Hurwicz-Kriterium

Das Hurwicz-Kriterium ist eine Methode der Entscheidungsfindung unter Unsicherheit, die einen ausgewogenen Ansatz zwischen extremem Optimismus und extremem Pessimismus bietet.

Wesen des Kriteriums

Bei der Wahl einer Strategie in einer Situation, in der der Ausgang von Ereignissen unbekannt ist, schlägt das Hurwicz-Kriterium vor, gleichzeitig zu berücksichtigen:

• das schlechtestmögliche Ergebnis (pessimistischer Ansatz),
• das bestmögliche Ergebnis (optimistischer Ansatz).

Dazu wird ein spezieller Parameter verwendet – der Optimismuskoeffizient, der einen Wert zwischen null und eins annimmt. Je näher der Koeffizient bei eins liegt, desto mehr Gewicht wird auf die besten Ergebnisse gelegt; je näher er bei null liegt, desto stärker werden die schlechtesten möglichen Ergebnisse berücksichtigt.

Mathematische Formulierung

Gegeben seien:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ – die Menge der verfügbaren Strategien (Alternativen).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ – die Menge der möglichen Umweltzustände (Zustände der Natur).
• $u(s_i,{\theta }_j)$ – die Auszahlungsfunktion (Nutzenfunktion) bei Wahl der Strategie $s_i$ und Eintreten des Zustands ${\theta }_j$. Oft wird dies als Auszahlungsmatrix $A=[a_{ij}]$ dargestellt, wobei $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$ ist.

Das Hurwicz-Kriterium führt einen Optimismuskoeffizienten $\alpha$ (Alpha) ein, der vom Entscheidungsträger im Bereich $0\le \alpha \le 1$ gewählt wird. Dieser Koeffizient spiegelt den Grad des Optimismus des Entscheidungsträgers wider:

• $\alpha =1$ entspricht vollständigem Optimismus (nur das bestmögliche Ergebnis wird berücksichtigt).
• $\alpha =0$ entspricht vollständigem Pessimismus (nur das schlechtestmögliche Ergebnis wird berücksichtigt, das Kriterium reduziert sich auf das Wald-Kriterium).
• Der Wert $(1-\alpha )$ kann als Pessimismuskoeffizient interpretiert werden.

Das Verfahren zur Anwendung des Hurwicz-Kriteriums:

1. Ermittlung der minimalen und maximalen Auszahlung für jede Strategie: Für jede Strategie $s_i\in S$ werden bestimmt:

   **Schlechtestes Ergebnis (minimale Auszahlung):**

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

   **Bestes Ergebnis (maximale Auszahlung):**

   $u_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta )$

1. Berechnung des Hurwicz-Wertes für jede Strategie: Für jede Strategie $s_i$ wird ein gewichteter Wert berechnet, der das beste und das schlechteste Ergebnis unter Berücksichtigung des Optimismuskoeffizienten $\alpha$ kombiniert:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min}$

   Dieser Wert stellt die erwartete Auszahlung der Strategie $s_i$ gemäß den Präferenzen des Entscheidungsträgers dar, ausgedrückt durch $\alpha$.

1. Auswahl der optimalen Strategie: Es wird die Strategie $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }$ gewählt, die den berechneten Hurwicz-Wert maximiert:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot u_i^{max}+(1-\alpha )\cdot u_i^{min})$

Der optimale Wert des Hurwicz-Kriteriums (das garantierte Niveau unter Berücksichtigung des Optimismus $\alpha$) ist: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{max}(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \Theta }{max}u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )))$

Anmerkung zur Verlustfunktion

Wenn eine Verlustfunktion $L(s_i,{\theta }_j)$ verwendet wird, die minimiert werden soll, wird das Hurwicz-Kriterium angewendet, um eine gewichtete Kombination aus dem besten (minimaler Verlust) und dem schlechtesten (maximaler Verlust) Ergebnis zu minimieren:

1. Für jede Strategie $s_i$ werden die minimalen $L_i^{min}$ und maximalen $L_i^{max}$ Verluste ermittelt.
2. Es wird der Wert berechnet: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{min}+(1-\alpha )\cdot L_i^{max}$
3. Es wird die Strategie gewählt, die diesen Wert minimiert: $s_{\text{Hurwicz}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}{H}_L(s_i,\alpha )$

Hier ist $\alpha$ weiterhin der Optimismuskoeffizient: Bei $\alpha =1$ konzentriert sich der Entscheidungsträger auf die Minimierung der minimalen Verluste (in optimistischer Hoffnung auf das beste Ergebnis), bei $\alpha =0$ auf die Minimierung der maximalen Verluste (in pessimistischer Vorbereitung auf das Schlimmste).

Anwendung des Kriteriums

Der Prozess der Anwendung des Hurwicz-Kriteriums umfasst die folgenden Schritte:

1. Es werden die minimalen und maximalen Ergebnisse für jede mögliche Strategie bestimmt.
2. Für jede Strategie wird eine Gesamtbewertung berechnet, die einen gewichteten Wert zwischen ihrem schlechtesten und besten Ergebnis darstellt, abhängig vom gewählten Optimismusgrad.
3. Es wird die Strategie gewählt, deren Gesamtbewertung am höchsten ist.

Auf diese Weise wählt der Entscheidungsträger die Strategie, die seiner eigenen Einstellung zu Risiko und Unsicherheit am besten entspricht.

Vor- und Nachteile

Vorteile:

• Ermöglicht die Anpassung des Auswahlprozesses an die Art und die Präferenzen des Entscheidungsträgers.
• Berücksichtigt sowohl Risiken als auch potenzielle Gewinne.

Nachteile:

• Erfordert die subjektive Wahl des Optimismuskoeffizienten, was die Objektivität der Entscheidung beeinträchtigen kann.