Ottimizzazione

Ottimale significa il migliore nelle condizioni date. La qualità viene valutata mediante un criterio di ottimalità, e le condizioni vengono specificate come vincoli su criteri aggiuntivi.

L’aspirazione a migliorare l’efficienza nel lavoro, nell’attività creativa e in qualsiasi attività orientata a un obiettivo trova la sua espressione fondamentale nel concetto di ottimalità. La differenza tra la comprensione scientifica e quella quotidiana dell’ottimalità è minima. Sebbene espressioni come «il più ottimale» o «massimo effetto al minimo costo» siano matematicamente imprecise, tali formulazioni trasmettono comunque, in modo approssimativo, l’idea intesa. Quando è necessaria un’ottimizzazione specifica, le persone tendono a riformulare le proprie affermazioni in modo più preciso.

L’ottimizzazione — in matematica, informatica e ricerca operativa — è il problema di trovare un estremo (minimo o massimo) di una funzione obiettivo in una determinata regione di uno spazio vettoriale a dimensione finita, delimitata da un insieme di uguaglianze e/o disuguaglianze lineari e/o non lineari.

I modelli di ottimizzazione sono progettati per determinare i parametri ottimali (migliori) di un oggetto modellato rispetto a un dato criterio, oppure per trovare la modalità ottimale (migliore) di controllo di un processo. Alcuni parametri del modello sono classificati come parametri di controllo; variandoli, è possibile ottenere diversi insiemi di valori dei parametri di uscita. Di norma, tali modelli sono costruiti utilizzando uno o più modelli descrittivi e includono un criterio che consente di confrontare diversi insiemi di valori dei parametri di uscita per selezionare il migliore. Sul dominio dei valori dei parametri di ingresso possono essere imposti vincoli in forma di uguaglianze e disuguaglianze, relativi alle caratteristiche dell’oggetto o del processo considerato. Lo scopo dei modelli di ottimizzazione è trovare i parametri di controllo ammissibili per i quali il criterio di selezione raggiunge il suo «valore migliore».

Il problema viene formulato come modello matematico. Il modello matematico standard della ricerca operativa è presentato nella seguente formulazione:

Massimizzazione o minimizzazione della funzione obiettivo, nel rispetto dei vincoli.

Le soluzioni sono dette ottimali se, secondo un dato attributo, risultano preferibili ad altre. Ogni scelta dell’alternativa migliore è specifica, poiché si basa sulla conformità a criteri stabiliti. Quando si parla di alternativa ottimale, occorre specificare tali criteri («ottimale rispetto a…»). Ciò che è ottimale secondo un criterio non è necessariamente tale secondo un altro.

Una soluzione ammissibile è quella che soddisfa tutti i vincoli del modello. In alcuni casi, il numero di soluzioni ammissibili può essere infinito.

Una soluzione ottimale è quella che, oltre a essere ammissibile, massimizza o minimizza la funzione obiettivo.

L’ottimizzazione è la massimizzazione o minimizzazione della funzione obiettivo.

Un modello di ottimizzazione è un modello di presa di decisione che contiene una misura di efficacia (una funzione obiettivo) da ottimizzare, nel rispetto di vincoli dati.

Una soluzione ottimale è un insieme ammissibile di valori delle variabili decisionali che ottimizza la funzione obiettivo del modello di ottimizzazione.

Un gran numero di problemi pratici di scelta si riduce alla ricerca delle alternative migliori o più preferibili, e spesso alla ricerca dell’unica alternativa migliore. In questo processo, ogni decisore ha proprie concezioni soggettive di ciò che è preferibile per lui in una specifica situazione di scelta.

Molti problemi consentono un modello matematico di scelta, in cui l’alternativa migliore è definita da uno o più criteri numerici di efficacia (o qualità). Tali criteri, determinati dal problema, sono funzioni obiettivo di variabili che rappresentano le proprietà delle alternative. L’alternativa più preferibile per il decisore è quindi la scelta ottimale, che produce valori estremi delle misure di efficacia nelle condizioni date.

Un aspetto fondamentale della formulazione del problema di scelta ottimale è la capacità di descrivere in forma quantitativa la situazione problematica e le preferenze del decisore. Ciò significa che, in primo luogo, le possibili alternative di soluzione (alternative, oggetti, corsi d’azione) sono determinate da attributi quantitativi (variabili, parametri, caratteristiche) misurati mediante scale numeriche. In secondo luogo, devono essere specificate misure quantitative (criteri di ottimalità, misure di efficacia, funzioni obiettivo, funzioni di valore), in base alla cui grandezza viene valutata la qualità dell’alternativa scelta. Tali situazioni sono caratteristiche dei problemi ben strutturati e delle situazioni di scelta ricorrenti, tipiche della ricerca operativa e del controllo ottimale.

Per analizzare le possibili alternative di soluzione di un problema (i modi per raggiungere un obiettivo) e per selezionare tra esse la migliore o le migliori, si costruiscono modelli formali di scelta ottimale. Un modello fornisce una rappresentazione semplificata del problema reale e deve riflettere le dipendenze e le relazioni più importanti, oggettivamente esistenti, tra le alternative, i loro attributi descrittivi e i vincoli imposti da fattori controllabili e non controllabili. La costruzione di tale modello è compito di consulenti analisti ed esperti, con la partecipazione del decisore. Nella costruzione di un modello di scelta, occorre bilanciare l’adeguatezza e il dettaglio del modello con la precisione richiesta dal problema di scelta reale, nonché con il volume di informazioni necessario per trovare la soluzione — sia quelle già disponibili sia quelle che possono essere ottenute in aggiunta.

I problemi di ottimizzazione sono problemi matematici rigorosamente formali. Il significato pratico delle soluzioni di tali problemi dipende direttamente dalla qualità del modello matematico iniziale. Nei sistemi complessi, la modellazione matematica è difficile, approssimativa e imprecisa. Quanto più complesso è il sistema, tanto più cautela occorre nell’affrontarne l’ottimizzazione.

Dal punto di vista dell’analisi dei sistemi, l’atteggiamento verso l’ottimizzazione può essere formulato così: essa è un potente mezzo per migliorare l’efficienza, ma va utilizzata con crescente cautela man mano che aumenta la complessità del problema.

Nonostante l’evidente utilità dell’idea di ottimizzazione, la pratica richiede che essa sia trattata con cautela. Vi sono motivi sufficientemente validi per una simile conclusione.

1. Una soluzione ottimale si rivela spesso instabile: cambiamenti apparentemente insignificanti nelle condizioni del problema possono portare alla scelta di alternative sostanzialmente diverse.
2. Il sistema considerato fa parte di un sistema più ampio, e l’ottimizzazione locale non produce necessariamente lo stesso risultato che sarebbe richiesto per il sottosistema quando si ottimizza il sistema nel suo complesso. Ciò rende necessario allineare i criteri del sottosistema con i criteri del sistema, rendendo spesso superflua l’ottimizzazione locale.
3. I criteri caratterizzano l’obiettivo solo in modo indiretto — a volte meglio, a volte peggio, ma sempre in modo approssimativo. La massimizzazione del criterio di ottimalità viene spesso equiparata all’obiettivo, ma in realtà si tratta di cose diverse. In effetti, il criterio e l’obiettivo si relazionano tra loro come un modello e l’originale, con tutte le implicazioni che ne conseguono. Molti obiettivi sono difficili o addirittura impossibili da descrivere in termini quantitativi.
4. Senza specificare tutti i vincoli necessari, insieme alla massimizzazione del criterio primario possiamo ottenere effetti collaterali imprevisti e indesiderati.