Optymalny oznacza najlepszy w danych warunkach. Jakość ocenia się za pomocą kryterium optymalności, a warunki określa się jako ograniczenia w postaci dodatkowych kryteriów.
Dążenie do zwiększenia efektywności pracy, twórczości i wszelkiej działalności ukierunkowanej na cel wyraża się zasadniczo w pojęciu optymalności. Różnica między naukowym a potocznym rozumieniem optymalności jest niewielka. Choć zwroty takie jak „najbardziej optymalny” czy „maksymalny efekt przy minimalnych kosztach” są matematycznie nieprecyzyjne, w przybliżony sposób oddają zamierzoną myśl. Gdy wymagana jest konkretna optymalizacja, ludzie zazwyczaj formułują swoje wypowiedzi ściślej.
Optymalizacja — w matematyce, informatyce i badaniach operacyjnych — to problem znalezienia ekstremum (minimum lub maksimum) funkcji celu w pewnym obszarze skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej, ograniczonym zbiorem równości i/lub nierówności liniowych i/lub nieliniowych.
Modele optymalizacyjne mają na celu wyznaczenie optymalnych (najlepszych) parametrów modelowanego obiektu ze względu na pewne kryterium albo znalezienie optymalnego (najlepszego) sposobu sterowania procesem. Niektóre z parametrów modelu klasyfikuje się jako parametry sterujące; zmieniając je, można uzyskać różne zestawy wartości parametrów wyjściowych. Z reguły takie modele buduje się na bazie jednego lub kilku modeli opisowych i zawierają one kryterium umożliwiające porównanie różnych zestawów wartości parametrów wyjściowych w celu wyboru najlepszego z nich. Na obszar wartości parametrów wejściowych mogą zostać nałożone ograniczenia w postaci równości i nierówności, związane z charakterystykami rozważanego obiektu lub procesu. Celem modeli optymalizacyjnych jest znalezienie takich dopuszczalnych parametrów sterujących, przy których kryterium wyboru osiąga „wartość najlepszą”.
Problem formułuje się jako model matematyczny. Standardowy model matematyczny badań operacyjnych przedstawia się w następującym sformułowaniu:
Maksymalizacja lub minimalizacja funkcji celu przy spełnieniu ograniczeń.
Rozwiązania nazywa się optymalnymi, jeśli pod tym czy innym względem są korzystniejsze od innych. Każdy wybór najlepszej alternatywy jest konkretny, ponieważ opiera się na zgodności z ustalonymi kryteriami. Mówiąc o alternatywie optymalnej, wskazuje się te kryteria („optymalna ze względu na…”). To, co jest optymalne według jednego kryterium, niekoniecznie jest optymalne według innego.
Rozwiązaniem dopuszczalnym jest takie, które spełnia wszystkie ograniczenia modelu. W niektórych przypadkach liczba rozwiązań dopuszczalnych może być nieskończona.
Rozwiązaniem optymalnym jest takie, które — będąc jednocześnie dopuszczalne — maksymalizuje lub minimalizuje funkcję celu.
Optymalizacja to maksymalizacja lub minimalizacja funkcji celu.
Model optymalizacyjny to model podejmowania decyzji zawierający miarę skuteczności (funkcję celu), którą należy optymalizować przy zadanych ograniczeniach.
Rozwiązanie optymalne to dopuszczalny zbiór wartości zmiennych decyzyjnych, który optymalizuje funkcję celu modelu optymalizacyjnego.
Duża liczba praktycznych problemów wyboru sprowadza się do znalezienia najlepszych lub najbardziej preferowanych alternatyw, a często do znalezienia jednej, najlepszej alternatywy. W tym procesie każda osoba podejmująca decyzję ma własne, subiektywne wyobrażenia o tym, co jest dla niej preferowane w konkretnej sytuacji wyboru.
