เหมาะที่สุดหมายถึงดีที่สุดภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด คุณภาพจะถูกประเมินโดยใช้เกณฑ์ความเหมาะที่สุด และเงื่อนไขจะถูกระบุในรูปข้อจำกัดที่มีต่อเกณฑ์เพิ่มเติมอื่น ๆ
แรงผลักดันในการปรับปรุงประสิทธิภาพของการใช้แรงงาน งานสร้างสรรค์ และกิจกรรมที่มุ่งเป้าหมายใด ๆ นั้น แสดงออกอย่างเป็นพื้นฐานในแนวคิดของความเหมาะที่สุด ความแตกต่างระหว่างความเข้าใจทางวิทยาศาสตร์กับความเข้าใจในชีวิตประจำวันเกี่ยวกับความเหมาะที่สุดนั้นมีน้อยมาก แม้ว่าวลีอย่าง “เหมาะที่สุดที่สุด” หรือ “ผลลัพธ์สูงสุดด้วยต้นทุนต่ำสุด” จะไม่ถูกต้องแม่นยำในทางคณิตศาสตร์ แต่สำนวนดังกล่าวก็สื่อความหมายที่ตั้งใจไว้ได้อย่างคร่าว ๆ เมื่อต้องการการหาค่าเหมาะที่สุดที่เจาะจง ผู้คนมักจะปรับถ้อยคำของตนให้แม่นยำขึ้น
การหาค่าเหมาะที่สุด — ในทางคณิตศาสตร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ และการวิจัยดำเนินการ — คือปัญหาของการหาค่าสุดขั้ว (ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุด) ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในบริเวณใดบริเวณหนึ่งของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด ซึ่งถูกจำกัดขอบเขตด้วยชุดของสมการและ/หรืออสมการเชิงเส้นและ/หรือไม่เชิงเส้น
แบบจำลองการหาค่าเหมาะที่สุดถูกออกแบบมาเพื่อกำหนดพารามิเตอร์ที่เหมาะที่สุด (ดีที่สุด) ของวัตถุที่ถูกสร้างแบบจำลองโดยพิจารณาจากเกณฑ์ใดเกณฑ์หนึ่ง หรือเพื่อหาวิธีควบคุมกระบวนการที่เหมาะที่สุด (ดีที่สุด) พารามิเตอร์บางส่วนของแบบจำลองถูกจัดเป็นพารามิเตอร์ควบคุม โดยการเปลี่ยนค่าของพารามิเตอร์เหล่านี้ เราสามารถได้ชุดค่าของพารามิเตอร์ผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน โดยปกติแบบจำลองเช่นนี้จะถูกสร้างขึ้นโดยใช้แบบจำลองเชิงพรรณนาหนึ่งแบบหรือมากกว่า และมีเกณฑ์ที่ช่วยให้เปรียบเทียบชุดค่าพารามิเตอร์ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันเพื่อเลือกชุดที่ดีที่สุด ข้อจำกัดในรูปสมการและอสมการที่เกี่ยวข้องกับคุณลักษณะของวัตถุหรือกระบวนการที่พิจารณาอยู่นั้น อาจถูกกำหนดไว้กับขอบเขตของค่าพารามิเตอร์นำเข้า วัตถุประสงค์ของแบบจำลองการหาค่าเหมาะที่สุดคือการหาพารามิเตอร์ควบคุมที่เป็นไปได้ ซึ่งทำให้เกณฑ์การเลือกมี “ค่าที่ดีที่สุด”
ปัญหาถูกกำหนดขึ้นในรูปแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์มาตรฐานของการวิจัยดำเนินการถูกนำเสนอในรูปแบบดังนี้
การหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ภายใต้เงื่อนไขที่ต้องเป็นไปตามข้อจำกัดที่กำหนด
ผลเฉลยจะถูกเรียกว่าเหมาะที่สุด หากตามคุณลักษณะใดคุณลักษณะหนึ่ง ผลเฉลยนั้นดีกว่าผลเฉลยอื่น ๆ การเลือกทางเลือกที่ดีที่สุดในแต่ละครั้งมีความเฉพาะเจาะจง เนื่องจากตั้งอยู่บนพื้นฐานของความสอดคล้องกับเกณฑ์ที่กำหนดไว้ เมื่อกล่าวถึงทางเลือกที่เหมาะที่สุด จำเป็นต้องระบุเกณฑ์เหล่านี้ (“เหมาะที่สุดโดยพิจารณาจาก…”) สิ่งที่เหมาะที่สุดภายใต้เกณฑ์หนึ่ง อาจไม่จำเป็นต้องเหมาะที่สุดภายใต้เกณฑ์อื่น
