Optimierung

Optimal bedeutet das Beste unter gegebenen Bedingungen. Die Qualität wird anhand eines Optimalitätskriteriums bewertet, und die Bedingungen werden als Restriktionen für zusätzliche Kriterien festgelegt.

Das Streben nach Effizienzsteigerung in Arbeit, kreativer Tätigkeit und jeder zielgerichteten Handlung findet grundlegend seinen Ausdruck im Begriff der Optimalität. Der Unterschied zwischen dem wissenschaftlichen und dem alltäglichen Verständnis von Optimalität ist gering. Obwohl Formulierungen wie „am optimalsten“ oder „maximaler Effekt bei minimalen Kosten“ mathematisch ungenau sind, vermitteln solche Ausdrücke die beabsichtigte Idee zumindest ungefähr. Wird eine konkrete Optimierung benötigt, formulieren Menschen ihre Aussagen in der Regel präziser um.

Optimierung — in Mathematik, Informatik und Operations Research — ist das Problem, ein Extremum (Minimum oder Maximum) einer Zielfunktion in einem Bereich eines endlichdimensionalen Vektorraums zu finden, der durch eine Menge linearer und/oder nichtlinearer Gleichungen und/oder Ungleichungen begrenzt ist.

Optimierungsmodelle dienen dazu, die optimalen (besten) Parameter eines modellierten Objekts bezüglich eines bestimmten Kriteriums zu bestimmen oder die optimale (beste) Steuerungsweise eines Prozesses zu finden. Ein Teil der Modellparameter wird als Steuerparameter eingestuft; durch deren Variation lassen sich unterschiedliche Wertesätze der Ausgangsparameter erzielen. In der Regel werden solche Modelle unter Verwendung eines oder mehrerer deskriptiver Modelle aufgebaut und enthalten ein Kriterium, das den Vergleich verschiedener Wertesätze der Ausgangsparameter erlaubt, um den besten auszuwählen. Dem Wertebereich der Eingangsparameter können Restriktionen in Form von Gleichungen und Ungleichungen auferlegt werden, die sich auf die Eigenschaften des betrachteten Objekts oder Prozesses beziehen. Der Zweck von Optimierungsmodellen besteht darin, solche zulässigen Steuerparameter zu finden, bei denen das Auswahlkriterium seinen „besten Wert“ erreicht.

Das Problem wird als mathematisches Modell formuliert. Das mathematische Standardmodell des Operations Research wird in folgender Formulierung dargestellt:

Maximierung oder Minimierung der Zielfunktion unter Einhaltung der Restriktionen.

Lösungen werden als optimal bezeichnet, wenn sie nach dem einen oder anderen Merkmal anderen vorzuziehen sind. Jede Auswahl der besten Alternative ist spezifisch, da sie auf der Erfüllung festgelegter Kriterien beruht. Spricht man von einer optimalen Alternative, so werden diese Kriterien präzisiert („optimal bezüglich…“). Was nach einem Kriterium optimal ist, muss es nach einem anderen nicht sein.

Eine zulässige Lösung ist eine solche, die alle Restriktionen des Modells erfüllt. In bestimmten Fällen kann die Anzahl der zulässigen Lösungen unendlich sein.

Eine optimale Lösung ist eine Lösung, die zusätzlich zur Zulässigkeit die Zielfunktion maximiert oder minimiert.

Optimierung ist die Maximierung oder Minimierung der Zielfunktion.

Ein Optimierungsmodell ist ein Modell zur Entscheidungsfindung, das ein Wirksamkeitsmaß (eine Zielfunktion) enthält, das unter gegebenen Restriktionen zu optimieren ist.

Eine optimale Lösung ist eine zulässige Menge von Werten der Entscheidungsvariablen, die die Zielfunktion des Optimierungsmodells optimiert.

Eine große Zahl praktischer Auswahlprobleme läuft darauf hinaus, die besten oder bevorzugten Alternativen zu finden, häufig sogar die einzige beste Alternative. Dabei hat jeder Entscheidungsträger seine eigenen subjektiven Vorstellungen davon, was für ihn in einer konkreten Auswahlsituation vorzuziehen ist.

Viele Probleme lassen ein mathematisches Auswahlmodell zu, bei dem die beste Alternative durch ein oder mehrere numerische Wirksamkeits- (oder Qualitäts-)kriterien bestimmt wird. Diese durch das Problem bestimmten Kriterien sind Zielfunktionen von Variablen, die Eigenschaften der Alternativen darstellen. Die vom Entscheidungsträger bevorzugte Alternative ist dann die optimale Wahl, die unter gegebenen Bedingungen Extremwerte der Wirksamkeitsmaße liefert.

