Critério de Wald

O Critério de Wald é um dos principais métodos para a tomada de decisões em condições de incerteza. Ele se baseia no princípio do pessimismo extremo e visa à escolha de uma estratégia que garanta o melhor resultado no pior cenário possível.

Essência do critério

O critério pressupõe que o tomador de decisão se concentra no resultado mais desfavorável para cada estratégia. Para cada alternativa, determina-se o seu pior resultado possível. Dentre todas as estratégias, escolhe-se aquela cujo pior resultado é o melhor de todos.

Em outras palavras, o Critério de Wald visa minimizar as perdas máximas e oferece a maior proteção contra condições adversas.

Aplicação do critério

O processo de aplicação inclui os seguintes passos:

1. Para cada estratégia, determina-se o pior resultado possível.
2. Comparam-se os piores resultados de todas as estratégias.
3. Escolhe-se a estratégia com o melhor dos piores resultados.

Essa abordagem é característica de indivíduos extremamente cautelosos, que buscam minimizar os riscos independentemente da probabilidade de ocorrência dos diversos resultados.

Formulação matemática

Sejam dados:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — o conjunto de estratégias (alternativas) disponíveis, dentre as quais o tomador de decisão (TD) escolhe.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — o conjunto de possíveis estados da natureza (condições externas, cenários), que não dependem da escolha do TD.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — a função de ganho (utilidade), que representa uma avaliação numérica do resultado ao escolher a estratégia $s_i\in S$ e ocorrer o estado da natureza ${\theta }_j\in \Theta$. Frequentemente, é representada na forma de uma matriz de payoff $A=[a_{ij}]$, onde $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

O Critério de Wald (ou critério maximin) prescreve a seguinte sequência de ações:

1. Encontrar o ganho mínimo para cada estratégia: Para cada estratégia $s_i$, determina-se seu pior resultado possível (ganho mínimo) em todos os possíveis estados da natureza:

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

1. Escolher a estratégia com o máximo dos ganhos mínimos: Escolhe-se a estratégia $s_{\text{Wald}}^{\ast }$ que proporciona o maior valor entre os ganhos mínimos encontrados:

   $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

O nível de ganho garantido (mínimo) ao usar o Critério de Wald é: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

Assim, o Critério de Wald implementa o princípio maximin — a maximização do ganho mínimo. Ele é orientado por uma visão pessimista, presumindo que, qualquer que seja a decisão tomada, a natureza responderá da maneira menos favorável para o TD.

Observação sobre a função de perda

Se, em vez da função de ganho $u(s_i,{\theta }_j)$, for utilizada uma função de perda $L(s_i,{\theta }_j)$ que se deseja minimizar, o Critério de Wald se transforma no critério de minimax da perda:

1. Para cada estratégia $s_i$, encontra-se o valor máximo da perda: $L_i^{max}=\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta )$
2. Escolhe-se a estratégia que minimiza essas perdas máximas: $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta ))$

Vantagens e desvantagens

Vantagens:

• Simplicidade e clareza do método.
• Garantia de um alto grau de segurança nas decisões em condições de incerteza total.

Desvantagens:

• Pessimismo excessivo: possíveis ganhos elevados são ignorados em prol da minimização das perdas.
• Pode levar à escolha de estratégias excessivamente conservadoras.