Ricerca operativa: Wentzel

Negli ultimi anni la ricerca operativa ha guadagnato un campo di applicazione sempre più ampio. Questa scienza appartiene alle discipline relativamente giovani, formatesi di recente; i suoi confini e i suoi contenuti non sono definiti in modo chiaro.

La ricerca operativa viene insegnata in molte università, ma il contenuto attribuito a questo termine è tutt’altro che uniforme. Alcuni autori intendono per «ricerca operativa» principalmente i metodi matematici di ottimizzazione, come la programmazione lineare, non lineare e dinamica. Altri, al contrario, non includono questi rami della matematica nella ricerca operativa, avvicinandosi a quest’ultima soprattutto dal punto di vista della teoria dei giochi e della teoria statistica delle decisioni. Alcuni sono inclini a negare del tutto l’esistenza della «ricerca operativa» come disciplina scientifica autonoma, inglobandola nella cibernetica (termine anch’esso insufficientemente definito e inteso in modo diverso da persone diverse). Altri, al contrario, attribuiscono al concetto di «ricerca operativa» un significato eccessivamente ampio, proclamando questa disciplina una «scienza delle scienze» onnicomprensiva.

Il tempo dirà in quali forme continuerà a svilupparsi questa scienza relativamente giovane, quali sezioni manterrà e quali si «staccheranno» come discipline scientifiche autonome. In particolare, resta poco chiaro il futuro rapporto tra la «ricerca operativa» e la «teoria dei sistemi» (o «teoria dei sistemi complessi»), di cui recentemente si è detto e scritto molto. In ogni caso, è indubbio che nei più svariati ambiti della pratica — organizzazione della produzione e degli approvvigionamenti, operazioni di trasporto, operazioni militari e armamenti, dislocazione del personale, servizi ai consumatori, sanità, comunicazioni, informatica e così via — sorgono sempre più spesso problemi simili tra loro per formulazione, che possiedono una serie di caratteristiche comuni e vengono risolti con metodi simili, i quali possono essere convenientemente raggruppati sotto la denominazione generale di «problemi di ricerca operativa».

La situazione tipica è la seguente: un certo corso di azione finalizzato viene organizzato in un modo o nell’altro — cioè può essere presa una certa «decisione» tra una serie di alternative possibili. Ogni alternativa presenta vantaggi e svantaggi e, data la complessità della situazione, non è immediatamente chiaro quale sia migliore (preferibile) e perché. Per chiarire la situazione e confrontare le alternative decisionali rispetto a un insieme di criteri, viene eseguita una serie di calcoli matematici. Il loro compito è aiutare le persone responsabili della scelta della decisione a compiere un’analisi critica della situazione e, in definitiva, a decidersi per una o l’altra alternativa.

Nella nostra epoca, giustamente definita l’era della rivoluzione scientifico-tecnologica, la scienza dedica un’attenzione sempre maggiore alle questioni di organizzazione e gestione. Le ragioni di ciò sono molteplici. Il rapido sviluppo e la crescente complessità della tecnologia, l’espansione senza precedenti della scala delle imprese e della gamma delle loro possibili conseguenze, l’introduzione di sistemi di controllo automatizzati in tutti gli ambiti della pratica — tutto ciò rende necessario analizzare i processi finalizzati complessi dal punto di vista della loro struttura e organizzazione. La scienza è chiamata a fornire raccomandazioni per la gestione ottimale (razionale) di tali processi. Sono ormai passati i tempi in cui una gestione corretta ed efficace veniva trovata dagli organizzatori «a naso», con il metodo del «tentativo ed errore». Oggi, sviluppare tale gestione richiede un approccio scientifico — le perdite legate agli errori sono troppo grandi.

Le esigenze della pratica hanno dato origine a metodi scientifici speciali, convenientemente raggruppati sotto la denominazione di «ricerca operativa». Con questo termine intenderemo l’applicazione di metodi matematici e quantitativi per la giustificazione delle decisioni in tutti gli ambiti dell’attività umana finalizzata.