Wiele problemów pozwala na zastosowanie matematycznego modelu wyboru, w którym najlepszą alternatywę definiuje jedno lub kilka liczbowych kryteriów skuteczności (lub jakości). Kryteria te, określone przez problem, są funkcjami celu zmiennych reprezentujących właściwości alternatyw. Najbardziej preferowana przez osobę podejmującą decyzję alternatywa jest wówczas wyborem optymalnym, dającym ekstremalne wartości miar skuteczności w danych warunkach.
Podstawowym aspektem sformułowania problemu wyboru optymalnego jest zdolność opisania sytuacji problemowej oraz preferencji osoby podejmującej decyzję w formie ilościowej. Oznacza to, po pierwsze, że możliwe warianty rozwiązania (alternatywy, obiekty, warianty działania) określa się za pomocą atrybutów ilościowych (zmiennych, parametrów, cech) mierzonych za pomocą skal liczbowych. Po drugie, należy określić miary ilościowe (kryteria optymalności, miary skuteczności, funkcje celu, funkcje wartości), według których ocenia się jakość wybranej alternatywy. Takie sytuacje są charakterystyczne dla dobrze ustrukturyzowanych problemów oraz powtarzalnych sytuacji wyboru typowych dla badań operacyjnych i sterowania optymalnego.
Aby przeanalizować możliwe warianty rozwiązania problemu (sposoby osiągnięcia celu) i wybrać spośród nich najlepszy wariant (warianty), buduje się formalne modele wyboru optymalnego. Model stanowi uproszczoną reprezentację rzeczywistego problemu i musi odzwierciedlać najważniejsze, obiektywnie istniejące zależności i relacje między alternatywami, ich cechami opisowymi oraz ograniczeniami narzucanymi przez czynniki sterowalne i niesterowalne. Budowa takiego modelu jest zadaniem konsultantów-analityków i ekspertów, przy udziale osoby podejmującej decyzję. Konstruując model wyboru, należy zachować równowagę między adekwatnością i szczegółowością modelu a precyzją wymaganą przez rzeczywisty problem wyboru, a także objętością informacji potrzebnej do znalezienia rozwiązania — zarówno tej już dostępnej, jak i tej, którą można dodatkowo uzyskać.
Problemy optymalizacyjne są ściśle formalnymi problemami matematycznymi. Praktyczne znaczenie rozwiązań takich problemów zależy bezpośrednio od jakości wyjściowego modelu matematycznego. W systemach złożonych modelowanie matematyczne jest trudne, przybliżone i niedokładne. Im bardziej złożony jest system, tym ostrożniej należy podchodzić do jego optymalizacji.
Z punktu widzenia analizy systemowej stosunek do optymalizacji można sformułować następująco: jest to potężny środek zwiększania efektywności, jednak należy go stosować z tym większą ostrożnością, im bardziej złożony jest problem.
Przy całej oczywistej użyteczności idei optymalizacji praktyka wymaga ostrożnego jej stosowania. Istnieją dostatecznie mocne podstawy dla takiego wniosku.
- Rozwiązanie optymalne często okazuje się niestabilne: pozornie nieznaczne zmiany warunków problemu mogą prowadzić do wyboru istotnie odmiennych alternatyw.
- Rozważany system jest częścią pewnego większego systemu, a optymalizacja lokalna niekoniecznie daje taki sam wynik, jaki byłby wymagany dla podsystemu przy optymalizacji całego systemu. Wymaga to uzgodnienia kryteriów podsystemu z kryteriami systemu, co często czyni optymalizację lokalną zbędną.
- Kryteria charakteryzują cel jedynie pośrednio — czasem lepiej, czasem gorzej, ale zawsze w sposób przybliżony. Maksymalizację kryterium optymalności często utożsamia się z celem, jednak w rzeczywistości są to różne rzeczy. Kryterium i cel mają się do siebie w istocie tak jak model i oryginał, ze wszystkimi wynikającymi z tego konsekwencjami. Wiele celów trudno lub wręcz niemożliwe jest opisać ilościowo.
- Bez określenia wszystkich niezbędnych ograniczeń, jednocześnie z maksymalizacją kryterium podstawowego, możemy uzyskać nieprzewidziane i niepożądane efekty uboczne.