A kvantitatív kutatási módszerek alkalmazásához szükséges a művelet matematikai modelljét megalkotni. A modell megalkotásakor a műveletet jellemzően egyszerűsítik és szemléltetik, a kapott sémát pedig matematikai eszközökkel írják le. A művelet modellje a művelet kellően pontos matematikai leírása, amelyet függvények, egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek segítségével fejeznek ki. A művelet eredményessége azt a mértéket jelenti, amennyire eléri a kitűzött célt.
Az operációkutatási feladat általános megfogalmazása
Az operációkutatásban az irányítási helyzet célokat és döntéseket foglal magába. A döntéseket a cél elérése érdekében hozzák meg. Az irányítási helyzetet modell írja le. A modell tartalmazza az eredményesség mértékét, amely alapján megállapítható, hogy a döntés mennyire áll közel a célhoz. Az eredményesség mértéke a műveletre hatást gyakorló tényezőktől függ. A művelet leírásában szereplő valamennyi tényező két csoportra osztható: állandó, nem befolyásolható tényezőkre és irányítható tényezőkre.
A modell fogalmi elemeit „fekete dobozként” ábrázolják, ahol a fő figyelem a bemenetek és kimenetek meghatározására irányul. A bemenetek azok, amiket a modell feldolgoz; a kimenetek pedig azok, amiket a modell előállít. Bemenetként irányítható és nem irányítható változókat adnak meg. A kimenet az eredményességi kritérium. A modell explicit módon tartalmazza az eredményesség mértékét, amely alapján megállapítható, hogy a döntés mennyire áll közel a célhoz. A modell megalkotásakor fontos meghatározni, hogy a bemeneti paraméterek hogyan hatnak a megadott mértékre.
Az eredményességi kritérium, amelyet egy bizonyos, célfüggvénynek nevezett függvény fejez ki, mindkét csoport tényezőitől függ. Az eredményességi kritérium matematikai kifejezését célfüggvénynek nevezik. A célfüggvény az eredményesség matematikailag megfogalmazott (formalizált) mértéke, amelyet maximalizálni vagy minimalizálni kell.
Az irányítható változók azok a paraméterek, amelyeket a döntéshozó kezel.
A nem irányítható változók olyan külső tényezők, amelyeket az irányító nem képes befolyásolni, ám amelyek elengedhetetlenek a célok eléréséhez.
Az eredményességi kritérium, vagyis a célfüggvény a döntési változók függvénye, amely a célhoz való közelítés mértékét fejezi ki.
A matematikai modell meghatározása: matematikai modellnek nevezünk minden olyan operátort, amely a bemeneti paraméterek megfelelő értékei alapján a modellezett objektum kimeneti paramétereinek értékeit állítja elő a modellezett objektum bemeneti és kimeneti paramétereinek megengedett értékhalmazán belül.
Az operációkutatás modelljei és döntéshozatal
Az operációkutatás a racionális döntéshozatal kvantitatív megalapozására irányul. Ezek a modellek szorosan összefonódnak a döntéselmélet és az optimalizálási feladatok nagy osztályával.
Az operációkutatási modell kidolgozásakor az alábbi kérdésekre kell választ adni:
- mi tekintendő az adott esetben alternatív megoldásnak?
- milyen kritérium alapján válasszuk ki az alternatív megoldásokat?
- milyen korlátozásoknak kell megfelelniük a megengedett megoldásoknak?
Az operációkutatás standard matematikai modellje a következő megfogalmazásban jelenik meg: a célfüggvény maximalizálása vagy minimalizálása a korlátozások teljesülése mellett.
A megoldás kiválasztásakor azt részesítik előnyben, amely maximalizálja vagy minimalizálja a célfüggvényt. A célfüggvény maximalizálásának példái közé tartozik a nyereség és a termelékenység. A célfüggvény minimalizálása vonatkozhat költségekre, kiadásokra, időre és hasonlókra. Az eredményességi kritérium kiválasztása a vizsgálat központi, legkritikusabb pillanata. Sokkal jobb egy helyesen kiválasztott kritériumhoz nem optimális megoldást találni, mint egy helytelenül kiválasztott kritériumhoz optimálisat.
Megengedett megoldásnak azt nevezzük, amely kielégíti a modell valamennyi korlátozását. A megengedett megoldások száma végtelen lehet.
Optimális megoldásnak azt nevezzük, amely a megengedettségen felül a célfüggvényt annak maximális vagy minimális értékére hozza.
Optimálisnak azokat a megoldásokat nevezik, amelyek valamely tulajdonságuk alapján előnyösebbek másoknál. A legjobb alternatíva kiválasztása mindig konkrét, mivel a megállapított kritériumoknak való megfelelésen alapul. Amikor optimális alternatíváról beszélünk, meg kell adni ezeket a kritériumokat („optimális… tekintetében”). Ami egy kritérium szerint optimális, nem feltétlenül optimális egy másik szerint.
