गणितीय मॉडलिंग की प्रक्रिया

आज बनाए जा रहे गणितीय मॉडलों की एक विशिष्ट विशेषता उनकी जटिलता है, जो उन वस्तुओं की जटिलता से उत्पन्न होती है जिनका मॉडलिंग किया जा रहा है। इससे मॉडल उत्तरोत्तर अधिक विस्तृत होते जाते हैं और यह आवश्यकता पैदा होती है कि विभिन्न ज्ञान क्षेत्रों के कई सिद्धांतों का एक साथ उपयोग किया जाए, साथ ही सिमुलेशन परिणामों को प्राप्त करने और उनके विश्लेषण के लिए आधुनिक गणनात्मक विधियों और संगणन प्रौद्योगिकी का उपयोग किया जाए। जटिल वस्तुओं के मामले में, सामान्यतः एक ही मॉडल के भीतर सभी आवश्यकताओं को पूरा करना असंभव होता है। इसके स्थान पर, एक ही वस्तु के मॉडलों का संपूर्ण स्पेक्ट्रम बनाना आवश्यक होता है (कुछ मामलों में, “अंतर्निहित” मॉडलों का एक पदानुक्रमित समुच्चय), जिनमें से प्रत्येक उसे सौंपे गए विशेष कार्यों के समाधान के लिए सर्वाधिक उपयुक्त होता है।

बड़े पैमाने पर मॉडल निर्माण की आवश्यकता नियमों और दृष्टिकोणों के एक समुच्चय के विकास की मांग करती है, जो मॉडल विकास की लागत को कम करे और बाद में समाप्त करने में कठिन त्रुटियों की संभावना को घटाए। नियमों के इस समुच्चय को गणितीय मॉडल बनाने की एक तकनीक कहा जा सकता है।

किसी भी गणितीय मॉडल के निर्माण की प्रक्रिया को चरणों के एक अनुक्रम के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

1. मॉडलिंग की जाने वाली वस्तु का सर्वेक्षण करना और मॉडल विकास हेतु संदर्भ शर्तें तैयार करना (सारवस्तु समस्या कथन);
2. समस्या का संकल्पनात्मक और गणितीय सूत्रीकरण;
3. मॉडल की शुद्धता का गुणात्मक विश्लेषण और सत्यापन;
4. समाधान विधियों का चयन और औचित्य;
5. समाधान प्राप्त करना;
6. समाधान कलनविधि विकसित करना और उसके गुणों की जाँच करना; कलनविधि को सॉफ़्टवेयर के रूप में क्रियान्वित करना;
7. मॉडल का सत्यापन;
8. निर्मित मॉडल का व्यावहारिक प्रयोग।

गणितीय मॉडल — विशेष रूप से वे जो संख्यात्मक विधियों और संगणन प्रौद्योगिकी का उपयोग करते हैं — उनके निर्माण के लिए महत्वपूर्ण बौद्धिक, वित्तीय और समय संसाधनों की आवश्यकता होती है। इसलिए, नया मॉडल विकसित करने का निर्णय तभी लिया जाता है जब सामने आई समस्याओं को हल करने का कोई सरल उपाय उपलब्ध न हो (उदाहरण के लिए, किसी विद्यमान मॉडल में संशोधन करके)।