Spieghiamo cosa si intende per «decisione». Supponiamo che venga condotta un’impresa diretta al raggiungimento di un obiettivo specifico. La persona (o il gruppo di persone) che organizza l’impresa dispone sempre di una certa libertà di scelta: può organizzarla in un modo o nell’altro — per esempio, può scegliere i tipi di attrezzatura da impiegare, distribuire le risorse disponibili in un modo o nell’altro, e così via. Una «decisione» è precisamente una scelta compiuta nell’ambito delle possibilità a disposizione dell’organizzatore. Le decisioni possono essere scadenti o buone, ponderate o affrettate, fondate o arbitrarie.

La ricerca operativa inizia quando si applicano metodi matematici per giustificare le decisioni. Fino a un certo punto, le decisioni in qualsiasi ambito della pratica vengono prese senza calcoli matematici particolari, semplicemente sulla base dell’esperienza e del buon senso. Esistono tuttavia decisioni ben più rilevanti nelle loro conseguenze. Supponiamo, per esempio, che si stia organizzando il trasporto pubblico in una nuova città dotata di una rete di imprese, quartieri residenziali e così via. Occorre prendere una serie di decisioni: lungo quali percorsi e con quali mezzi di trasporto devono essere indirizzati? In quali punti devono essere collocate le fermate? Come deve essere regolata la frequenza del servizio in base all’ora del giorno? E così via.

Queste decisioni sono molto più complesse e, cosa più importante, da esse dipende moltissimo. Una scelta errata può incidere sulla vita lavorativa di un’intera città. Naturalmente, anche in questo caso è possibile agire in modo intuitivo nello scegliere una decisione, affidandosi all’esperienza e al buon senso (e in effetti ciò avviene spesso). Ma le decisioni saranno molto più razionali se sostenute da calcoli matematici. Questi calcoli preliminari aiuteranno a evitare una ricerca lunga e costosa della decisione giusta «a naso».

Quanto più complessa, costosa e su vasta scala è l’impresa pianificata, tanto meno accettabili sono le decisioni arbitrarie, e tanto più importanti diventano i metodi scientifici che consentono di valutare in anticipo le conseguenze di ciascuna decisione, di scartare in anticipo le alternative inammissibili e raccomandare quelle più riuscite; di determinare se le informazioni a nostra disposizione siano sufficienti per una scelta corretta della decisione e, in caso contrario, quali informazioni aggiuntive occorra procurarsi. In questi casi è troppo pericoloso affidarsi alla propria intuizione, all’«esperienza e al buon senso». Nella nostra epoca di rivoluzione scientifico-tecnologica, la tecnologia e i metodi cambiano così rapidamente che l’«esperienza» semplicemente non ha il tempo di accumularsi. Inoltre, spesso abbiamo a che fare con imprese uniche, condotte per la prima volta. In tali casi l’«esperienza» tace, e il «buon senso» può facilmente essere ingannato se non è fondato sul calcolo. È proprio di questi calcoli, che aiutano le persone a prendere decisioni, che si occupa la ricerca operativa.

Un’operazione è qualsiasi impresa (sistema di azioni) unificata da un unico piano e diretta al raggiungimento di un determinato obiettivo. Un’operazione è sempre un’impresa gestita — cioè dipende da noi come scegliere alcuni parametri che ne caratterizzano l’organizzazione. Per «organizzazione» qui si intende il senso ampio del termine, comprendente l’insieme dei mezzi tecnici impiegati nell’operazione.

Qualsiasi scelta specifica dei parametri che dipendono da noi è detta decisione. Le decisioni possono essere riuscite o non riuscite, razionali o irrazionali. Le decisioni sono dette ottimali se, secondo un attributo o l’altro, sono preferibili alle altre. L’obiettivo della ricerca operativa è fornire un supporto quantitativo alla scelta delle decisioni ottimali.

A volte (relativamente raramente) uno studio fornisce un’unica decisione rigorosamente ottimale; molto più spesso individua un insieme di decisioni ottimali (razionali) praticamente equivalenti, all’interno del quale può essere effettuata la scelta finale.

Va notato che l’effettiva presa della decisione esula dall’ambito della ricerca operativa e rientra nella competenza di una persona responsabile, o più spesso di un gruppo di persone, a cui è riconosciuto il diritto della scelta finale e che ne assumono la responsabilità. Nell’effettuare la propria scelta, essi possono tenere conto, oltre alle raccomandazioni derivanti dai calcoli matematici, di una serie di considerazioni aggiuntive (sia di carattere quantitativo sia qualitativo) non prese in considerazione nei calcoli.

