运筹学模型

要运用定量研究方法，就必须建立作业的数学模型。建立模型时，通常把作业加以简化和图式化，再用数学工具描述所得到的图式。作业模型，是通过函数、方程、方程组和不等式表达的、对作业足够精确的数学描述。作业的有效性，是指它达成既定目标的程度。

运筹学课题的一般提法

在运筹学中，管理情境涵盖目标与决策。作出决策是为了达成目标。管理情境用模型来描述。模型中含有有效性度量，据以判定某一决策与目标的接近程度。有效性度量取决于影响作业的各种因素。作业描述中包含的一切因素可分为两组：无法施加影响的常量因素，以及可控因素。

模型的概念要素表示为“黑箱”，其中首要的是确定输入与输出。输入是模型所处理的东西，输出是模型所产生的东西。可控变量与不可控变量作为输入送入模型，输出则是有效性准则。模型中含有明确的有效性度量，据以判定决策与目标的接近程度。建立模型时，重要的是规定输入参数将如何影响这一度量。

有效性准则由某一函数表达，该函数称为目标函数，它取决于上述两组因素。有效性准则的数学表达式即称为目标函数。目标函数是以数学方式表述（形式化）的有效性度量，需要使其取极大值或极小值。

可控变量，是由决策者掌控的那些参数。

不可控变量，是管理者无法掌控、但对达成目标至关重要的外部因素。

有效性准则（目标函数）是决策变量的函数，它表达接近目标的程度。

数学模型的定义：数学模型是指这样一种算子——在建模客体输入参数与输出参数的容许取值集合内，依据相应的输入参数取值确定该客体输出参数的取值。

运筹学面向对合理决策作出定量论证。这类模型与决策理论中的一大类课题以及最优化课题密切交叉。

在研制运筹学模型时，必须回答以下问题：

运筹学的标准数学模型有如下提法：在满足约束条件的前提下，使目标函数取极大值或极小值。

选择解时，优先取使目标函数达到极大或极小的那一个。使目标函数取极大值的例子有利润与生产率；取极小值则可能涉及成本、费用、时间等等。有效性准则的选择是研究中最核心、最关键的环节：按正确选定的准则求得一个非最优解，远胜于按错误选定的准则求得最优解。

可行解是满足模型全部约束条件的解。可行解的数目可能是无限的。

最优解是这样的解：它除了可行之外，还使目标函数达到极大值或极小值。

若某些解按某一特征优于其他解，则称之为最优解。每一次对最优方案的选择都是具体的，因为它以是否符合既定准则为依据。谈到最优方案时，都要指明这些准则（“就……而言最优”）。按一个准则最优的，未必按另一个准则也最优。

约束条件，是模型各变量必须满足的、以不等式或等式形式给出的数学表达式。

约束条件缩小了可行解的集合。在某些情况下，给定的约束下可能根本不存在最优解。这意味着：依据课题求解所作出的最终决策，其质量取决于模型通过约束条件形式化描述现实情境时的适当程度。约束条件包括限额、运输工具载重量、计划任务量、设备的重量特性、资源限制等等。

约束条件的配置一旦改变，最好的解可能就换成另一个。在现实世界中，约束可能具有物理的、经济的或政治的性质，并不一定能够形式化。某个具体的解只有对给定模型、在既定约束体系之下才是最好的。模型越准确地反映情境，课题的解就越接近最优。

运筹学的一切模型都可以依据作业的性质与属性、所解课题的特点以及所用数学方法加以分类：

若有效性准则是线性函数，且约束体系中的各函数也是线性的，则该课题是线性规划课题。
若依其实质含义，其解必须为整数，则为整数线性规划课题。
若有效性准则及／或约束体系由非线性函数给定，则得到非线性规划课题。其中若上述函数具有凸性，所得课题即为凸规划课题。
若数学规划课题中含有时间变量，且有效性准则并非以变量的显函数形式给出，而是间接地通过描述作业随时间推进的方程给出，则该课题是动态规划课题。
若因解的方案数目过于庞大而无法用算法求得精确最优，则采用启发式规划方法：它们能够大幅减少所考察的方案数目，即便求不到最优解，也能求得从实践角度看足够好、令人满意的解。

按实质性提法，运筹学其他大量典型课题可以分为若干类：

网络计划课题（PERT/CPM）考察大型作业（任务）综合体的完成期限与该综合体中一切作业开始时刻之间的关系。这类课题在于求出作业综合体的最短工期，以及费用与完成期限之间的最优关系。
排队课题致力于研究和分析带有请求或需求排队的服务系统，其内容是确定系统的运行指标及其最优特性——例如确定服务通道数目、服务时间等等。
库存管理课题在于求出库存水平（订货点）与订货批量的最优值。这类课题的特点在于：库存水平提高，一方面使保管费用增加，另一方面又减少了因所储产品可能短缺而造成的损失。
资源分配课题产生于这样的情形：有一组必须完成的作业（任务），而可支配的资源有限，需要求出资源在各作业之间的最优分配，或作业的最优组合。
维护与更新课题与设备的磨损老化及更换需要有关。
在运筹学模型中，还特别划分出用于冲突情境下作出最优决策的模型，它们由博弈论加以研究。冲突情境是指追求不同目标的两方（或多方）利益相撞的情形，其中包括经济、法律、军事等领域的许多情形。在博弈论课题中，须为冲突参与者的合理行为提出建议，并确定他们的最优策略。