Critério de Savage

O Critério de Savage (também conhecido como critério do arrependimento mínimo) é um dos métodos de tomada de decisão em condições de incerteza. Ele é aplicado em situações onde as probabilidades dos diferentes resultados são desconhecidas, e o objetivo é minimizar as perdas potenciais decorrentes da tomada de uma decisão não ótima.

Características Gerais

Em condições de incerteza, as consequências da escolha de cada estratégia não são definidas com precisão. Para avaliar as alternativas possíveis, utiliza-se uma série de critérios, como os critérios de Wald, Hurwicz, Laplace e Savage. O critério de Savage não se concentra em alcançar o lucro máximo, mas sim na minimização do arrependimento máximo (perdas em comparação com o melhor resultado possível).

O arrependimento é uma medida que reflete o ganho perdido por não ter escolhido a estratégia ótima para um resultado específico.

Algoritmo de Aplicação do Critério de Savage

• Construção da matriz de payoff: É construída uma tabela onde as linhas correspondem às estratégias possíveis e as colunas aos possíveis resultados dos eventos. Na interseção, registra-se o resultado esperado para uma estratégia e um resultado específicos.
• Construção da matriz de arrependimento (matriz de riscos): Para cada resultado (coluna), determina-se o valor máximo de ganho. Em seguida, para cada célula, calcula-se o valor do arrependimento.
• Determinação do arrependimento máximo para cada estratégia: Em cada linha da matriz de arrependimento, seleciona-se o valor máximo (o pior caso para essa estratégia).
• Seleção da estratégia ótima: Escolhe-se a estratégia para a qual o arrependimento máximo é o mínimo.

Dessa forma, o critério de Savage implementa o princípio de minimizar a perda potencial de uma decisão incorreta.

Formulação Matemática

Sejam dados:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — o conjunto de estratégias (alternativas) disponíveis.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — o conjunto de possíveis estados da natureza.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — a função de ganho (utilidade) ao escolher a estratégia $s_i$ e ocorrer o estado ${\theta }_j$. Frequentemente representada por uma matriz de payoff $A=[a_{ij}]$, onde $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

O critério de Savage baseia-se no conceito de arrependimento (regret) ou custo de oportunidade. O arrependimento $r(s_i,{\theta }_j)$ para a estratégia $s_i$ no estado da natureza ${\theta }_j$ é definido como a diferença entre o ganho máximo possível que poderia ser obtido nesse estado ${\theta }_j$ (se a melhor estratégia para esse estado tivesse sido escolhida) e o ganho real da estratégia $s_i$.

Algoritmo de aplicação do critério de Savage:

1. Cálculo da matriz de arrependimento (riscos):

   a) Encontrar o ganho máximo para cada estado da natureza (cada coluna da matriz de payoff):

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   Este é o melhor resultado possível se o estado ${\theta }_j$ ocorrer.

   b) Calcular os elementos da matriz de arrependimento $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   O elemento $r_{ij}$ mostra o quanto o ganho da estratégia $s_i$ é menor que o máximo possível no estado ${\theta }_j$. Todos os elementos $r_{ij}\ge 0$.

1. Determinação do arrependimento máximo para cada estratégia: Para cada estratégia $s_i$ (cada linha da matriz de arrependimento $R$), determina-se o seu pior resultado possível do ponto de vista do arrependimento:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. Seleção da estratégia com o mínimo arrependimento máximo (princípio do arrependimento minimax): Seleciona-se a estratégia $s_{\text{Savage}}^{\ast }$ que minimiza o arrependimento máximo encontrado:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   Ou, substituindo a expressão para $r_{ij}$:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

O valor mínimo do arrependimento máximo, alcançado ao usar o critério de Savage, é igual a: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

Assim, o critério de Savage visa selecionar a estratégia que garante as menores perdas em relação à melhor ação possível para cada estado da natureza.

Pontos-chave na formulação matemática:

• Definição de arrependimento $r_{ij}$: Este é o conceito central. É importante mostrar que ele é calculado como a diferença entre o melhor resultado na coluna j e o resultado atual a_{ij}.
• Matriz de arrependimento $R$: É explicitamente indicado como ela é construída.
• Encontrar $r_i^{max}$: Mostra a busca pelo máximo em cada linha da matriz de arrependimento.
• Princípio minimax: A escolha da estratégia é claramente formulada através de $\arg min$ do $max$ dos arrependimentos.
• Notações utilizadas: Padrão para teoria dos jogos e tomada de decisão (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

Vantagens e Desvantagens

Vantagens:

• Focado na minimização de riscos.
• Especialmente eficaz em condições de alta incerteza.

Desvantagens:

• Ignora o lucro esperado, concentrando-se apenas nas perdas potenciais.
• Pode levar a decisões excessivamente conservadoras.

Critérios de Tomada de Decisão

• Critério de Hurwicz
• Critério de Laplace
• Critério de Wald