La presenza indispensabile di un essere umano (come istanza finale che prende la decisione) non viene meno nemmeno in presenza di un sistema di controllo completamente automatizzato, che sembrerebbe prendere decisioni senza coinvolgimento umano. Non si deve dimenticare che la stessa creazione dell’algoritmo di controllo, la scelta di una delle sue possibili varianti, è essa stessa una decisione — e per di più di grande rilevanza.

I parametri il cui insieme costituisce una decisione sono detti variabili decisionali. Come variabili decisionali possono fungere vari numeri, vettori, funzioni, attributi fisici e così via. Nei problemi più semplici di ricerca operativa, il numero delle variabili decisionali può essere relativamente piccolo. Ma nella maggior parte dei problemi di rilevanza pratica, il numero delle variabili decisionali è molto grande.

Oltre alle variabili decisionali, di cui possiamo disporre entro certi limiti, ogni problema di ricerca operativa contiene anche condizioni date, «disciplinanti», fissate fin dall’inizio e che non possono essere violate (per esempio, la capacità di carico di un veicolo, l’entità di un compito pianificato, le caratteristiche di peso delle attrezzature e simili). In particolare, tali condizioni comprendono le risorse (materiali, tecniche, umane) di cui abbiamo diritto di disporre e altri vincoli imposti alla decisione. Nel loro insieme, esse formano il cosiddetto «insieme ammissibile».

Per confrontare tra loro diverse decisioni in termini di efficacia, occorre un criterio quantitativo, la cosiddetta misura dell’efficacia (spesso denominata «funzione obiettivo»). Questa misura viene scelta in modo da riflettere l’orientamento finalistico dell’operazione. Sarà considerata «migliore» la decisione che contribuisce nella misura maggiore al raggiungimento dell’obiettivo prefissato. Per scegliere, per «nominare» la misura dell’efficacia W, occorre innanzitutto chiedersi: cosa vogliamo, a cosa aspiriamo intraprendendo l’operazione? Nello scegliere una decisione, preferiamo naturalmente quella che rende la misura dell’efficacia W massima (o minima). Per esempio, si vorrebbe massimizzare il reddito derivante da un’operazione; se la misura dell’efficacia sono i costi, si vorrebbe minimizzarli.

Molto spesso lo svolgimento di un’operazione è accompagnato dall’azione di fattori casuali. In tali casi, come misura dell’efficacia si assume solitamente non la grandezza stessa che si vorrebbe massimizzare (minimizzare), bensì il suo valore medio (valore atteso).

In alcuni casi, un’operazione accompagnata da fattori casuali persegue un obiettivo del tutto definito, che può essere raggiunto solo pienamente oppure non essere raggiunto affatto (schema «sì-no»), e nessun risultato intermedio è di interesse. In tali casi, come misura dell’efficacia si sceglie la probabilità di raggiungere tale obiettivo. Per esempio, se si dirige il fuoco su un determinato bersaglio con la condizione imperativa di distruggerlo, la misura dell’efficacia sarà la probabilità di distruzione del bersaglio.

Una scelta errata della misura dell’efficacia è molto pericolosa. Operazioni organizzate dal punto di vista di un criterio scelto male possono portare a spese e perdite ingiustificate. Purtroppo, nella maggior parte dei problemi di rilevanza pratica, la scelta della misura dell’efficacia non è semplice e viene risolta in modo ambiguo. Per qualsiasi problema ragionevolmente complesso, è tipico che l’efficacia di un’operazione non possa essere caratterizzata in modo esauriente da un unico numero — occorre integrarla con altre misure.

Per applicare metodi di ricerca quantitativi in qualsiasi campo, è sempre necessario un qualche modello matematico. Nella costruzione di un modello, il fenomeno reale (nel nostro caso, l’operazione) viene inevitabilmente semplificato e schematizzato, e questo schema (una rappresentazione schematica del fenomeno) viene descritto con strumenti matematici. Quanto più efficacemente viene scelto il modello matematico, quanto meglio esso riflette i tratti caratteristici del fenomeno, tanto più riuscito sarà lo studio e tanto più utili saranno le raccomandazioni che ne derivano.