ผลเฉลยที่เป็นไปได้ คือผลเฉลยที่ตอบสนองข้อจำกัดทั้งหมดของแบบจำลอง ในบางกรณี จำนวนของผลเฉลยที่เป็นไปได้อาจมีจำนวนไม่จำกัด
ผลเฉลยที่เหมาะที่สุด คือผลเฉลยที่นอกจากจะเป็นไปได้แล้ว ยังทำให้ฟังก์ชันวัตถุประสงค์มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดด้วย
การหาค่าเหมาะที่สุด คือการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์
แบบจำลองการหาค่าเหมาะที่สุด คือแบบจำลองการตัดสินใจที่มีตัวชี้วัดประสิทธิผล (ฟังก์ชันวัตถุประสงค์) ที่ต้องการหาค่าเหมาะที่สุด ภายใต้ข้อจำกัดที่กำหนดไว้
ผลเฉลยที่เหมาะที่สุด คือชุดค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรการตัดสินใจ ซึ่งทำให้ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของแบบจำลองการหาค่าเหมาะที่สุดมีค่าเหมาะที่สุด
ปัญหาการเลือกในทางปฏิบัติจำนวนมากลดรูปลงเป็นการหาทางเลือกที่ดีที่สุดหรือที่ต้องการมากที่สุด และมักลดรูปลงเป็นการหาทางเลือกเดียวที่ดีที่สุด ในกระบวนการนี้ ผู้ตัดสินใจแต่ละคนมีแนวคิดเชิงอัตวิสัยของตนเองว่าสิ่งใดเป็นที่ต้องการสำหรับตนในสถานการณ์การเลือกที่เจาะจง
ปัญหาจำนวนมากเปิดโอกาสให้มีแบบจำลองการเลือกทางคณิตศาสตร์ ซึ่งทางเลือกที่ดีที่สุดถูกกำหนดโดยเกณฑ์ประสิทธิผล (หรือคุณภาพ) เชิงตัวเลขหนึ่งเกณฑ์หรือมากกว่า เกณฑ์เหล่านี้ ซึ่งถูกกำหนดโดยตัวปัญหาเอง เป็นฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของตัวแปรที่แสดงคุณสมบัติของทางเลือกต่าง ๆ ทางเลือกที่ผู้ตัดสินใจต้องการมากที่สุดก็คือทางเลือกที่เหมาะที่สุด ซึ่งให้ค่าสุดขั้วของตัวชี้วัดประสิทธิผลภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด
แง่มุมพื้นฐานของการกำหนดปัญหาการเลือกที่เหมาะที่สุด คือความสามารถในการอธิบายสถานการณ์ปัญหาและความต้องการของผู้ตัดสินใจในรูปแบบเชิงปริมาณ ซึ่งหมายความว่า ประการแรก ทางเลือกของผลเฉลยที่เป็นไปได้ (ทางเลือก วัตถุ แนวทางปฏิบัติ) จะถูกกำหนดด้วยคุณลักษณะเชิงปริมาณ (ตัวแปร พารามิเตอร์ คุณลักษณะ) ที่วัดได้โดยใช้มาตราส่วนเชิงตัวเลข ประการที่สอง จำเป็นต้องระบุตัวชี้วัดเชิงปริมาณ (เกณฑ์ความเหมาะที่สุด ตัวชี้วัดประสิทธิผล ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ฟังก์ชันมูลค่า) ซึ่งใช้ขนาดของค่าดังกล่าวในการประเมินคุณภาพของทางเลือกที่เลือก สถานการณ์เช่นนี้เป็นลักษณะเฉพาะของปัญหาที่มีโครงสร้างชัดเจนดีและสถานการณ์การเลือกที่เกิดขึ้นซ้ำ ๆ ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของการวิจัยดำเนินการและการควบคุมที่เหมาะที่สุด