नए मॉडल की आवश्यकता वैज्ञानिक अनुसंधान के संबंध में, विशेष रूप से विभिन्न ज्ञान क्षेत्रों के मिलनबिंदु पर, उत्पन्न हो सकती है। एक बार जब नया गणितीय मॉडल बनाने का निर्णय ले लिया जाता है, तो कार्य सौंपने वाला पक्ष कार्य करने के लिए एक टीम की खोज करता है। सामान्यतः, परियोजना टीम में विभिन्न पृष्ठभूमियों के विशेषज्ञ शामिल होते हैं: व्यावहारिक गणितज्ञ, वे विषय-क्षेत्र विशेषज्ञ जो मॉडलिंग की जा रही वस्तु से पूरी तरह परिचित हैं, और सॉफ़्टवेयर विकासकर्ता। मॉडल बनाने का निर्णय पुष्ट हो जाने और परियोजना टीम बन जाने के बाद, सर्वेक्षण चरण आरंभ होता है। इस चरण का प्राथमिक उद्देश्य मॉडलिंग समस्या का सारवस्तु कथन तैयार करना है। सारवस्तु समस्या कथन मॉडलिंग वस्तु के बारे में उन मुख्य प्रश्नों की सूची है, जिन्हें सादी भाषा में व्यक्त किया गया है और जिनका उत्तर कार्य सौंपने वाला पक्ष पाना चाहता है।

उन प्रश्नों की सूची तैयार करना जिनका उत्तर नए मॉडल को देना चाहिए, अपने आप में अक्सर एक समस्या होती है, जिसके लिए विशिष्ट ज्ञान और क्षमताओं वाले विशेषज्ञों की आवश्यकता होती है। उन्हें न केवल मॉडलिंग प्रयास के विषय क्षेत्र की गहरी समझ होनी चाहिए और आधुनिक गणनात्मक गणित तथा संगणन प्रौद्योगिकी की क्षमताओं से अवगत होना चाहिए, बल्कि लोगों के साथ संवाद करने में भी सक्षम होना चाहिए — उन व्यावहारिक विशेषज्ञों से जानकारी निकालने में, जिन्हें मॉडलिंग वस्तु और उसके व्यवहार की सूक्ष्मताओं के बारे में सहज “समझ” है। ऐसे विशेषज्ञों में, उदाहरण के लिए, प्रणाली विश्लेषक, प्रणाली अभियंता और संक्रिया विज्ञानी शामिल हैं।

एकत्रित सभी जानकारी के विश्लेषण के आधार पर, समस्या-सूत्रकर्ता को भविष्य के मॉडल के लिए ऐसी आवश्यकताएँ परिभाषित करनी होती हैं जो एक ओर कार्य सौंपने वाले पक्ष को संतुष्ट करें और दूसरी ओर मॉडल को दी गई समय-सीमा और बजट के भीतर क्रियान्वित करने योग्य बनाएँ। प्रणाली विश्लेषकों (या संक्रिया विज्ञानियों) के पास मॉडलिंग वस्तु के बारे में ढीले ढंग से संरचित और विविध जानकारी की बड़ी मात्रा से, तथा कार्य सौंपने वाले पक्ष की विभिन्न अस्पष्ट रूप से व्यक्त इच्छाओं और आवश्यकताओं से, उन आवश्यक तत्वों को निकालने की क्षमता होनी चाहिए जिन्हें वास्तव में क्रियान्वित किया जा सके।

मॉडलिंग वस्तु के बारे में एकत्रित जानकारी के आधार पर, प्रणाली विश्लेषक (अभियंता, संक्रिया विज्ञानी) कार्य सौंपने वाले पक्ष के साथ मिलकर सारवस्तु समस्या कथन तैयार करता है, जो सामान्यतः अंतिम नहीं होता और मॉडल विकास के क्रम में उसे परिष्कृत तथा विस्तृत किया जा सकता है। हालाँकि, सारवस्तु कथन में बाद के सभी समायोजन और परिवर्तन प्रकृति में मामूली और गैर-मौलिक होने चाहिए।