Ein grundlegender Aspekt bei der Formulierung des Problems der optimalen Wahl ist die Fähigkeit, die Problemsituation und die Präferenzen des Entscheidungsträgers in quantitativer Form zu beschreiben. Das bedeutet erstens, dass die möglichen Lösungsalternativen (Alternativen, Objekte, Handlungsweisen) durch quantitative Merkmale (Variablen, Parameter, Attribute) bestimmt werden, die anhand numerischer Skalen gemessen werden. Zweitens müssen quantitative Maße festgelegt werden (Optimalitätskriterien, Wirksamkeitsmaße, Zielfunktionen, Wertfunktionen), anhand deren Größe die Qualität der gewählten Alternative beurteilt wird. Solche Situationen sind typisch für gut strukturierte Probleme und wiederkehrende Auswahlsituationen, wie sie für Operations Research und optimale Steuerung charakteristisch sind.

Um mögliche Alternativen zur Lösung eines Problems (Wege zur Zielerreichung) zu analysieren und die beste(n) Alternative(n) unter ihnen auszuwählen, werden formale Modelle der optimalen Wahl konstruiert. Ein Modell liefert eine vereinfachte Darstellung des realen Problems und muss die wichtigsten, objektiv bestehenden Abhängigkeiten und Beziehungen zwischen den Alternativen, ihren beschreibenden Merkmalen und den durch kontrollierbare und unkontrollierbare Faktoren auferlegten Restriktionen widerspiegeln. Die Konstruktion eines solchen Modells ist Aufgabe von Berater-Analysten und Experten unter Beteiligung des Entscheidungsträgers. Beim Aufbau eines Auswahlmodells muss ein Gleichgewicht zwischen der Angemessenheit und Detailliertheit des Modells einerseits und der für das reale Auswahlproblem erforderlichen Genauigkeit sowie dem Umfang der zur Lösungsfindung benötigten Information andererseits gefunden werden — sowohl der bereits verfügbaren als auch der zusätzlich zu beschaffenden Information.

Optimierungsprobleme sind streng formale mathematische Probleme. Die praktische Bedeutung der Lösungen solcher Probleme hängt unmittelbar von der Qualität des ursprünglichen mathematischen Modells ab. Bei komplexen Systemen ist die mathematische Modellierung schwierig, näherungsweise und ungenau. Je komplexer das System, desto vorsichtiger sollte man an seine Optimierung herangehen.

Aus der Sicht der Systemanalyse lässt sich die Haltung gegenüber der Optimierung folgendermaßen formulieren: Sie ist ein mächtiges Mittel zur Effizienzsteigerung, und sollte umso vorsichtiger eingesetzt werden, je komplexer das Problem ist.

Bei aller offensichtlichen Nützlichkeit der Idee der Optimierung erfordert die Praxis einen sorgsamen Umgang mit ihr. Für eine solche Schlussfolgerung gibt es hinreichend überzeugende Gründe.

1. Eine optimale Lösung erweist sich oft als instabil: scheinbar unbedeutende Änderungen der Problembedingungen können zur Wahl wesentlich anderer Alternativen führen.
2. Das betrachtete System ist Teil eines größeren Systems, und eine lokale Optimierung führt nicht notwendigerweise zu demselben Ergebnis, das für das Teilsystem bei der Optimierung des Gesamtsystems erforderlich wäre. Dies erfordert eine Abstimmung der Kriterien des Teilsystems mit denen des Gesamtsystems, wodurch die lokale Optimierung häufig überflüssig wird.
3. Kriterien charakterisieren das Ziel nur indirekt — mal besser, mal schlechter, aber stets näherungsweise. Die Maximierung des Optimalitätskriteriums wird oft mit dem Ziel gleichgesetzt, tatsächlich handelt es sich jedoch um unterschiedliche Dinge. Im Grunde verhalten sich Kriterium und Ziel zueinander wie Modell und Original, mit allen damit verbundenen Konsequenzen. Viele Ziele lassen sich nur schwer oder gar nicht quantitativ beschreiben.
4. Ohne Festlegung aller notwendigen Restriktionen können wir bei gleichzeitiger Maximierung des Hauptkriteriums unvorhergesehene und unerwünschte Nebenwirkungen erhalten.