इष्टतम का अर्थ है दी गई परिस्थितियों में सर्वोत्तम। गुणवत्ता का आकलन इष्टतमता मानदंड के आधार पर किया जाता है, और परिस्थितियों को अतिरिक्त मानदंडों पर बाधाओं के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है।
श्रम, सृजनात्मक कार्य और किसी भी लक्ष्य-उन्मुख गतिविधि में दक्षता बढ़ाने की चाह मूलतः इष्टतमता की अवधारणा में व्यक्त होती है। इष्टतमता की वैज्ञानिक और रोज़मर्रा की समझ के बीच अंतर न्यूनतम है। यद्यपि “सबसे इष्टतम” या “न्यूनतम लागत पर अधिकतम प्रभाव” जैसे वाक्यांश गणितीय दृष्टि से अशुद्ध हैं, फिर भी ऐसी अभिव्यक्तियाँ इच्छित विचार को ढीले ढंग से व्यक्त कर देती हैं। जब विशिष्ट अनुकूलन आवश्यक होता है, तो लोग सामान्यतः अपने कथनों को सटीक रूप में पुनः प्रस्तुत करते हैं।
अनुकूलन — गणित, कंप्यूटर विज्ञान और संक्रिया विज्ञान में — किसी परिमित-आयामी सदिश समष्टि के किसी क्षेत्र में, जो रैखिक और/अथवा अरैखिक समानताओं और/अथवा असमानताओं के समुच्चय से परिबद्ध हो, उद्देश्य फलन के चरम (न्यूनतम या अधिकतम) को खोजने की समस्या है।
अनुकूलन मॉडल किसी मॉडलित वस्तु के इष्टतम (सर्वोत्तम) प्राचलों को किसी मानदंड के संबंध में निर्धारित करने, अथवा किसी प्रक्रिया के नियंत्रण की इष्टतम (सर्वोत्तम) विधि खोजने के लिए डिज़ाइन किए जाते हैं। मॉडल के कुछ प्राचल नियंत्रण प्राचलों के रूप में वर्गीकृत किए जाते हैं; उन्हें बदलकर, निर्गत प्राचल मानों के भिन्न-भिन्न समुच्चय प्राप्त किए जा सकते हैं। सामान्यतः, ऐसे मॉडल एक या अधिक वर्णनात्मक मॉडलों का उपयोग करके निर्मित किए जाते हैं और इनमें एक मानदंड शामिल होता है जो निर्गत प्राचल मानों के विभिन्न समुच्चयों की तुलना कर सर्वोत्तम का चयन करने में सहायक होता है। विचाराधीन वस्तु या प्रक्रिया की विशेषताओं से संबंधित समानताओं और असमानताओं के रूप में बाधाएँ, निवेश प्राचल मानों के परिक्षेत्र पर आरोपित की जा सकती हैं। अनुकूलन मॉडलों का उद्देश्य ऐसे स्वीकार्य नियंत्रण प्राचलों को खोजना है जिन पर चयन मानदंड अपने “सर्वोत्तम मान” तक पहुँचता है।
समस्या को गणितीय मॉडल के रूप में सूत्रबद्ध किया जाता है। संक्रिया विज्ञान का मानक गणितीय मॉडल निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किया जाता है:
बाधाओं की पूर्ति के अधीन, उद्देश्य फलन का अधिकतमीकरण या न्यूनतमीकरण।
समाधानों को इष्टतम तब कहा जाता है जब वे किसी न किसी विशेषता के आधार पर अन्य समाधानों से बेहतर होते हैं। सर्वोत्तम विकल्प का प्रत्येक चयन विशिष्ट होता है, क्योंकि यह स्थापित मानदंडों के अनुरूप होने पर आधारित होता है। जब किसी इष्टतम विकल्प की बात की जाती है, तो इन मानदंडों को स्पष्ट किया जाता है (“…के संबंध में इष्टतम”)। जो एक मानदंड के अंतर्गत इष्टतम है, वह किसी अन्य मानदंड के अंतर्गत आवश्यक नहीं कि इष्टतम हो।