सर्वेक्षण के दौरान एकत्रित सारी सामग्री — वस्तु के बारे में संचित ज्ञान, सारवस्तु समस्या कथन, मॉडल के क्रियान्वयन और परिणामों की प्रस्तुति के लिए अतिरिक्त आवश्यकताएँ — को मॉडल के अभिकल्पन और विकास हेतु संदर्भ शर्तों के रूप में प्रलेखित किया जाता है। संदर्भ शर्तें सर्वेक्षण चरण का समापन दस्तावेज़ हैं। सर्वेक्षण के दौरान वस्तु के बारे में जितनी अधिक पूर्ण जानकारी एकत्र की जाती है, सारवस्तु समस्या को उतनी ही स्पष्टता से बताया जा सकता है, संचित अनुभव और ज्ञान को उतनी ही पूर्णता से ध्यान में रखा जा सकता है, और मॉडल विकास के बाद के चरणों में उतनी ही अधिक कठिनाइयों से बचा जा सकता है।

सारवस्तु सूत्रीकरण के विपरीत, मॉडलिंग समस्या का संकल्पनात्मक सूत्रीकरण सामान्यतः परियोजना टीम के सदस्यों द्वारा कार्य सौंपने वाले पक्ष के प्रतिनिधियों की सहभागिता के बिना, पिछले चरण में विकसित संदर्भ शर्तों के आधार पर तथा मॉडलिंग वस्तु और भविष्य के मॉडल की आवश्यकताओं के बारे में उपलब्ध ज्ञान का उपयोग करते हुए तैयार किया जाता है। टीम सदस्यों द्वारा मॉडलिंग वस्तु के बारे में उपलब्ध सभी जानकारी का विश्लेषण और संयुक्त चर्चा, वस्तु का एक संकल्पनात्मक मॉडल बनाने में सक्षम बनाती है — प्रत्येक टीम सदस्य द्वारा विकसित संज्ञानात्मक मॉडलों का एक संश्लेषण।

मॉडलिंग समस्या का संकल्पनात्मक सूत्रीकरण, कार्य सौंपने वाले पक्ष की रुचि के मुख्य प्रश्नों की एक सूची है, जो विशिष्ट अनुशासनों की शब्दावली में व्यक्त की गई है, साथ ही मॉडलिंग वस्तु के गुणों और व्यवहार के संबंध में परिकल्पनाओं का एक समुच्चय है।

संकल्पनात्मक कथन के निर्माण में सबसे बड़ी कठिनाइयाँ उन मॉडलों में उत्पन्न होती हैं जो विभिन्न अनुशासनों के मिलनबिंदु पर स्थित होते हैं। एक ही वस्तु का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली परंपराओं, अवधारणाओं और भाषाओं में अंतर, अंतःविषयक मॉडलों के निर्माण में बहुत गंभीर बाधाएँ प्रस्तुत करते हैं।

एक पूर्ण संकल्पनात्मक सूत्रीकरण, मॉडलिंग समस्या का गणितीय सूत्रीकरण तैयार करने में सक्षम बनाता है, जिसमें मॉडलिंग वस्तु के व्यवहार और गुणों का वर्णन करने वाले गणितीय संबंधों का समुच्चय शामिल होता है।

मॉडलिंग समस्या का गणितीय सूत्रीकरण, मॉडलिंग वस्तु के व्यवहार और गुणों का वर्णन करने वाले गणितीय संबंधों का समुच्चय है।

एक गणितीय मॉडल को सही माना जाता है यदि सभी सत्यापन जाँचें सकारात्मक परिणामों के साथ की गई हों: विमीय विश्लेषण, कोटि-परिमाण जाँच, निर्भरताओं की प्रकृति की जाँच, चरम-स्थिति विश्लेषण, सीमा शर्तें, भौतिक अर्थ, और गणितीय समापन। गणितीय सूत्रीकरण संकल्पनात्मक सूत्रीकरण से भी अधिक अमूर्त होता है, क्योंकि यह मूल समस्या को एक विशुद्ध गणितीय समस्या में परिवर्तित कर देता है, जिसके लिए भली-भाँति विकसित समाधान विधियाँ उपलब्ध हैं।

