Mathematische Modellierung

Mathematische Modellierung ist eine Untersuchungsmethode, bei der ein reales Objekt, ein Prozess oder ein Phänomen durch sein mathematisches Modell ersetzt wird, das die Analyse des Verhaltens eines Systems mithilfe mathematischer Methoden ermöglicht.

Wesen der mathematischen Modellierung

Die mathematische Modellierung umfasst:

• die Formalisierung der wesentlichen Merkmale des untersuchten Objekts;
• die Erstellung eines mathematischen Modells, das die Beziehungen zwischen den Parametern ausdrückt;
• die Untersuchung des Modells mit analytischen, numerischen oder simulativen Methoden;
• die Interpretation der Ergebnisse in Bezug auf das reale System.

Ein Modell ist immer eine Vereinfachung der Realität, die gezielt nur jene Aspekte widerspiegelt, die für die gesetzten Forschungs- oder Entwurfsziele von Bedeutung sind.

Ziele der mathematischen Modellierung

Mathematische Modelle werden entwickelt für:

• die Beschreibung der Struktur, der Eigenschaften und der Funktionsweise von Systemen;
• die Erklärung beobachteter Phänomene durch die Aufdeckung von Gesetzmäßigkeiten;
• die Vorhersage des zukünftigen Verhaltens von Systemen unter gegebenen Einwirkungen;
• die Optimierung von Prozessen und Steuerungssystemen;
• die Durchführung virtueller Experimente, die in der Realität nicht möglich oder unerwünscht sind.

Klassifikation mathematischer Modelle

• Nach der Art der Beschreibung: Deterministische und stochastische (probabilistische) Modelle.
• Nach dem Zeitbezug: Statische und dynamische Modelle.
• Nach der Art der Variablen: Diskrete und kontinuierliche Modelle.
• Nach dem Detaillierungsgrad: Makroskopische, mikroskopische und mesoskopische Modelle.
• Nach dem verwendeten mathematischen Apparat: Analytische, numerische und Simulationsmodelle.
• Nach dem Zweck: Deskriptive, prognostische, Optimierungs- und Simulationsmodelle.
• Nach der Struktur: Lineare und nichtlineare Modelle.
• Nach dem Ansatz der Modellerstellung: Phänomenologische (empirische) und mechanistische (theoretische) Modelle.

Phasen der mathematischen Modellierung

Im Allgemeinen umfassen die Phasen der mathematischen Modellierung Folgendes:

1. Problemstellung:
   • Definition des Modellierungsziels (Was wollen wir wissen oder tun?).
   • Beschreibung des Objekts oder Prozesses und seiner Grenzen.
   • Identifikation der Schlüsselfaktoren und Merkmale, die berücksichtigt werden müssen.
2. Modellerstellung (oder -auswahl):
   • Formalisierung: Übersetzung der Beschreibung des Objekts und seiner Beziehungen in die Sprache der Mathematik (Gleichungen, Funktionen, logische Regeln, Algorithmen etc.).
   • Einführung von Annahmen und Vereinfachungen, um das Wesentliche hervorzuheben.
   • Definition der Modellparameter und ihrer Beziehungen.
3. Modelluntersuchung:
   • Lösung der mathematischen Aufgabe (analytisch, numerisch, durch Simulation).
   • Durchführung von Rechenexperimenten zur Untersuchung des Modellverhaltens unter verschiedenen Bedingungen.
4. Überprüfung der Adäquatheit (Validierung) des Modells:
   • Vergleich der Modellierungsergebnisse mit realen Daten (experimentell, beobachtet) oder bekannten Fakten.
   • Bewertung, wie gut das Modell die Realität für das gesetzte Ziel widerspiegelt.
5. Interpretation und Anwendung der Ergebnisse:
   • Analyse der gewonnenen Modelldaten.
   • Übertragung der Ergebnisse auf die Sprache des ursprünglichen Problems.
   • Formulierung von Schlussfolgerungen, Prognosen, Entwicklung von Empfehlungen oder Treffen von Entscheidungen auf Basis des Modells.

