Az optimális azt jelenti, hogy a legjobb az adott feltételek mellett. A minőséget optimalitási kritérium alapján értékelik, a feltételeket pedig a további kritériumokra vonatkozó korlátozásokként adják meg.
A munka, az alkotó tevékenység és bármely célra irányuló cselekvés hatékonyságának javítására irányuló törekvés alapvetően az optimalitás fogalmában fejeződik ki. A tudományos és a köznapi optimalitás-fogalom közötti különbség minimális. Bár az olyan kifejezések, mint „a legoptimálisabb” vagy „maximális hatás minimális költséggel”, matematikailag pontatlanok, ezek a fordulatok mégis nagyjából visszaadják a szándékolt gondolatot. Amikor konkrét optimalizálásra van szükség, az emberek jellemzően pontosabban fogalmazzák meg állításaikat.
Az optimalizálás — a matematikában, az informatikában és az operációkutatásban — annak a feladatnak a megoldása, hogy egy célfüggvény szélsőértékét (minimumát vagy maximumát) megtaláljuk egy véges dimenziós vektortér valamely tartományában, amelyet lineáris és/vagy nemlineáris egyenlőségek és/vagy egyenlőtlenségek halmaza határol.
Az optimalizálási modellek célja, hogy meghatározzák a modellezett objektum optimális (legjobb) paramétereit egy adott kritérium szerint, vagy megtalálják egy folyamat irányításának optimális (legjobb) módját. A modell egyes paraméterei irányítási paraméterként vannak besorolva; ezek változtatásával a kimeneti paraméterek különböző értékkészletei nyerhetők. Az ilyen modelleket rendszerint egy vagy több leíró modell felhasználásával építik fel, és tartalmaznak egy kritériumot, amely lehetővé teszi a kimeneti paraméterek különböző értékkészleteinek összehasonlítását a legjobb kiválasztása érdekében. A bemeneti paraméterek értéktartományára korlátozások — egyenlőségek és egyenlőtlenségek formájában — is kirovhatók, amelyek a vizsgált objektum vagy folyamat jellemzőihez kapcsolódnak. Az optimalizálási modellek célja, hogy megtalálják azokat a megengedett irányítási paramétereket, amelyek mellett a kiválasztási kritérium eléri „legjobb értékét”.
A feladatot matematikai modell formájában fogalmazzák meg. Az operációkutatás standard matematikai modellje a következő megfogalmazásban jelenik meg:
A célfüggvény maximalizálása vagy minimalizálása, a korlátozások teljesülése mellett.
Optimálisnak azokat a megoldásokat nevezzük, amelyek valamilyen tulajdonságuk alapján előnyösebbek másoknál. A legjobb alternatíva minden egyes kiválasztása specifikus, mivel a megállapított kritériumoknak való megfelelésen alapul. Amikor optimális alternatíváról beszélünk, meg kell adnunk ezeket a kritériumokat („optimális… tekintetében”). Ami az egyik kritérium szerint optimális, nem feltétlenül az egy másik szerint.
Megengedett megoldásnak azt nevezzük, amely kielégíti a modell összes korlátozását. Bizonyos esetekben a megengedett megoldások száma végtelen is lehet.
Optimális megoldásnak azt nevezzük, amely a megengedettségen felül maximalizálja vagy minimalizálja a célfüggvényt.
Az optimalizálás a célfüggvény maximalizálása vagy minimalizálása.
Az optimalizálási modell olyan döntéshozatali modell, amely tartalmaz egy eredményességi mérőszámot (célfüggvényt), amelyet a megadott korlátozások mellett optimalizálni kell.
Az optimális megoldás a döntési változók olyan megengedett értékkészlete, amely optimalizálja az optimalizálási modell célfüggvényét.
A gyakorlati választási feladatok nagy száma a legjobb vagy legelőnyösebb alternatívák megtalálására, gyakran pedig az egyetlen legjobb alternatíva megtalálására vezethető vissza. Ennek során minden döntéshozónak megvannak a maga szubjektív elképzelései arról, hogy mi számára előnyösebb egy adott választási helyzetben.