गणितीय मॉडलों के “मूल” का निर्माण करने वाली समस्याओं को हल करने की सभी विधियों को विश्लेषणात्मक और कलनविधिक (संख्यात्मक) में विभाजित किया जा सकता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि जब विश्लेषणात्मक समाधानों का उपयोग संख्यात्मक परिणाम प्राप्त करने के लिए किया जाता है, तो कंप्यूटरों पर क्रियान्वित संगत कलनविधियों को विकसित करना भी अक्सर आवश्यक होता है।

हालाँकि, इस स्थिति में आरंभिक समाधान एक विश्लेषणात्मक व्यंजक (या व्यंजकों के एक समुच्चय) का रूप लेता है। इसके विपरीत, कलनविधिक विधियों पर आधारित समाधान, संबंधित समस्या के परिशुद्ध विश्लेषणात्मक समाधानों में मौलिक रूप से अपरिवर्तनीय होते हैं।

किसी विशेष अनुसंधान विधि का चुनाव बहुत हद तक परियोजना टीम सदस्यों की योग्यता और अनुभव पर निर्भर करता है। विश्लेषणात्मक विधियाँ परिणामों के बाद के विश्लेषण के लिए अधिक सुविधाजनक होती हैं, परंतु ये केवल अपेक्षाकृत सरल मॉडलों पर ही लागू होती हैं। यदि गणितीय समस्या (यहाँ तक कि सरलीकृत सूत्रीकरण में भी) विश्लेषणात्मक समाधान की अनुमति देती है, तो वह समाधान निस्संदेह संख्यात्मक समाधान की तुलना में अधिक श्रेयस्कर है।

कलनविधिक विधियाँ समस्या को एक ऐसी कलनविधि में परिवर्तित करती हैं जो संगणन प्रौद्योगिकी का उपयोग करते हुए एक गणनात्मक प्रयोग करती है। इस प्रकार के प्रयोग में मॉडलिंग की परिशुद्धता, चुनी गई विधि और उसके प्राचलों पर गंभीर रूप से निर्भर करती है। कलनविधिक विधियों को क्रियान्वित करना सामान्यतः अधिक श्रमसाध्य होता है और इसके लिए परियोजना टीम सदस्यों को गणनात्मक गणित का दृढ़ ज्ञान, विशिष्ट सॉफ़्टवेयर की एक विस्तृत लाइब्रेरी, और शक्तिशाली संगणन संसाधनों की आवश्यकता होती है।

संख्यात्मक विधियाँ केवल सुपरिभाषित (well-posed) गणितीय समस्याओं पर ही लागू होती हैं, जो गणितीय मॉडलिंग में उनके उपयोग को महत्वपूर्ण रूप से सीमित करता है। सभी संख्यात्मक विधियों में सामान्य बात यह है कि गणितीय समस्या को एक परिमित-विमीय समस्या में परिवर्तित किया जाता है। यह सबसे अधिक बार मूल समस्या को असतत बनाकर (discretizing) प्राप्त किया जाता है — अर्थात, सतत तर्क के फलनों को असतत तर्क के फलनों से प्रतिस्थापित करके। किसी भी संख्यात्मक विधि के प्रयोग से परिणामों में अनिवार्यतः त्रुटि आती है। मूल समस्या के संख्यात्मक समाधान में उत्पन्न होने वाली त्रुटि के तीन मुख्य घटकों को पहचाना जा सकता है: निवेश आँकड़ों के अशुद्ध विनिर्देशन (आरंभिक और सीमा शर्तें, समीकरण गुणांक और दाहिने पक्ष) से जुड़ी अंतर्निहित त्रुटि; मूल समस्या के असतत समरूप में संक्रमण से जुड़ी असततीकरण त्रुटि; और कंप्यूटर में संख्याओं के परिमित परिशुद्धता निरूपण से जुड़ी पूर्णांकन त्रुटि।

किसी भी विशिष्ट गणनात्मक कलनविधि के लिए एक स्वाभाविक आवश्यकता यह है कि इन तीन प्रकार की त्रुटियों की कोटियों में सुसंगति हो।