Dieser Prozess ist oft iterativ. Unzureichende Ergebnisse bei der Validierung oder Interpretation können eine Rückkehr zu früheren Phasen erforderlich machen (Präzisierung der Problemstellung, Änderung der Annahmen, Modifikation des Modells).

Prinzipieller Ansatz

Ein prinzipieller Ansatz, der auf den Arbeiten von Clive Dym (Principles of Mathematical Modeling) basiert, schlägt vor, die Modellierung als eine Abfolge von Antworten auf Schlüsselfragen zu betrachten:

• Why? (Warum?): Welcher Bedarf besteht für das Modell? Es ist notwendig, das Ziel der Modellierung und das Problem, das das Modell lösen helfen soll, klar zu definieren.
• Find? (Was ist zu finden?): Was wollen wir herausfinden? Welche konkreten Ausgabedaten, Merkmale oder Informationen soll das Modell liefern, um das Ziel zu erreichen?
• Given? (Was ist gegeben?): Was wissen wir bereits? Welche Informationen, Daten (experimentell, statistisch), Kenntnisse über das System und verfügbaren Ressourcen sind bereits vorhanden?
• Assume? (Welche Annahmen?): Welche Annahmen treffen wir? Definition von Vereinfachungen, Idealisierungen, Hypothesen über das Systemverhalten und die Grenzen der Anwendbarkeit des Modells. dieser Schritt ist entscheidend, da er die Adäquatheit des Modells bestimmt.
• How? (Wie?): Wie funktioniert das System? Identifizierung der grundlegenden Gesetze (physikalisch, chemisch, biologisch, ökonomisch etc.), Mechanismen und Zusammenhänge, die das Verhalten des Modellobjekts steuern.
• Predict? (Was wird vorhergesagt?): Was wird das Modell vorhersagen? Formulierung der mathematischen Gleichungen, Ungleichungen, logischen Regeln oder Algorithmen, die den Kern des Modells bilden, und Definition der durchzuführenden Berechnungen.
• Valid? (Ist es valide?): Wie gut stimmen die Vorhersagen des Modells mit der Realität überein? Vergleich der Modellierungsergebnisse mit realen Daten oder bekannten Fakten, um die Adäquatheit des Modells für die gesetzten Ziele zu überprüfen.
• Verified? (Nützlichkeit/Überprüfung?): Ist das Modell nützlich, um das ursprüngliche Ziel (Why?) zu erreichen? Entsprechen die erzielten Ergebnisse und die Genauigkeit des Modells den ursprünglichen Anforderungen? (In dieser Phase kann auch die Verifizierung durchgeführt werden – die Überprüfung der Korrektheit der mathematischen Berechnungen und der Softwareimplementierung).
• Improve? (Verbesserung?): Kann und sollte das Modell verbessert werden? Identifizierung von Parametern, die präzisiert werden müssen, Annahmen, die gelockert werden können, oder nicht berücksichtigten Aspekten, die für eine höhere Genauigkeit oder einen breiteren Anwendungsbereich hinzugefügt werden müssen.
• Use? (Anwendung?): Wie werden die Ergebnisse angewendet? Interpretation der Vorhersagen und Schlussfolgerungen des Modells zur Entscheidungsfindung, zum Erkenntnisgewinn, zur Prognose, zur Optimierung oder zur Steuerung des Systems.

Direkte und inverse Probleme der mathematischen Modellierung

Traditionell werden zwei Hauptklassen von Aufgaben im Zusammenhang mit mathematischen Modellen unterschieden:

• Das direkte Problem besteht darin, ein Modell mit vorgegebener Struktur und bekannten Parametern zu untersuchen, um Informationen über das Verhalten des Objekts zu erhalten.
• Das inverse Problem besteht darin, ein bestimmtes Modell auszuwählen oder seine Parameter auf der Grundlage vorhandener experimenteller oder empirischer Daten zu bestimmen.

