Um quantitative Forschungsmethoden anwenden zu können, ist es notwendig, ein mathematisches Modell der Operation zu konstruieren. Beim Aufbau eines Modells wird die Operation üblicherweise vereinfacht und schematisiert, und das entstehende Schema wird mit mathematischen Mitteln beschrieben. Ein Modell einer Operation ist eine hinreichend genaue mathematische Beschreibung der Operation, ausgedrückt durch Funktionen, Gleichungen, Gleichungssysteme und Ungleichungen. Die Wirksamkeit einer Operation ist der Grad, in dem sie ihr Ziel erreicht.
Allgemeine Formulierung des Operations-Research-Problems
Im Operations Research umfasst eine Managementsituation Ziele und Entscheidungen. Entscheidungen werden getroffen, um ein Ziel zu erreichen. Die Managementsituation wird durch ein Modell beschrieben. Das Modell enthält ein Wirksamkeitsmaß, mit dem bestimmt wird, wie nahe eine Entscheidung dem Ziel kommt. Das Wirksamkeitsmaß hängt von den Faktoren ab, die die Operation beeinflussen. Alle Faktoren, die in die Beschreibung einer Operation einfließen, lassen sich in zwei Gruppen einteilen: konstante Faktoren, die nicht beeinflusst werden können, und steuerbare Faktoren.
Die konzeptionellen Elemente des Modells werden als "Black Box" dargestellt, wobei der Hauptfokus auf der Definition von Eingaben und Ausgaben liegt. Eingaben sind das, was das Modell verarbeitet; Ausgaben sind das, was das Modell erzeugt. Steuerbare und nicht steuerbare Variablen werden als Eingaben bereitgestellt. Die Ausgabe ist das Wirksamkeitskriterium. Das Modell enthält ein explizites Wirksamkeitsmaß, mit dem bestimmt wird, wie nahe eine Entscheidung dem Ziel kommt. Beim Aufbau eines Modells ist es wichtig festzulegen, wie sich die Eingabeparameter auf das festgelegte Maß auswirken.
Das Wirksamkeitskriterium, ausgedrückt durch eine bestimmte Funktion, die Zielfunktion genannt wird, hängt von Faktoren beider Gruppen ab. Der mathematische Ausdruck des Wirksamkeitskriteriums wird Zielfunktion genannt. Die Zielfunktion ist ein mathematisch formuliertes (formalisiertes) Wirksamkeitsmaß, das maximiert oder minimiert werden muss.
Steuerbare Variablen sind jene Parameter, die vom Entscheidungsträger gesteuert werden.
Nicht steuerbare Variablen sind externe Faktoren, die der Entscheidungsträger nicht kontrollieren kann, die jedoch für das Erreichen der Ziele wesentlich sind.
Das Wirksamkeitskriterium bzw. die Zielfunktion ist eine Funktion der Entscheidungsvariablen, die den Grad der Annäherung an das Ziel ausdrückt.
Definition eines mathematischen Modells: Unter einem mathematischen Modell versteht man jeden Operator, der bei entsprechenden Werten der Eingabeparameter die Ausgabewerte der Parameter des zu modellierenden Objekts innerhalb der Menge der zulässigen Werte der Ein- und Ausgabeparameter des modellierten Objekts festlegt.
Operations-Research-Modelle und Entscheidungsfindung
Operations Research ist auf die quantitative Begründung rationaler Entscheidungsfindung ausgerichtet. Solche Modelle überschneiden sich eng mit einer großen Klasse von Problemen der Entscheidungstheorie und Optimierungsproblemen.
Bei der Entwicklung eines Operations-Research-Modells müssen folgende Fragen beantwortet werden:
- was im konkreten Fall als alternative Lösungen zu betrachten ist?
- nach welchem Kriterium alternative Lösungen ausgewählt werden?
- welche Restriktionen die zulässigen Lösungen erfüllen müssen?
Das mathematische Standardmodell des Operations Research wird in folgender Formulierung dargestellt: Maximierung oder Minimierung der Zielfunktion unter Einhaltung der Restriktionen.
Bei der Auswahl einer Lösung wird diejenige bevorzugt, die die Zielfunktion maximiert oder minimiert. Beispiele für die Maximierung der Zielfunktion sind Gewinn und Produktivität. Die Minimierung der Zielfunktion kann sich auf Kosten, Ausgaben, Zeit und dergleichen beziehen. Die Wahl des Wirksamkeitskriteriums ist der zentrale, kritischste Punkt der Untersuchung. Es ist weitaus besser, eine nicht optimale Lösung für ein korrekt gewähltes Kriterium zu finden, als eine optimale Lösung für ein falsch gewähltes Kriterium.
Eine zulässige Lösung ist eine Lösung, die alle Restriktionen des Modells erfüllt. Es kann unendlich viele zulässige Lösungen geben.
Eine optimale Lösung ist eine Lösung, die nicht nur zulässig ist, sondern auch bewirkt, dass die Zielfunktion ihren Maximal- oder Minimalwert erreicht.
Lösungen werden als optimal bezeichnet, wenn sie nach dem einen oder anderen Merkmal anderen vorzuziehen sind. Jede Wahl der besten Alternative ist spezifisch, da sie auf der Übereinstimmung mit festgelegten Kriterien beruht. Spricht man von einer optimalen Alternative, so werden diese Kriterien präzisiert ("optimal in Bezug auf…"). Was nach einem Kriterium optimal ist, muss es nach einem anderen nicht sein.