व्यवहार्य समाधान वह है जो मॉडल की सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है। कुछ मामलों में, व्यवहार्य समाधानों की संख्या अनंत हो सकती है।
इष्टतम समाधान वह है जो व्यवहार्य होने के अतिरिक्त, उद्देश्य फलन को अधिकतम या न्यूनतम भी करता है।
अनुकूलन उद्देश्य फलन का अधिकतमीकरण या न्यूनतमीकरण है।
अनुकूलन मॉडल एक निर्णयन मॉडल है जिसमें प्रभावशीलता का माप (उद्देश्य फलन) होता है, जिसे दी गई बाधाओं के अधीन अनुकूलित किया जाना है।
इष्टतम समाधान निर्णय चरों के मानों का एक स्वीकार्य समुच्चय है, जो अनुकूलन मॉडल के उद्देश्य फलन को अनुकूलित करता है।
बड़ी संख्या में व्यावहारिक चयन समस्याएँ सर्वोत्तम या सर्वाधिक अभिप्रेत विकल्पों को खोजने, और प्रायः एकल सर्वोत्तम विकल्प को खोजने, में सिमट जाती हैं। इस प्रक्रिया में, प्रत्येक निर्णयकर्ता की किसी विशिष्ट चयन परिस्थिति में उसके लिए क्या अभिप्रेत है, इस संबंध में अपनी व्यक्तिपरक धारणाएँ होती हैं।
अनेक समस्याएँ एक गणितीय चयन मॉडल की अनुमति देती हैं, जिसमें सर्वोत्तम विकल्प एक या अधिक संख्यात्मक प्रभावशीलता (या गुणवत्ता) मानदंडों द्वारा परिभाषित होता है। समस्या द्वारा निर्धारित ये मानदंड, विकल्पों के गुणधर्मों को निरूपित करने वाले चरों के उद्देश्य फलन होते हैं। निर्णयकर्ता का सर्वाधिक अभिप्रेत विकल्प तब इष्टतम चयन होता है, जो दी गई परिस्थितियों में प्रभावशीलता के मापों के चरम मान प्रदान करता है।
इष्टतम चयन समस्या के सूत्रीकरण का एक मूलभूत पहलू समस्यात्मक परिस्थिति और निर्णयकर्ता की प्राथमिकताओं को मात्रात्मक रूप में वर्णित करने की क्षमता है। इसका अर्थ है कि, पहला, संभावित समाधान विकल्प (विकल्प, वस्तुएँ, कार्रवाई के तरीके) संख्यात्मक पैमानों से मापे गए मात्रात्मक गुणधर्मों (चर, प्राचल, विशेषताएँ) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। दूसरा, मात्रात्मक माप निर्दिष्ट किए जाने चाहिए (इष्टतमता मानदंड, प्रभावशीलता माप, उद्देश्य फलन, मूल्य फलन), जिनके परिमाण से चयनित विकल्प की गुणवत्ता का आकलन किया जाता है। ऐसी परिस्थितियाँ सुसंरचित समस्याओं और संक्रिया विज्ञान तथा इष्टतम नियंत्रण की विशिष्ट, आवर्ती चयन परिस्थितियों की विशेषता होती हैं।