A korlátozás olyan egyenlőtlenség vagy egyenlőség formájában megjelenő matematikai kifejezés, amelyet a modell változóinak ki kell elégíteniük.
A korlátozások szűkítik a megengedett megoldások halmazát. Bizonyos esetekben a megadott korlátozások mellett egyáltalán nem létezik optimális megoldás. Ez azt jelenti, hogy a feladat megoldása alapján hozott végső döntés minősége attól függ, mennyire adekvátan tükrözi a modell azt a valós helyzetet, amelyet a korlátozások révén formálisan leír. A korlátozások közé tartoznak a kvóták, a szállítóeszközök terhelhetősége, a tervezett feladat mennyisége, a berendezések súlyjellemzői, az erőforrás-korlátok és hasonlók.
A korlátozások összetételének megváltozásakor más megoldás válhat a legjobbá. A valós világban a korlátozások fizikai, gazdasági vagy politikai jellegűek lehetnek, és nem feltétlenül formalizálhatók. Egy konkrét megoldás csak az adott modell esetén, a megállapított korlátozási rendszer mellett lesz a legjobb. Minél pontosabban tükrözi a modell a helyzetet, annál közelebb áll a feladat megoldása az optimálishoz.
Az operációkutatási modellek osztályozása
Az operációkutatási modellek osztályozhatók a művelet jellege és tulajdonságai, a megoldandó feladatok jellege, valamint az alkalmazott matematikai módszerek szerint:
- Ha az eredményességi kritérium lineáris függvény, és a korlátozási rendszerben szereplő függvények is lineárisak, akkor lineáris programozási feladatról van szó.
- Ha tartalmi jelentése alapján a megoldásoknak egész számoknak kell lenniük, akkor egészértékű lineáris programozási feladatról van szó.
- Ha az eredményességi kritériumot és/vagy a korlátozási rendszert nemlineáris függvények adják meg, akkor nemlineáris programozási feladatról van szó. Ha az adott függvények konvexitási tulajdonságokkal rendelkeznek, az így kapott feladat konvex programozási feladat.
- Ha egy matematikai programozási feladat tartalmaz időváltozót, és az eredményességi kritériumot nem a változók explicit függvényeként fejezik ki, hanem közvetve — a műveletek időbeli lefolyását leíró egyenletek révén —, akkor dinamikus programozási feladatról van szó.
- Ha a megoldási változatok túlzottan nagy száma miatt a pontos optimum algoritmikus megtalálása lehetetlen, akkor heurisztikus programozási módszereket alkalmaznak, amelyek jelentősen csökkentik a megvizsgált változatok számát, és lehetővé teszik, hogy — ha nem is az optimálisat — de gyakorlati szempontból kielégítő, kellően jó megoldást találjunk.
Tartalmi megfogalmazásuk szerint az operációkutatás számos más jellemző feladata több osztályba sorolható:
- A projekttervezési feladatok (PERT/CPM) a műveletek (feladatok) nagy komplexumának befejezési határidői és a komplexumban szereplő valamennyi művelet kezdési időpontjai közötti összefüggéseket vizsgálják. Ezek a feladatok a műveletkomplexum minimális időtartamának, valamint a költségek és a befejezési határidők közötti optimális összefüggés meghatározásából állnak.
- A sorbanállási feladatok a kérelmek vagy igények sorával rendelkező kiszolgáló rendszerek vizsgálatával és elemzésével foglalkoznak, és a rendszerek teljesítménymutatóinak és optimális jellemzőinek — például a kiszolgáló csatornák számának, a kiszolgálási időnek és hasonlóknak — meghatározásából állnak.
- A készletgazdálkodási feladatok a készletszint (rendelési pont) és a rendelési tétel nagyságának optimális értékeinek meghatározásából állnak. Ezen feladatok jellemzője, hogy a készletszint növekedésével egyrészt nő a tárolási költség, másrészt csökken a raktározott termék esetleges hiányából eredő veszteség.
- Erőforrás-elosztási feladatok akkor keletkeznek, amikor egy bizonyos műveletkészletet (feladatkészletet) korlátozott mennyiségű rendelkezésre álló erőforrással kell végrehajtani, és meg kell találni az erőforrások optimális elosztását a műveletek között, illetve a műveletek optimális összetételét.
- A karbantartási és cseréfeladatok a berendezések elhasználódásával és öregedésével, valamint azok cseréjének szükségességével kapcsolatosan relevánsak.
- Az operációkutatási modellek közül külön kiemelendők a konfliktushelyzetekben történő optimális döntéshozatal modelljei, amelyeket a játékelmélet vizsgál. Konfliktushelyzeteknek nevezzük azokat a helyzeteket, amelyekben két (vagy több) különböző célt követő fél érdekei ütköznek, és amelyek számos, a gazdaság, a jog, a katonai ügyek és hasonló területeken előforduló esetet felölelnek. A játékelméleti feladatokban ajánlásokat kell kidolgozni a konfliktusban részt vevő felek racionális magatartására, és meg kell határozni azok optimális stratégiáit.