एक संख्यात्मक, या सन्निकट, विधि सदैव एक गणनात्मक कलनविधि के रूप में क्रियान्वित की जाती है। इसलिए, कलनविधियों पर सामान्यतः लागू होने वाली सभी आवश्यकताएँ गणनात्मक कलनविधियों पर भी लागू होती हैं। सबसे पहले और सर्वोपरि, एक कलनविधि व्यवहार्य होनी चाहिए — उसे स्वीकार्य संगणन समय के भीतर समस्या को हल करना चाहिए। किसी कलनविधि की एक महत्वपूर्ण विशेषता उसकी परिशुद्धता है — परिमित संख्या में संक्रियाओं में मूल समस्या का समाधान किसी दी गई परिशुद्धता तक प्राप्त करने की क्षमता।

किसी कलनविधि के चलने का समय, निर्दिष्ट परिशुद्धता प्राप्त करने के लिए आवश्यक संक्रियाओं की संख्या पर निर्भर करता है। किसी भी गणितीय समस्या के लिए, सामान्यतः, कई कलनविधियाँ प्रस्तावित की जा सकती हैं जो वांछित परिशुद्धता तक समाधान देती हैं, परंतु संक्रियाओं की भिन्न संख्याओं में। समान परिशुद्धता प्राप्त करने के लिए कम संक्रियाओं की आवश्यकता वाली कलनविधियों को अधिक आर्थिक, या अधिक दक्ष कहा जाता है।

किसी गणनात्मक कलनविधि के निष्पादन के दौरान, प्रत्येक गणनात्मक चरण में एक निश्चित त्रुटि उत्पन्न होती है। चरण-दर-चरण, यह त्रुटि बढ़ भी सकती है या नहीं भी बढ़ सकती (और कुछ मामलों में घट भी सकती है)। यदि गणना के दौरान त्रुटि असीमित रूप से बढ़ती है, तो कलनविधि को अस्थिर, या अपसारी (divergent) कहा जाता है। अन्यथा, कलनविधि को स्थिर, या अभिसारी (convergent) कहा जाता है।

संख्यात्मक विधियों की विशाल विविधता, प्रत्येक विशिष्ट मामले में किसी विशेष विधि के चुनाव को काफी कठिन बना देती है। चूँकि किसी दिए गए मॉडल को क्रियान्वित करने के लिए कई वैकल्पिक कलनविधिक विधियों का उपयोग किया जा सकता है, इसलिए किसी विशिष्ट विधि का चुनाव इस बात को ध्यान में रखते हुए किया जाता है कि कौन-सी विधि दक्षता, स्थिरता और परिणामों की परिशुद्धता के संदर्भ में मॉडल के लिए सर्वोत्तम अनुकूल है, तथा कौन-सी परियोजना टीम सदस्यों के लिए सर्वाधिक परिचित है।

अनुसंधान, अभिकल्पन-अभियांत्रिकी और प्रबंधन के व्यापक कार्यों को हल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विभिन्न सॉफ़्टवेयर तंत्रों के निर्माण में, गणितीय मॉडल आज सामान्यतः आधार के रूप में कार्य करते हैं। इससे एक मॉडल को कंप्यूटर प्रोग्राम के रूप में क्रियान्वित करने की आवश्यकता उत्पन्न होती है। विश्वसनीय और कार्यक्षम सॉफ़्टवेयर विकसित करने की प्रक्रिया, गणितीय मॉडल निर्माण के पूर्ववर्ती सभी चरणों से कम जटिल नहीं है। इस कार्य को सफलतापूर्वक हल करना केवल आधुनिक प्रोग्रामिंग भाषाओं और प्रौद्योगिकियों पर आत्मविश्वासपूर्ण अधिकार, संगणन क्षमताओं का ज्ञान, उपलब्ध सॉफ़्टवेयर, और गणनात्मक गणित विधियों को क्रियान्वित करने की विशिष्टताओं के साथ ही संभव है।