किसी समस्या को हल करने के संभावित विकल्पों (लक्ष्य प्राप्त करने के तरीकों) का विश्लेषण करने और उनमें से सर्वोत्तम विकल्प(विकल्पों) का चयन करने के लिए, इष्टतम चयन के औपचारिक मॉडल बनाए जाते हैं। एक मॉडल वास्तविक समस्या का सरलीकृत निरूपण प्रदान करता है और इसे विकल्पों, उनकी वर्णनात्मक विशेषताओं, तथा नियंत्रणीय और अनियंत्रणीय कारकों द्वारा आरोपित बाधाओं के बीच सबसे महत्वपूर्ण, वस्तुनिष्ठ रूप से विद्यमान निर्भरताओं और संबंधों को प्रतिबिंबित करना चाहिए। ऐसा मॉडल बनाना परामर्शदाता-विश्लेषकों और विशेषज्ञों का कार्य है, जिसमें निर्णयकर्ता की भागीदारी होती है। चयन मॉडल बनाते समय, वास्तविक चयन समस्या के लिए आवश्यक परिशुद्धता के विरुद्ध मॉडल की पर्याप्तता और विस्तार को, साथ ही समाधान खोजने के लिए आवश्यक सूचना की मात्रा — जो पहले से उपलब्ध है और जो अतिरिक्त रूप से प्राप्त की जा सकती है, दोनों — के विरुद्ध संतुलित करना चाहिए।
अनुकूलन समस्याएँ कड़े अर्थ में औपचारिक गणितीय समस्याएँ हैं। ऐसी समस्याओं के समाधानों का व्यावहारिक महत्त्व सीधे प्रारंभिक गणितीय मॉडल की गुणवत्ता पर निर्भर करता है। जटिल प्रणालियों में, गणितीय मॉडलिंग कठिन, सन्निकट और अशुद्ध होती है। प्रणाली जितनी अधिक जटिल होगी, उसके अनुकूलन के प्रति उतनी ही सतर्कता से दृष्टिकोण अपनाया जाना चाहिए।
प्रणाली विश्लेषण के दृष्टिकोण से, अनुकूलन के प्रति रवैया इस प्रकार सूत्रबद्ध किया जा सकता है: यह दक्षता सुधारने का एक शक्तिशाली साधन है, परंतु समस्या की जटिलता बढ़ने के साथ इसे बढ़ती सतर्कता के साथ प्रयोग किया जाना चाहिए।
अनुकूलन के विचार की स्पष्ट उपयोगिता के बावजूद, व्यवहार यह माँग करता है कि इसे सावधानीपूर्वक संभाला जाए। ऐसे निष्कर्ष के लिए पर्याप्त रूप से ठोस आधार मौजूद हैं।
- इष्टतम समाधान प्रायः अस्थिर सिद्ध होता है: समस्या की परिस्थितियों में प्रतीत होने वाले नगण्य परिवर्तन भी काफी भिन्न विकल्पों के चयन की ओर ले जा सकते हैं।
- विचाराधीन प्रणाली किसी बड़ी प्रणाली का भाग होती है, और स्थानीय अनुकूलन आवश्यक रूप से वही परिणाम नहीं देता जो पूरी प्रणाली के अनुकूलन के समय उपप्रणाली के लिए अपेक्षित होता। इससे उपप्रणाली मानदंडों को प्रणाली मानदंडों के साथ संरेखित करना आवश्यक हो जाता है, जिससे प्रायः स्थानीय अनुकूलन अनावश्यक हो जाता है।
- मानदंड लक्ष्य को केवल अप्रत्यक्ष रूप से चित्रित करते हैं — कभी बेहतर, कभी बदतर, परंतु हमेशा सन्निकट रूप से। इष्टतमता मानदंड का अधिकतमीकरण प्रायः लक्ष्य के समतुल्य माना जाता है, परंतु वास्तव में ये दोनों भिन्न चीज़ें हैं। प्रभावी रूप से, मानदंड और लक्ष्य का संबंध वैसा ही है जैसा मॉडल और मूल वस्तु का, अपने सभी संबद्ध निहितार्थों सहित। अनेक लक्ष्यों को मात्रात्मक रूप से वर्णित करना कठिन है, या असंभव भी।
- सभी आवश्यक बाधाओं को निर्दिष्ट किए बिना, हम मुख्य मानदंड के अधिकतमीकरण के साथ-साथ अप्रत्याशित और अवांछनीय दुष्प्रभाव भी प्राप्त कर सकते हैं।