เพื่อวิเคราะห์ทางเลือกที่เป็นไปได้ในการแก้ปัญหา (แนวทางในการบรรลุเป้าหมาย) และเพื่อเลือกทางเลือกที่ดีที่สุดจากทางเลือกเหล่านั้น จึงมีการสร้างแบบจำลองเชิงรูปแบบของการเลือกที่เหมาะที่สุด แบบจำลองให้การนำเสนอปัญหาจริงในรูปแบบที่เรียบง่ายลง และต้องสะท้อนถึงความสัมพันธ์และความเชื่อมโยงที่สำคัญที่สุดและมีอยู่จริงในเชิงวัตถุระหว่างทางเลือกต่าง ๆ คุณลักษณะเชิงพรรณนาของทางเลือกเหล่านั้น และข้อจำกัดที่เกิดจากปัจจัยที่ควบคุมได้และควบคุมไม่ได้ การสร้างแบบจำลองเช่นนี้เป็นภารกิจของที่ปรึกษา-นักวิเคราะห์และผู้เชี่ยวชาญ โดยมีการมีส่วนร่วมของผู้ตัดสินใจ เมื่อสร้างแบบจำลองการเลือก จำเป็นต้องสร้างความสมดุลระหว่างความเหมาะสมและความละเอียดของแบบจำลองกับความแม่นยำที่จำเป็นสำหรับปัญหาการเลือกที่แท้จริง รวมถึงกับปริมาณข้อมูลที่จำเป็นในการหาผลเฉลย — ทั้งข้อมูลที่มีอยู่แล้วและข้อมูลที่สามารถหาเพิ่มเติมได้
ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์เชิงรูปแบบอย่างเคร่งครัด ความสำคัญในทางปฏิบัติของผลเฉลยของปัญหาดังกล่าวขึ้นอยู่โดยตรงกับคุณภาพของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เริ่มต้น ในระบบที่ซับซ้อน การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เป็นเรื่องยาก มีความเป็นค่าประมาณ และไม่แม่นยำ ระบบยิ่งซับซ้อนมากเท่าใด ก็ควรเข้าหาการหาค่าเหมาะที่สุดของระบบนั้นด้วยความระมัดระวังมากขึ้นเท่านั้น
จากมุมมองของการวิเคราะห์ระบบ ท่าทีต่อการหาค่าเหมาะที่สุดสามารถกำหนดได้ดังนี้ คือ เป็นเครื่องมือที่ทรงพลังในการปรับปรุงประสิทธิภาพ แต่ควรใช้ด้วยความระมัดระวังที่เพิ่มขึ้นตามความซับซ้อนของปัญหาที่เพิ่มขึ้น
แม้แนวคิดของการหาค่าเหมาะที่สุดจะมีประโยชน์อย่างชัดเจน แต่ในทางปฏิบัติก็จำเป็นต้องใช้ด้วยความระมัดระวัง มีเหตุผลที่หนักแน่นเพียงพอสำหรับข้อสรุปเช่นนี้
- ผลเฉลยที่เหมาะที่สุดมักพิสูจน์ได้ว่าไม่มีเสถียรภาพ การเปลี่ยนแปลงเงื่อนไขของปัญหาที่ดูเหมือนไม่มีนัยสำคัญอาจนำไปสู่การเลือกทางเลือกที่แตกต่างกันอย่างมาก
- ระบบที่พิจารณาอยู่เป็นส่วนหนึ่งของระบบที่ใหญ่กว่า และการหาค่าเหมาะที่สุดในระดับท้องถิ่นไม่จำเป็นต้องให้ผลลัพธ์เดียวกันกับที่ต้องการสำหรับระบบย่อยเมื่อทำการหาค่าเหมาะที่สุดของระบบโดยรวม สิ่งนี้จำเป็นต้องมีการปรับเกณฑ์ของระบบย่อยให้สอดคล้องกับเกณฑ์ของระบบ ซึ่งมักทำให้การหาค่าเหมาะที่สุดในระดับท้องถิ่นไม่จำเป็นอีกต่อไป
- เกณฑ์ต่าง ๆ สะท้อนเป้าหมายเพียงทางอ้อมเท่านั้น — บางครั้งดีกว่า บางครั้งแย่กว่า แต่เสมอเป็นเพียงค่าประมาณ การหาค่าสูงสุดของเกณฑ์ความเหมาะที่สุดมักถูกนำมาเทียบเท่ากับเป้าหมาย แต่ในความเป็นจริงสิ่งทั้งสองนี้แตกต่างกัน โดยเนื้อแท้แล้ว เกณฑ์และเป้าหมายมีความสัมพันธ์กันในลักษณะเดียวกับแบบจำลองและต้นแบบ พร้อมด้วยผลที่ตามมาทั้งหมดจากความสัมพันธ์เช่นนั้น เป้าหมายจำนวนมากยากหรือแม้แต่เป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายในเชิงปริมาณ
- หากไม่ระบุข้อจำกัดที่จำเป็นทั้งหมด เราอาจได้รับผลข้างเคียงที่ไม่ได้คาดการณ์ไว้และไม่พึงประสงค์ ไปพร้อม ๆ กับการหาค่าสูงสุดของเกณฑ์หลัก