सॉफ़्टवेयर विकास प्रक्रिया को कई चरणों में विभाजित किया जा सकता है:

• सॉफ़्टवेयर विकास के लिए संदर्भ शर्तें तैयार करना;
• सॉफ़्टवेयर तंत्र की संरचना का अभिकल्पन करना;
• कलनविधि को कोड में लिखना;
• परीक्षण और डीबगिंग;
• रखरखाव और संचालन।

सॉफ़्टवेयर विकास के लिए संदर्भ शर्तें एक विनिर्देश (specification) के रूप में प्रलेखित की जाती हैं। अभिकल्पन चरण में, सॉफ़्टवेयर तंत्र की समग्र संरचना बनाई जाती है। पूरे प्रोग्राम को सॉफ़्टवेयर मॉड्यूलों में विभाजित किया जाता है। प्रत्येक मॉड्यूल के लिए कार्यात्मक आवश्यकताएँ सूत्रबद्ध की जाती हैं और उन कार्यों को क्रियान्वित करने वाली एक कलनविधि विकसित की जाती है। मॉड्यूलों के बीच अंतःक्रिया योजना — जिसे सॉफ़्टवेयर तंत्र का आँकड़ा प्रवाह आरेख कहा जाता है — परिभाषित की जाती है। एक परीक्षण योजना विकसित की जाती है, और व्यक्तिगत मॉड्यूलों तथा संपूर्ण तंत्र के परीक्षण हेतु निवेश आँकड़े निर्दिष्ट किए जाते हैं।

गणितीय मॉडलों को क्रियान्वित करने वाले अधिकांश प्रोग्राम तीन मुख्य भागों से मिलकर बने होते हैं:

• एक पूर्व-संसाधक (मॉडल के निवेश आँकड़ों की तैयारी और सत्यापन);
• एक समाधानकर्ता (समस्या को हल करना, गणनात्मक प्रयोग करना);
• एक उत्तर-संसाधक (परिणामों का दृश्यीकरण और प्रस्तुति)।

आधुनिक प्रोग्रामिंग प्रौद्योगिकियों को अपनाने पर पर्याप्त महत्व दिया जाना चाहिए। किसी भी ऐसी प्रौद्योगिकी का उद्देश्य, सबसे पहले और सर्वोपरि, सॉफ़्टवेयर की विश्वसनीयता बढ़ाना और विकासकर्ता की उत्पादकता बढ़ाना है। सॉफ़्टवेयर परियोजना जितनी अधिक गंभीर और बड़े पैमाने की होती है, आधुनिक प्रोग्रामिंग प्रौद्योगिकियों को लागू करने के प्रश्न उतने ही अधिक महत्वपूर्ण हो जाते हैं। इन मामलों की अनदेखी करने से समय की महत्वपूर्ण अधिकता और सॉफ़्टवेयर तंत्र की विश्वसनीयता में कमी हो सकती है।

किसी विशिष्ट श्रेणी की समस्याओं को हल करने के लिए एक सॉफ़्टवेयर तंत्र की विश्वसनीयता और संक्षिप्त विकास समय सुनिश्चित करने में एक महत्वपूर्ण कारक, परस्पर संगत सॉफ़्टवेयर मॉड्यूलों की एक भली-भाँति विकसित लाइब्रेरी की उपलब्धता है। जब मानक सॉफ़्टवेयर घटकों का यथासंभव अधिकतम उपयोग किया जाता है, तो प्रोग्राम अधिक विश्वसनीय होता है और उसे अधिक तेज़ी से विकसित किया जा सकता है।

किसी गणितीय मॉडल की पर्याप्तता (adequacy) वह मात्रा है जिससे विकसित मॉडल से प्राप्त परिणाम, प्रायोगिक आँकड़ों या किसी संदर्भ (benchmark) समस्या के परिणामों के अनुरूप होते हैं।

