничения, при максимизирането на основния критерий можем едновременно да получим непредвидени и нежелани странични ефекти.