Savage-Kriterium

Das Savage-Kriterium (auch als Minimax-Regret-Kriterium bekannt) ist eine Methode zur Entscheidungsfindung unter Unsicherheit. Es wird in Situationen angewendet, in denen die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ergebnisse unbekannt sind und das Ziel darin besteht, potenzielle Verluste aufgrund einer nicht optimalen Entscheidung zu minimieren.

Allgemeine Beschreibung

Unter Unsicherheit sind die Konsequenzen jeder Strategiewahl nicht exakt bestimmt. Zur Bewertung möglicher Alternativen werden verschiedene Kriterien herangezogen, wie das Wald-Kriterium, das Hurwicz-Kriterium, das Laplace-Kriterium und das Savage-Kriterium. Das Savage-Kriterium zielt nicht darauf ab, den maximalen Gewinn zu erzielen, sondern auf die Minimierung des maximalen Bedauerns (Verluste im Vergleich zum bestmöglichen Ergebnis).

Das Bedauern (engl. Regret) ist der Wert, der den entgangenen Nutzen widerspiegelt, der dadurch entsteht, dass bei einem bestimmten Ergebnis nicht die optimale Strategie gewählt wurde.

Anwendungsalgorithmus

• Erstellung einer Auszahlungsmatrix: Es wird eine Tabelle erstellt, deren Zeilen den möglichen Strategien und deren Spalten den möglichen Ergebnissen (Umweltzuständen) entsprechen. In den Zellen steht das erwartete Ergebnis für eine bestimmte Strategie und ein bestimmtes Ergebnis.
• Erstellung der Bedauernsmatrix (Risikomatrix): Für jedes Ergebnis (jede Spalte) wird der maximale Auszahlungswert bestimmt. Anschließend wird für jede Zelle der Wert des Bedauerns berechnet.
• Ermittlung des maximalen Bedauerns für jede Strategie: In jeder Zeile der Bedauernsmatrix wird der maximale Wert ausgewählt (der schlechteste Fall für diese Strategie).
• Wahl der optimalen Strategie: Es wird die Strategie gewählt, für die das maximale Bedauern minimal ist.

Somit setzt das Savage-Kriterium das Prinzip der Minimierung des möglichen Verlusts durch eine falsche Entscheidung um.

Mathematische Formulierung

Gegeben seien:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ – die Menge der verfügbaren Strategien (Alternativen).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ – die Menge der möglichen Umweltzustände.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ – die Auszahlungsfunktion (Nutzenfunktion) bei Wahl der Strategie $s_i$ und Eintreten des Zustands ${\theta }_j$. Sie wird oft als Auszahlungsmatrix $A=[a_{ij}]$ dargestellt, wobei $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Das Savage-Kriterium basiert auf dem Konzept des Bedauerns (engl. regret) oder des entgangenen Nutzens. Das Bedauern $r(s_i,{\theta }_j)$ für eine Strategie $s_i$ bei einem Umweltzustand ${\theta }_j$ ist definiert als die Differenz zwischen der maximal möglichen Auszahlung, die bei diesem Zustand ${\theta }_j$ hätte erzielt werden können (wenn die für diesen Zustand beste Strategie gewählt worden wäre), und der tatsächlichen Auszahlung der Strategie $s_i$.

Der Anwendungsalgorithmus des Savage-Kriteriums:

1. Berechnung der Bedauernsmatrix (Risikomatrix):

   a) Finden der maximalen Auszahlung für jeden Umweltzustand (jede Spalte der Auszahlungsmatrix):

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   Dies ist das bestmögliche Ergebnis, wenn der Zustand ${\theta }_j$ eintritt.

   b) Berechnung der Elemente der Bedauernsmatrix $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   Das Element $r_{ij}$ gibt an, um wie viel die Auszahlung der Strategie $s_i$ geringer ist als die maximal mögliche Auszahlung beim Zustand ${\theta }_j$. Alle Elemente $r_{ij}\ge 0$.

1. Ermittlung des maximalen Bedauerns für jede Strategie: Für jede Strategie $s_i$ (jede Zeile der Bedauernsmatrix $R$) wird das schlechteste mögliche Ergebnis in Bezug auf das Bedauern bestimmt:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. Wahl der Strategie mit dem minimalen maximalen Bedauern (Minimax-Regret-Prinzip): Es wird die Strategie $s_{\text{Savage}}^{\ast }$ gewählt, die das ermittelte maximale Bedauern minimiert:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   Oder, indem der Ausdruck für $r_{ij}$ eingesetzt wird:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

Der minimale Wert des maximalen Bedauerns, der bei Anwendung des Savage-Kriteriums erreicht wird, ist: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

Somit zielt das Savage-Kriterium auf die Wahl einer Strategie ab, die die geringsten Verluste im Vergleich zur bestmöglichen Handlung für jeden Umweltzustand garantiert.

Schlüsselpunkte der mathematischen Formulierung:

• Definition des Bedauerns $r_{ij}$: Dies ist das zentrale Konzept. Es ist wichtig zu zeigen, dass es als Differenz zwischen dem besten Ergebnis in Spalte j und dem aktuellen Ergebnis a_{ij} berechnet wird.
• Bedauernsmatrix $R$: Es wird explizit angegeben, wie sie erstellt wird.
• Ermittlung von $r_i^{max}$: Es wird die Suche nach dem Maximum in jeder Zeile der Bedauernsmatrix dargestellt.
• Minimax-Prinzip: Die Strategiewahl wird klar durch $\arg min$ des $max$ des Bedauerns formuliert.
• Verwendete Notation: Standard für die Spiel- und Entscheidungstheorie (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

Vor- und Nachteile

Vorteile:

• Ausrichtung auf die Minimierung von Risiken.
• Besonders wirksam bei hoher Unsicherheit.

Nachteile:

• Ignoriert den erwarteten Gewinn und konzentriert sich ausschließlich auf mögliche Verluste.
• Kann zu übermäßig konservativen Entscheidungen führen.

Entscheidungskriterien

• Hurwicz-Kriterium
• Laplace-Kriterium
• Wald-Kriterium