Direktes Problem

Das Ziel des direkten Problems ist es, auf der Grundlage bekannter Systemeigenschaften die Frage nach seiner Reaktion auf externe Einwirkungen zu beantworten oder seine Merkmale unter verschiedenen Bedingungen zu bestimmen. Die Hauptaspekte des Ziels des direkten Problems sind:

• Untersuchung des Objektverhaltens auf der Grundlage eines gegebenen mathematischen Modells mit bekannter Struktur und Parametern.
• Erlangung quantitativer oder qualitativer Systemeigenschaften: zum Beispiel die Bestimmung von Spannungen, Temperaturfeldern, dynamischen Reaktionen auf Lasten usw.
• Vorhersage des Objektzustands bei verschiedenen externen Einwirkungen (Lasten, Änderungen der Umgebungsbedingungen, Steuerungsaktionen).
• Analyse der Stabilität und Zuverlässigkeit von Systemen, Bestimmung ihrer Grenzbetriebsarten.
• Überprüfung von Hypothesen über das Objektverhalten, die auf der Grundlage des Modells formuliert wurden.
• Optimierung von Steuerungsprozessen durch Berechnung der Reaktionen des Modells auf Steuerungsmaßnahmen.
• Bewertung der Sensitivität der Lösungen gegenüber Änderungen der Anfangsbedingungen und Modellparameter.

Inverses Problem

Das Ziel des inversen Problems ist es, die Struktur des Modells oder seine Parameter auf der Grundlage vorhandener Daten über das Verhalten des realen Systems zu bestimmen.

Die Hauptaspekte des Ziels des inversen Problems sind:

• Unbekannte Modellparameter finden (z. B. Elastizitäts-, Wärmeleitfähigkeits-, Widerstandskoeffizienten usw.).
• Die verborgene Struktur von Prozessen auf der Grundlage beobachteter Ausgangsdaten bestimmen.
• Ein mathematisches Modell so erstellen oder korrigieren, dass sein Verhalten mit experimentellen oder empirischen Daten übereinstimmt.
• Adäquate Methoden zur Verarbeitung und Interpretation von Beobachtungs- und Experimentaldaten entwickeln.

Verifizierung und Validierung

Nach der Erstellung eines mathematischen Modells und seiner programmtechnischen oder algorithmischen Umsetzung ist die Bewertung seiner Korrektheit und Anwendbarkeit ein entscheidender Schritt. Hierfür werden zwei miteinander verbundene, aber unterschiedliche Prozesse verwendet: Verifizierung und Validierung.

• Verifizierung (Verification):
  • Frage: Erstellen wir das Modell richtig?
  • Bedeutung: Überprüfung, ob die Softwareimplementierung oder der Berechnungsalgorithmus des Modells exakt seiner mathematischen Formulierung und konzeptionellen Beschreibung entspricht. Mit anderen Worten, die Verifizierung stellt sicher, dass die Gleichungen korrekt gelöst werden und der Algorithmus fehlerfrei gemäß der festgelegten Logik arbeitet.
  • Methoden: Code-Analyse und -Überprüfung, Testen mit bekannten analytischen Lösungen (sofern vorhanden), Vergleich mit den Ergebnissen anderer verifizierter Programme, Überprüfung der numerischen Stabilität und Konvergenz von Algorithmen.
• Validierung (Validation):
  • Frage: Haben wir das richtige Modell erstellt?
  • Bedeutung: Bestimmung des Grades der Übereinstimmung des Modells mit dem realen Objekt, Prozess oder Phänomen, das es beschreiben soll, in Bezug auf die Ziele der Modellierung. Die Validierung beantwortet die Frage, wie gut das Modell die uns interessierenden Aspekte der Realität widerspiegelt.
  • Methoden: Vergleich der Modellierungsergebnisse mit experimentellen Daten, Beobachtungsdaten des realen Systems, statistischen Daten, bekannten Fakten oder den Ergebnissen anderer, bereits etablierter Modelle. Bewertung der Sensitivität des Modells gegenüber Parameteränderungen.

Der wesentliche Unterschied:

• Die Verifizierung vergleicht die Implementierung des Modells mit seiner Spezifikation (mathematischen Beschreibung).
• Die Validierung vergleicht das Modell (insgesamt) mit der Realität.