मॉडल सत्यापन दो उद्देश्यों की पूर्ति करता है:

• संकल्पनात्मक और गणितीय सूत्रीकरण चरणों में सूत्रबद्ध परिकल्पनाओं के समुच्चय की वैधता की जाँच करना। परिकल्पना सत्यापन की ओर तभी बढ़ना चाहिए जब समाधान विधियों की जाँच हो चुकी हो और सॉफ़्टवेयर का व्यापक डीबगिंग तथा सभी त्रुटियों और विरोधों का उन्मूलन किया जा चुका हो;
• यह स्थापित करना कि परिणामों की परिशुद्धता, संदर्भ शर्तों में निर्दिष्ट परिशुद्धता के अनुरूप है।

विकसित गणितीय मॉडल का सत्यापन, वास्तविक वस्तु के बारे में उपलब्ध प्रायोगिक आँकड़ों से, या पहले से निर्मित और भली-भाँति परीक्षित अन्य मॉडलों के परिणामों से तुलना करके किया जाता है। पहले मामले में, इसे प्रयोग के साथ तुलना द्वारा सत्यापन कहा जाता है; दूसरे में, संदर्भ समस्या के परिणामों के साथ तुलना कहा जाता है।

मॉडलिंग परिशुद्धता का प्रश्न, मॉडल पर रखी गई आवश्यकताओं और उसके अभीष्ट उद्देश्य पर निर्भर करता है। प्रायोगिक परिणामों की परिशुद्धता या संदर्भ समस्या सूत्रीकरणों की विशिष्टताओं को भी ध्यान में रखना चाहिए। स्थूल और कोटि-परिमाण गणनाओं के लिए बनाए गए मॉडलों के लिए, 10–15% की परिशुद्धता संतोषजनक मानी जाती है। नियंत्रण और अनुश्रवण प्रणालियों में उपयोग किए जाने वाले मॉडलों के लिए, आवश्यक परिशुद्धता 1–2% या उससे भी अधिक हो सकती है।

जब मॉडल की पर्याप्तता में समस्याएँ उत्पन्न होती हैं, तो सुधार, मॉडलिंग परिणामों और प्रायोगिक परिणामों के बीच के अंतर के सभी संभावित कारणों के व्यवस्थित विश्लेषण से आरंभ होना चाहिए। पहले, मॉडल की विभिन्न परिवर्ती प्राचलों के मूल्यों (आरंभिक और सीमा शर्तें, मॉडलिंग वस्तुओं के गुणों को दर्शाने वाले प्राचल) के लिए जाँच की जानी चाहिए और उसकी पर्याप्तता की मात्रा का आकलन किया जाना चाहिए। यदि शोधकर्ता की रुचि वाली प्राचल सीमा में मॉडल अपर्याप्त है, तो मॉडल के स्थिरांकों और आरंभिक प्राचलों के मूल्यों को परिष्कृत करने का प्रयास किया जा सकता है। यदि इससे भी सकारात्मक परिणाम नहीं मिलते, तो मॉडल को बेहतर बनाने का एकमात्र शेष उपाय, अपनाई गई परिकल्पनाओं की प्रणाली को संशोधित करना है। यह निर्णय प्रभावतः मॉडल विकास प्रक्रिया के दूसरे चरण में लौटने के समान है और इसके परिणामस्वरूप न केवल गणितीय सूत्रीकरण में, बल्कि समाधान विधियों में भी (उदाहरण के लिए, विश्लेषणात्मक से संख्यात्मक विधियों में संक्रमण), सॉफ़्टवेयर के पूर्ण पुनर्निर्माण में, तथा मॉडल सत्यापन के एक नए चक्र में, एक बड़ा परिवर्तन हो सकता है। इसलिए, अपनाई गई परिकल्पनाओं की प्रणाली को संशोधित करने का निर्णय पूरी तरह से सोच-समझकर और केवल तब ही लिया जाना चाहिए जब मॉडल की पर्याप्तता को बेहतर बनाने के अन्य सभी उपाय समाप्त हो चुके हों।

