Otimização

Ótimo significa o melhor sob determinadas condições. A qualidade é avaliada por meio de um critério de otimalidade, e as condições são especificadas como restrições sobre critérios adicionais.

O impulso para melhorar a eficiência no trabalho, na criação e em qualquer atividade orientada por objetivos se expressa fundamentalmente no conceito de otimalidade. A diferença entre a compreensão científica e cotidiana da otimalidade é mínima. Embora expressões como "mais ótimo" ou "efeito máximo com custo mínimo" sejam matematicamente imprecisas, tais expressões transmitem, de forma aproximada, a ideia pretendida. Quando é necessária uma otimização específica, as pessoas costumam reformular suas afirmações com precisão.

Otimização — em matemática, ciência da computação e pesquisa operacional — é o problema de encontrar um extremo (mínimo ou máximo) de uma função objetivo em uma determinada região de um espaço vetorial de dimensão finita, delimitada por um conjunto de igualdades e/ou desigualdades lineares e/ou não lineares.

Os modelos de otimização são projetados para determinar os parâmetros ótimos (melhores) de um objeto modelado em relação a algum critério, ou para encontrar o modo ótimo (melhor) de controle de um processo. Alguns dos parâmetros do modelo são classificados como parâmetros de controle; ao variá-los, é possível obter diferentes conjuntos de valores dos parâmetros de saída. Em regra, tais modelos são construídos com base em um ou mais modelos descritivos e incluem um critério que permite comparar diferentes conjuntos de valores dos parâmetros de saída para selecionar o melhor. Restrições na forma de igualdades e desigualdades, relacionadas às características do objeto ou processo em consideração, podem ser impostas ao domínio dos valores dos parâmetros de entrada. O propósito dos modelos de otimização é encontrar tais parâmetros de controle admissíveis nos quais o critério de seleção alcance seu "melhor valor".

O problema é formulado como um modelo matemático. O modelo matemático padrão da pesquisa operacional é apresentado na seguinte formulação:

Maximização ou minimização da função objetivo, sujeita ao cumprimento de restrições.

As soluções são chamadas de ótimas se, por um atributo ou outro, forem preferíveis a outras. Toda escolha da melhor alternativa é específica, pois se baseia na conformidade com critérios estabelecidos. Ao falar de uma alternativa ótima, especificam-se esses critérios ("ótima em relação a…"). O que é ótimo segundo um critério não é necessariamente ótimo segundo outro.

Uma solução viável é aquela que satisfaz todas as restrições do modelo. Em certos casos, o número de soluções viáveis pode ser infinito.

Uma solução ótima é aquela que, além de viável, maximiza ou minimiza a função objetivo.

Otimização é a maximização ou minimização da função objetivo.

Um modelo de otimização é um modelo de tomada de decisão que contém uma medida de eficácia (uma função objetivo) a ser otimizada, sujeita a determinadas restrições.

Uma solução ótima é um conjunto admissível de valores das variáveis de decisão que otimiza a função objetivo do modelo de otimização.

Um grande número de problemas práticos de escolha se reduz a encontrar as alternativas melhores ou mais preferíveis e, frequentemente, a encontrar a única melhor alternativa. Nesse processo, cada tomador de decisão tem suas próprias noções subjetivas do que é preferível para ele em uma situação de escolha específica.

Muitos problemas admitem um modelo matemático de escolha, no qual a melhor alternativa é definida por um ou mais critérios numéricos de eficácia (ou qualidade). Esses critérios, determinados pelo problema, são funções objetivo de variáveis que representam propriedades das alternativas. A alternativa mais preferível para o tomador de decisão é, então, a escolha ótima, que produz valores extremos das medidas de eficácia sob determinadas condições.

Um aspecto fundamental da formulação do problema de escolha ótima é a capacidade de descrever a situação problemática e as preferências do tomador de decisão de forma quantitativa. Isso significa que, primeiro, as possíveis alternativas de solução (alternativas, objetos, cursos de ação) são determinadas por atributos quantitativos (variáveis, parâmetros, atributos) medidos por meio de escalas numéricas. Segundo, medidas quantitativas devem ser especificadas (critérios de otimalidade, medidas de eficácia, funções objetivo, funções de valor), pela cuja magnitude se avalia a qualidade da alternativa escolhida. Tais situações são características de problemas bem estruturados e de situações de escolha recorrentes, típicas da pesquisa operacional e do controle ótimo.

Para analisar as possíveis alternativas de solução de um problema (formas de alcançar um objetivo) e selecionar entre elas a(s) melhor(es) alternativa(s), constroem-se modelos formais de escolha ótima. Um modelo fornece uma representação simplificada do problema real e deve refletir as dependências e relações mais importantes e objetivamente existentes entre as alternativas, seus atributos descritivos e as restrições impostas por fatores controláveis e não controláveis. A construção de tal modelo é tarefa de consultores-analistas e especialistas, com a participação do tomador de decisão. Ao construir um modelo de escolha, deve-se equilibrar a adequação e o detalhamento do modelo com a precisão exigida pelo problema real de escolha, bem como com o volume de informações necessário para encontrar a solução — tanto as informações já disponíveis quanto as que podem ser adicionalmente obtidas.

Os problemas de otimização são problemas matemáticos estritamente formais. A relevância prática das soluções de tais problemas depende diretamente da qualidade do modelo matemático inicial. Em sistemas complexos, a modelagem matemática é difícil, aproximada e imprecisa. Quanto mais complexo o sistema, mais cautela se deve ter ao abordar sua otimização.

Do ponto de vista da análise de sistemas, a atitude em relação à otimização pode ser formulada da seguinte maneira: trata-se de um meio poderoso de melhorar a eficiência, mas deve ser utilizado com cautela crescente à medida que a complexidade do problema aumenta.

Por mais evidente que seja a utilidade da ideia de otimização, a prática exige que ela seja tratada com cuidado. Há fundamentos suficientemente sólidos para tal conclusão.

1. Uma solução ótima frequentemente se revela instável: mudanças aparentemente insignificantes nas condições do problema podem levar à seleção de alternativas substancialmente diferentes.
2. O sistema em consideração faz parte de algum sistema maior, e a otimização local não necessariamente produz o mesmo resultado que seria exigido do subsistema ao se otimizar o sistema como um todo. Isso torna necessário alinhar os critérios do subsistema com os critérios do sistema, tornando muitas vezes desnecessária a otimização local.
3. Os critérios caracterizam o objetivo apenas indiretamente — às vezes melhor, às vezes pior, mas sempre de forma aproximada. A maximização do critério de otimalidade é frequentemente equiparada ao objetivo, mas, na realidade, são coisas diferentes. Com efeito, o critério e o objetivo se relacionam entre si como um modelo e o original, com todas as implicações decorrentes disso. Muitos objetivos são difíceis ou até impossíveis de descrever quantitativamente.
4. Sem especificar todas as restrições necessárias, podemos, ao mesmo tempo em que maximizamos o critério principal, obter efeitos colaterais imprevistos e indesejáveis.