Man kann ein mathematisch korrektes, aber für den realen Prozess unzureichendes Modell haben (verifiziert, aber nicht validiert) oder ein Modell, das als adäquat konzipiert, aber fehlerhaft implementiert wurde (nicht verifiziert).

Die Prozesse der Verifizierung und Validierung sind ein integraler Bestandteil des mathematischen Modellierungsprozesses. Sie schaffen Vertrauen in die Ergebnisse der Modellierung und ermöglichen es, die Anwendungsgrenzen des Modells zu bewerten. Ohne sie kann die Verwendung des Modells für Prognosen, Optimierungen oder Entscheidungen fehlerhaft sein.

Einschränkungen und Annahmen

Jedes mathematische Modell ist eine Abstraktion – eine gezielte Vereinfachung der untersuchten Realität. Es basiert auf einer Reihe von Annahmen und ist, wie jede Karte, nicht das Territorium selbst, sondern nur dessen Beschreibung für bestimmte Zwecke. Dies führt zu folgenden Einschränkungen:

1. Unvollständigkeit: Das Modell berücksichtigt nur wesentliche (aus Sicht des Forschungsziels und der getroffenen Annahmen) Faktoren und Zusammenhänge und ignoriert bewusst andere Details, um die Analyse zu vereinfachen.
2. Abhängigkeit von Annahmen: Die Korrektheit, Genauigkeit und der Anwendungsbereich des Modells hängen direkt von der Begründetheit der getroffenen Annahmen ab. Falsche oder verletzte Annahmen führen zu ungenauen oder falschen Ergebnissen.
3. Begrenzter Anwendungsbereich: Das Modell beschreibt die Realität nur unter bestimmten Bedingungen (die den Annahmen entsprechen) und zur Lösung eines spezifischen Aufgabenkreises, für den es erstellt und überprüft wurde, adäquat. Eine Extrapolation über diesen Rahmen hinaus ist nicht korrekt.
4. Fehler: Aufgrund von Vereinfachungen weisen die Ergebnisse der Modellierung immer einen gewissen Fehler im Vergleich zum realen Verhalten des Objekts auf.
5. Notwendigkeit der Validierung: Da das Modell eine Vereinfachung ist, muss seine Adäquatheit immer anhand realer (experimenteller oder beobachteter) Daten überprüft (validiert) werden.
6. Sensitivität: Die Ergebnisse der Modellierung können empfindlich auf Änderungen der Eingabedaten, Modellparameter und getroffenen Annahmen reagieren, was häufig eine Sensitivitätsanalyse erfordert.

Anwendungsbeispiele

• In der Physik: Modellierung von Wärmeleitung, Hydrodynamik, elektromagnetischen Prozessen.
• Im Ingenieurwesen: Berechnung der Festigkeit von Konstruktionen, Optimierung technologischer Prozesse.
• In der Biologie: Modellierung der Populationsdynamik und der Ausbreitung von Krankheiten.
• In der Wirtschaft: Erstellung makroökonomischer Modelle und Modelle der optimalen Steuerung.
• In der Soziologie: Modellierung von Migrationsprozessen und sozialer Dynamik.

Beziehung zu anderen Begriffen

• Mathematisches Modell
• Systemmodell
• Modellierungsprozess
• Formalisierung von Systemmodellen
• Modellierung
• Operations Research

Literatur

• Введение в математическое моделирование / Под ред. П.В. Трусова. — М.: Университетская книга, Логос, 2007. (Einführung in die mathematische Modellierung / Hrsg. P.W. Trussow)
• Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. Моисеев Н.Н. — М.: Наука, 1981. (Mathematische Modellierung. Ideen. Methoden. Beispiele. Moisejew N.N.)
• Математическое моделирование. Галанин М.П., Галанина Е.М., Сергеев А.В., Шалаева А.К. . — М.: ЛКИ, 2022. (Mathematische Modellierung. Galanin M.P., et al.)
• Principles of Mathematical Modeling Dym, C.L. (2004)