Non esistono metodi generali per la costruzione di modelli matematici. In ogni caso specifico, il modello viene scelto in base al tipo di operazione, al suo orientamento finalistico e tenendo conto del compito della ricerca (quali parametri devono essere determinati e l’influenza di quali fattori deve essere riflessa). È inoltre necessario, in ogni caso specifico, contemperare la precisione e il dettaglio del modello con: (a) la precisione con cui abbiamo bisogno di conoscere la soluzione, e (b) le informazioni di cui disponiamo o che possiamo procurarci. Se i dati iniziali necessari per i calcoli sono noti in modo impreciso, allora evidentemente non ha senso addentrarsi in sottigliezze, costruire un modello molto dettagliato e spendere tempo (proprio e del computer) per un’ottimizzazione fine e precisa della soluzione. Purtroppo, questo principio viene spesso trascurato, e per descrivere i fenomeni si scelgono modelli eccessivamente dettagliati.

Un modello matematico deve riflettere le caratteristiche più importanti del fenomeno, tutti i fattori essenziali da cui dipende principalmente il successo dell’operazione. Allo stesso tempo, il modello dovrebbe essere il più semplice possibile, non «ingombro» di una massa di fattori minori, secondari: tenerne conto complica l’analisi matematica e rende più difficile una visione d’insieme dei risultati della ricerca. Due pericoli attendono sempre chi costruisce un modello: il primo è quello di impantanarsi nei dettagli («non vedere la foresta a causa degli alberi»), il secondo è quello di semplificare eccessivamente il fenomeno («gettare via il bambino insieme all’acqua sporca»). L’arte di costruire modelli matematici è appunto un’arte, e l’esperienza in essa si acquisisce gradualmente.

Poiché un modello matematico non discende necessariamente dalla descrizione del problema, è sempre utile non fidarsi ciecamente di un singolo modello, ma confrontare i risultati ottenuti da modelli diversi, organizzando una sorta di «gara tra modelli». In questo processo, lo stesso problema viene risolto non una sola volta, ma più volte, utilizzando sistemi di ipotesi, apparati e modelli diversi. Se le conclusioni scientifiche variano poco da un modello all’altro, ciò costituisce un forte argomento a favore dell’oggettività dello studio. Se invece divergono in modo significativo, occorre riesaminare i concetti alla base dei vari modelli, determinare quale di essi sia più adeguato alla realtà e, se necessario, condurre un esperimento di controllo. È inoltre caratteristico della ricerca operativa il ritorno ripetuto al modello (dopo che è già stato effettuato il primo ciclo di calcoli) per introdurvi correzioni.

La creazione di un modello matematico è la parte più importante e delicata dello studio, che richiede una conoscenza profonda non tanto della matematica quanto dell’essenza dei fenomeni modellati. Di regola, i matematici «puri» (senza l’aiuto di specialisti del settore a cui appartiene il problema) affrontano male la costruzione dei modelli. La loro attenzione è concentrata sugli strumenti matematici e sulle loro sottigliezze, piuttosto che sul problema pratico reale.

L’esperienza mostra che i modelli più riusciti vengono creati da specialisti del settore pratico interessato che, oltre alla loro formazione primaria, hanno ricevuto una profonda preparazione matematica, oppure da équipe che riuniscono specialisti pratici e matematici. Grande beneficio derivano dalle consulenze fornite da un matematico esperto di ricerca operativa a professionisti — ingegneri, biologi, medici e altri — che nel loro lavoro incontrano la necessità di una giustificazione scientifica delle decisioni.

Va sottolineato in modo particolare che è necessaria la conoscenza della teoria della probabilità — non tanto estesa e approfondita quanto informale ed efficace, insieme all’abitudine di lavorare con dati statistici e concetti probabilistici. Le esigenze particolari proprio in questo ambito della conoscenza matematica si spiegano con il fatto che la maggior parte delle operazioni si svolge in condizioni di incompleta certezza, e il loro svolgimento ed esito dipendono da fattori casuali. Purtroppo, tra i vasti circoli di specialisti — ingegneri, biologi, medici, chimici — una buona padronanza della teoria della probabilità si incontra raramente. Le sue proposizioni e regole vengono spesso applicate in modo formale, senza una reale comprensione del loro significato e del loro spirito. Non di rado la teoria della probabilità viene vista come una sorta di «bacchetta magica» che consente di ottenere informazioni «dal nulla», dalla completa ignoranza. Si tratta di un equivoco: la teoria della probabilità consente soltanto di trasformare l’informazione — cioè, a partire da dati su determinati fenomeni accessibili all’osservazione, di trarre conclusioni su altri fenomeni inaccessibili.