वर्णनात्मक मॉडल किसी दी गई परिघटना या प्रक्रिया में अध्ययन किए जा रहे प्राचलों को चित्रित करने के लिए, साथ ही उन प्राचलों में परिवर्तन को नियंत्रित करने वाले प्रतिरूपों की जाँच करने के लिए अभिकल्पित किए जाते हैं। इन मॉडलों का उपयोग, अध्ययन की जा रही वस्तु के गुणों और व्यवहार की जाँच के लिए, निवेश आँकड़ों और संचालन स्थितियों के विभिन्न संयोजनों के अंतर्गत; अनुकूलन मॉडलों के निर्माण में; और जटिल प्रणालियों के सिमुलेशन मॉडल बनाने में किया जा सकता है।

अनुसंधान उद्देश्यों के लिए विकसित मॉडल सामान्यतः बाह्य उपयोगकर्ताओं में वितरण हेतु अभिप्रेत सॉफ़्टवेयर तंत्रों के स्तर तक नहीं लाए जाते। उनका जीवनकाल सामान्यतः संबंधित क्षेत्र में अनुसंधान कार्यक्रम की अवधि तक सीमित होता है। इन मॉडलों की विशेषता अन्वेषणात्मक प्रकृति, नई गणनात्मक प्रक्रियाओं और कलनविधियों का उपयोग, तथा अविकसित उपयोगकर्ता अंतरफलक (interface) है।

वे मॉडल और उनके आधार पर बनाए गए सॉफ़्टवेयर तंत्र, जिन्हें बाह्य उपयोगकर्ताओं में बाद के वितरण या व्यावसायिक विमोचन के लिए अभिप्रेत किया गया है, एक भली-भाँति विकसित, उपयोगकर्ता-अनुकूल अंतरफलक और शक्तिशाली पूर्व-संसाधक तथा उत्तर-संसाधक रखते हैं। ये मॉडल सामान्यतः सिद्ध और भली-भाँति स्थापित सूत्रीकरणों और गणनात्मक प्रक्रियाओं पर आधारित होते हैं। हालाँकि, यह याद रखना चाहिए कि ऐसे मॉडल केवल समस्याओं की एक स्पष्ट रूप से परिभाषित श्रेणी को हल करने के लिए अभिकल्पित किए जाते हैं।

मॉडल के अभीष्ट प्रयोग की परवाह किए बिना, विकास टीम मॉडलिंग परिणामों का गुणात्मक और मात्रात्मक दोनों प्रकार का विश्लेषण करने के लिए बाध्य होती है।

मॉडल के साथ कार्य करने के माध्यम से, विकासकर्ता मॉडलिंग वस्तु से जुड़े क्षेत्र में विशेषज्ञ बन जाते हैं। वे वस्तु के गुणों की पर्याप्त रूप से गहरी समझ विकसित कर लेते हैं और उसके व्यवहार की भविष्यवाणी तथा व्याख्या करने में सक्षम होते हैं।

इसलिए मॉडलिंग परिणामों का एक व्यापक विश्लेषण, इन बातों को संभव बनाता है:

• विचारित वस्तु को संशोधित करना, उसकी इष्टतम विशेषताओं को खोजना, या कम से कम उसके व्यवहार और गुणों को यथासंभव सर्वोत्तम रूप से ध्यान में रखना;
• मॉडल की प्रयोज्यता के क्षेत्र को रेखांकित करना;
• गणितीय सूत्रीकरण चरण में अपनाई गई परिकल्पनाओं की वैधता की जाँच करना और आवश्यक परिशुद्धता को बनाए रखते हुए मॉडल की दक्षता बढ़ाने हेतु उसे सरल बनाने की संभावना का आकलन करना;
• उस दिशा को संकेतित करना जिसमें मॉडल का और विकास किया जाना चाहिए।