Sok probléma esetén megfogalmazható a választás matematikai modellje, amelyben a legjobb alternatívát egy vagy több számszerű eredményességi (vagy minőségi) kritérium határozza meg. Ezeket a feladat által meghatározott kritériumokat az alternatívák tulajdonságait reprezentáló változók célfüggvényei fejezik ki. A döntéshozó számára legelőnyösebb alternatíva ekkor az optimális választás, amely adott feltételek mellett az eredményességi mértékek szélsőértékeit adja.
Az optimális választási feladat megfogalmazásának alapvető eleme az a képesség, hogy a problémás helyzetet és a döntéshozó preferenciáit mennyiségi formában lehessen leírni. Ez azt jelenti, hogy először is a lehetséges megoldási alternatívákat (alternatívák, objektumok, cselekvési módok) mennyiségi jellemzőkkel (változókkal, paraméterekkel, attribútumokkal) kell meghatározni, amelyeket számszerű skálákon mérnek. Másodszor, meg kell adni mennyiségi mértékeket (optimalitási kritériumokat, eredményességi mértékeket, célfüggvényeket, értékfüggvényeket), amelyek nagysága alapján a kiválasztott alternatíva minőségét értékelik. Az ilyen helyzetek a jól strukturált problémákra és az operációkutatásban, valamint az optimális irányításban jellemző, ismétlődő választási helyzetekre jellemzők.
A probléma megoldásának lehetséges alternatíváinak (a cél elérésének módjainak) elemzéséhez és a közülük legjobb alternatíva(k) kiválasztásához az optimális választás formális modelljeit építik fel. A modell a valós probléma egyszerűsített reprezentációját adja, és tükröznie kell a legfontosabb, objektíven létező összefüggéseket és kapcsolatokat az alternatívák, azok leíró jellemzői, valamint az irányítható és nem irányítható tényezők által kirovott korlátozások között. Az ilyen modell felépítése a tanácsadó-elemzők és szakértők feladata, a döntéshozó részvételével. A választási modell felépítésekor egyensúlyt kell találni a modell megfelelősége és részletessége, valamint a valós választási feladathoz szükséges pontosság között, továbbá a megoldás megtalálásához szükséges információ mennyisége — mind a már rendelkezésre álló, mind a további úton beszerezhető információ — tekintetében.
Az optimalizálási feladatok szigorúan formális matematikai feladatok. Az ilyen feladatok megoldásainak gyakorlati jelentősége közvetlenül a kiinduló matematikai modell minőségétől függ. Bonyolult rendszerekben a matematikai modellezés nehéz, közelítő és pontatlan. Minél összetettebb a rendszer, annál óvatosabban kell megközelíteni az optimalizálását.
A rendszerelemzés szempontjából az optimalizáláshoz való viszonyulás a következőképpen fogalmazható meg: ez a hatékonyság javításának egyik hatásos eszköze, de a probléma összetettségének növekedésével egyre nagyobb óvatossággal kell alkalmazni.
Az optimalizálás gondolatának nyilvánvaló hasznossága ellenére a gyakorlat körültekintő bánásmódot kíván tőle. Erre kellően meggyőző okok szolgálnak.
- Az optimális megoldás gyakran bizonyul instabilnak: a feladat feltételeinek látszólag jelentéktelen változásai lényegesen eltérő alternatívák kiválasztásához vezethetnek.
- A vizsgált rendszer egy nagyobb rendszer részét képezi, és a lokális optimalizálás nem feltétlenül ugyanazt az eredményt adja, mint amit az alrendszertől megkövetelnének a rendszer egészének optimalizálásakor. Ez szükségessé teszi az alrendszer kritériumainak összehangolását a rendszer kritériumaival, ami gyakran feleslegessé teszi a lokális optimalizálást.
- A kritériumok csak közvetve jellemzik a célt — hol jobban, hol rosszabbul, de mindig csak közelítőleg. Az optimalitási kritérium maximalizálását gyakran azonosítják a céllal, valójában azonban ezek különböző dolgok. Valójában a kritérium és a cél úgy viszonyul egymáshoz, mint a modell az eredetihez, minden ebből fakadó következménnyel együtt. Számos célt nehéz, vagy egyenesen lehetetlen mennyiségileg leírni.
- Ha nem adjuk meg az összes szükséges korlátozást, előfordulhat, hogy a fő kritérium maximalizálásával egyidejűleg előre nem látott és nemkívánatos mellékhatásokat kapunk.