Eine Restriktion ist ein mathematischer Ausdruck in Form einer Ungleichung oder Gleichung, den die Variablen des Modells erfüllen müssen.
Restriktionen schränken die Menge der zulässigen Lösungen ein. In manchen Fällen kann es unter den gegebenen Restriktionen überhaupt keine optimale Lösung geben. Das bedeutet, dass die Qualität der endgültigen Entscheidung, die auf Grundlage der Problemlösung getroffen wird, davon abhängt, wie adäquat das Modell die reale Situation abbildet, die es formal durch Restriktionen beschreibt. Zu den Restriktionen zählen Quoten, Ladekapazität von Fahrzeugen, geplanter Aufgabenumfang, Gewichtseigenschaften von Ausrüstung, Ressourcenbeschränkungen und dergleichen.
Wenn sich die Konfiguration der Restriktionen ändert, kann eine andere Lösung zur besten werden. In der realen Welt können Restriktionen physischer, wirtschaftlicher oder politischer Natur sein und lassen sich nicht unbedingt formalisieren. Eine konkrete Lösung ist nur für das gegebene Modell unter dem festgelegten System von Restriktionen die beste. Je genauer das Modell die Situation widerspiegelt, desto näher liegt die Lösung des Problems an der optimalen.
Klassifikation der Operations-Research-Modelle
Alle Operations-Research-Modelle lassen sich in Abhängigkeit von der Art und den Eigenschaften der Operation, dem Charakter der zu lösenden Probleme und den angewandten mathematischen Methoden klassifizieren:
- Wenn das Wirksamkeitskriterium eine lineare Funktion ist und die Funktionen im Restriktionssystem ebenfalls linear sind, dann handelt es sich um ein Problem der linearen Optimierung.
- Wenn seine Lösungen aufgrund ihrer inhaltlichen Bedeutung ganzzahlig sein müssen, dann handelt es sich um ein Problem der ganzzahligen linearen Optimierung.
- Wenn das Wirksamkeitskriterium und/oder das Restriktionssystem durch nichtlineare Funktionen festgelegt sind, dann liegt ein Problem der nichtlinearen Optimierung vor. Besitzen die genannten Funktionen insbesondere Konvexitätseigenschaften, so ist das resultierende Problem ein Problem der konvexen Optimierung.
- Wenn ein Problem der mathematischen Programmierung eine Zeitvariable enthält und das Wirksamkeitskriterium nicht explizit als Funktion der Variablen, sondern indirekt — durch Gleichungen, die den zeitlichen Ablauf der Operationen beschreiben — ausgedrückt wird, dann handelt es sich um ein Problem der dynamischen Optimierung.
- Wenn das algorithmische Auffinden des exakten Optimums aufgrund einer übermäßig großen Zahl von Lösungsvarianten unmöglich ist, werden heuristische Programmierungsmethoden eingesetzt, die es ermöglichen, die Zahl der untersuchten Varianten erheblich zu reduzieren und, wenn nicht die optimale, so doch eine hinreichend gute, aus praktischer Sicht zufriedenstellende Lösung zu finden.
Nach ihrer inhaltlichen Formulierung lassen sich eine Vielzahl weiterer typischer Operations-Research-Probleme in mehrere Klassen einteilen:
- Probleme der Projektplanung (PERT/CPM) untersuchen die Zusammenhänge zwischen den Fertigstellungsterminen eines großen Komplexes von Operationen (Aufgaben) und den Startzeitpunkten aller Operationen des Komplexes. Diese Probleme bestehen darin, die minimalen Durchführungsdauern des Operationskomplexes und das optimale Verhältnis zwischen Kosten und Fertigstellungsterminen zu finden.
- Warteschlangenprobleme widmen sich der Untersuchung und Analyse von Bediensystemen mit Warteschlangen von Anforderungen und bestehen darin, die Leistungskennzahlen der Systeme und ihre optimalen Eigenschaften zu bestimmen — beispielsweise die Bestimmung der Anzahl der Bedienkanäle, der Bedienzeit und Ähnliches.
- Probleme der Lagerhaltung bestehen darin, die optimalen Werte des Lagerbestandsniveaus (Bestellpunkt) und der Bestellmenge zu finden. Das kennzeichnende Merkmal solcher Probleme besteht darin, dass mit steigendem Lagerbestandsniveau einerseits die Lagerkosten steigen, andererseits jedoch die Verluste durch mögliche Engpässe beim gelagerten Produkt sinken.
- Probleme der Ressourcenallokation entstehen, wenn eine bestimmte Menge von Operationen (Aufgaben) mit begrenzt verfügbaren Ressourcen ausgeführt werden muss und es erforderlich ist, die optimale Verteilung der Ressourcen auf die Operationen oder die optimale Zusammensetzung der Operationen zu finden.
- Probleme der Wartung und des Ersatzes sind im Zusammenhang mit dem Verschleiß und der Alterung von Ausrüstung sowie der Notwendigkeit ihres Ersatzes relevant.
- Unter den Operations-Research-Modellen werden insbesondere Modelle für optimale Entscheidungen in Konfliktsituationen hervorgehoben, die von der Spieltheorie untersucht werden. Konfliktsituationen, in denen die Interessen zweier (oder mehrerer) Parteien mit unterschiedlichen Zielen aufeinanderprallen, umfassen eine Reihe von Situationen in den Bereichen Wirtschaft, Recht, Militärwesen und Ähnliches. Bei Problemen der Spieltheorie ist es notwendig, Empfehlungen für das rationale Verhalten der Konfliktbeteiligten zu entwickeln und ihre optimalen Strategien zu bestimmen.