Nella costruzione di un modello matematico, si possono utilizzare strumenti matematici di complessità variabile (a seconda del tipo di operazione, dei compiti della ricerca e della precisione dei dati iniziali). Nei casi più semplici, il fenomeno viene descritto mediante semplici equazioni algebriche. Nei casi più complessi, quando è necessario esaminare il fenomeno nella sua dinamica, si impiegano i metodi delle equazioni differenziali (ordinarie o alle derivate parziali). Nei casi più complessi in assoluto, quando lo sviluppo di un’operazione e il suo esito dipendono da un gran numero di fattori casuali intricatamente intrecciati, i metodi analitici falliscono completamente e si ricorre al metodo della modellazione statistica (Monte Carlo).

In una prima, grossolana approssimazione, l’idea di questo metodo può essere descritta come segue: il processo di sviluppo dell’operazione, con tutta la casualità che lo accompagna, viene in sostanza «copiato», riprodotto al computer. Il risultato è un singolo esemplare (una «realizzazione») del processo casuale di sviluppo dell’operazione, con un andamento e un esito casuali. Una singola realizzazione di questo tipo non fornisce di per sé alcuna base per scegliere una decisione, ma, dopo aver ottenuto molte realizzazioni di questo tipo, le elaboriamo come normale materiale statistico (da cui il termine «modellazione statistica»), troviamo le caratteristiche medie del processo e otteniamo una comprensione di come, in media, le condizioni del problema e le variabili decisionali le influenzino.

Nella ricerca operativa sono ampiamente utilizzati sia i modelli analitici sia quelli statistici. Ciascuno di questi tipi presenta i propri vantaggi e svantaggi. I modelli analitici sono più grossolani, tengono conto di un numero minore di fattori e richiedono sempre determinate ipotesi e semplificazioni. D’altra parte, i risultati dei loro calcoli sono più facili da esaminare nel loro insieme e riflettono più chiaramente le regolarità fondamentali insite nel fenomeno. E, soprattutto, i modelli analitici si prestano meglio alla ricerca di soluzioni ottimali.

I modelli statistici, rispetto a quelli analitici, sono più precisi e dettagliati, non richiedono ipotesi così grossolane e consentono di tenere conto di un numero elevato (teoricamente illimitato) di fattori. Ma anche essi presentano i loro svantaggi: la macchinosità, la scarsa possibilità di una visione d’insieme e, soprattutto, l’estrema difficoltà nella ricerca di soluzioni ottimali, che devono essere cercate «a naso», per tentativi ed errori.

I migliori lavori nel campo della ricerca operativa si basano sull’uso combinato di modelli analitici e statistici. Un modello analitico consente di ottenere una comprensione generale del fenomeno, di tracciare, per così dire, il «contorno» delle regolarità fondamentali. Eventuali raffinamenti possono essere ottenuti con l’aiuto dei modelli statistici.

In conclusione, diciamo qualche parola sulla cosiddetta modellazione di «simulazione». Essa viene applicata a processi nel cui corso la volontà umana può intervenire di tanto in tanto. La persona (o il gruppo di persone) che dirige l’operazione può, a seconda della situazione venutasi a creare, prendere una decisione o un’altra, proprio come uno scacchista, guardando la scacchiera, sceglie la propria mossa successiva. Quindi il modello matematico viene messo in moto, mostrando quale cambiamento della situazione ci si può attendere in risposta a questa decisione e a quali conseguenze essa condurrà dopo un certo tempo. La successiva «decisione corrente» viene presa tenendo già conto della nuova situazione effettiva, e così via. Come risultato dell’applicazione ripetuta di questa procedura, il responsabile in pratica «acquisisce esperienza», impara dai propri errori e da quelli altrui, e impara gradualmente a prendere decisioni corrette — se non ottimali, almeno quasi ottimali.