Парадокс Алле

Парадо́кс Алле́ (фр. paradoxe d'Allais) — систематический паттерн предпочтений, несовместимый с аксиомой независимости нормативной теории ожидаемой полезности фон Неймана — Моргенштерна, наблюдаемый в задачах выбора между рискованными альтернативами (лотереями). Один из наиболее известных контрпримеров к классической аксиоматике рационального выбора в теории принятия решений. Сформулирован французским экономистом Морисом Алле в начале 1950-х годов и опубликован в 1953 году в журнале Econometrica; показывает, что модальный выбор реальных субъектов в задачах с лотереями может одновременно удовлетворять двум утверждениям, логически несовместимым в рамках теории ожидаемой полезности.

В узком смысле парадоксом Алле называют исходную схему из двух пар лотерей с высокими ставками, в широком — родственное семейство эффектов, включающее эффект общего следствия (англ. common-consequence effect), возникающий при изменении общей исключаемой компоненты сравниваемых лотерей, и эффект общего отношения (англ. common-ratio effect), возникающий при синхронном пропорциональном уменьшении вероятностей ненулевых исходов в обеих лотереях. Оба эффекта представляют собой систематические отклонения наблюдаемых предпочтений от требований аксиомы независимости.

Исторический контекст

М. Алле (1911—2010) связывал генезис парадокса с парижским коллоквиумом в мае 1952 года, посвящённым основам теории риска: в опубликованных материалах самой конференции парадокс не фигурирует, но задачи-прототипы, судя по косвенным свидетельствам, циркулировали в кулуарных обсуждениях коллоквиума. В печати парадокс впервые появляется в развёрнутой форме в 1953 году — в статье «Le comportement de l'homme rationnel devant le risque: critique des postulats et axiomes de l'école américaine», опубликованной в Econometrica. Полемической целью Алле была критика «американской школы» ожидаемой полезности — прежде всего традиции фон Неймана — Моргенштерна и связанного с ней американского аксиоматического подхода. У Л. Сэвиджа, одного из участников парижского коллоквиума, уже к 1952 году существовали ранние версии его аксиом; каноническую же форму аксиоматика субъективной ожидаемой полезности получила позднее — в «Основаниях статистики» (1954), и именно в этой форме стала устойчивым предметом дискуссий о парадоксе Алле.

Алле формулировал парадокс не как сугубо эмпирический тест, а как нормативный аргумент: по его мнению, «рациональный человек» (l'homme rationnel) в ситуации высоких ставок относительно собственного богатства должен проявлять предпочтение определённости в силу психологических комплементарностей и «эффекта разочарования», которые не могут быть учтены аксиомой независимости. Первоначально работа была встречена сдержанно, но с конца 1970-х годов парадокс получил широкое признание — в том числе в связи с развитием поведенческой экономики и теории перспектив. В 1988 году Алле стал лауреатом Премии Шведского государственного банка по экономическим наукам памяти Альфреда Нобеля — с формулировкой «за пионерный вклад в теорию рынков и эффективное использование ресурсов»; парадокс при этом рассматривается как часть его более широкого вклада в теорию выбора при риске, а не как специальное основание премии.

Классическая схема 1953 года

Алле предложил две пары лотерей с очень высокими ставками, выраженными в старых французских франках.

Ситуация 1:

• лотерея A: 100 млн франков с вероятностью 1,00 (гарантированный выигрыш);
• лотерея B: 500 млн с вероятностью 0,10; 100 млн с вероятностью 0,89; 0 с вероятностью 0,01.

Ситуация 2:

• лотерея C: 100 млн с вероятностью 0,11; 0 с вероятностью 0,89;
• лотерея D: 500 млн с вероятностью 0,10; 0 с вероятностью 0,90.

Устойчиво наблюдаемый модальный выбор: A предпочтительнее B в первой паре и D предпочтительнее C во второй. Эти предпочтения, как показано ниже, несовместимы ни с какой функцией полезности в смысле теории фон Неймана — Моргенштерна.

Эффект общего следствия

Лотереи A и B совпадают на событии с вероятностью 0,89, приносящем 100 млн: в A этот исход составляет часть гарантированной выплаты, в B — одно из трёх слагаемых. Аналогично C и D совпадают на событии с вероятностью 0,89, приносящем 0. Если из всех четырёх лотерей удалить эту общую компоненту, то пары (A, B) и (C, D) сводятся к одной и той же паре условных лотерей над оставшимися 11% исходов. Аксиома независимости требует, чтобы предпочтение не менялось при удалении общей компоненты; наблюдаемый же переход A ≻ B → D ≻ C означает, что оно меняется. Это и есть эффект общего следствия.

Эффект общего отношения

Родственную форму парадокса Алле образует эффект общего отношения. Соответствующий мысленный эксперимент присутствует уже в статье Алле 1953 года; наиболее влиятельную экспериментальную иллюстрацию эффекта предложили Д. Канеман и А. Тверски (1979): при синхронном пропорциональном уменьшении вероятностей ненулевых исходов в паре лотерей модальное предпочтение смещается в пользу более рискованной альтернативы. В канонической иллюстрации большинство респондентов предпочитает гарантированные 3000 ден. ед. лотерее с выигрышем 4000 ден. ед. и вероятностью 0,80, однако предпочитает лотерею 4000 ден. ед. с вероятностью 0,20 лотерее 3000 ден. ед. с вероятностью 0,25, хотя второе сравнение получается из первого умножением обеих вероятностей выигрыша на 0,25.

В интерпретации теории перспектив оба эффекта связываются с одним свойством реальных предпочтений — непропорционально большим весом, придаваемым определённости и малым изменениям вероятности вблизи её крайних значений. Эта интерпретация не единственная: теория заметности (см. ниже) объясняет эффекты через контекстно-зависимое выделение «заметных» исходов в парах сравниваемых лотерей, а ряд эмпирических работ (Э. Индже́кара-Хафали́р и соавт., 2021) защищает альтернативное объяснение через систематическое избегание нулевого исхода (англ. zero effect), а не через эффект определённости.

Нарушение аксиомы независимости

Обозначим через u(x) значения функции полезности на исходах. В рамках теории ожидаемой полезности предпочтение A ≻ B эквивалентно неравенству

u(100) > 0,10 · u(500) + 0,89 · u(100) + 0,01 · u(0),

или после переноса общего слагаемого:

0,11 · u(100) > 0,10 · u(500) + 0,01 · u(0).    (I)

Аналогично, предпочтение D ≻ C эквивалентно неравенству

0,10 · u(500) + 0,90 · u(0) > 0,11 · u(100) + 0,89 · u(0),

или после переноса:

0,10 · u(500) + 0,01 · u(0) > 0,11 · u(100).    (II)

Неравенства (I) и (II) противоречат друг другу: их левые и правые части буквально совпадают, но упорядочены противоположным образом. Следовательно, никакое линейное по вероятностям правило оценки лотерей — то есть никакая форма теории ожидаемой полезности — не может одновременно объяснить оба наблюдаемых предпочтения.

В литературе по выбору при риске парадокс часто связывают также с нарушением принципа гарантированного результата (англ. sure-thing principle) Л. Сэвиджа; в его аксиоматической системе ближайшей формальной экспликацией этого принципа служит постулат P2: если две альтернативы дают одинаковый исход при наступлении некоторого события E, то предпочтение между ними должно определяться исключительно их исходами в случаях, когда E не наступает. В схеме Алле роль события E играет ветвь вероятностного пространства, наступающая с вероятностью 89%, на которой исходы обеих лотерей каждой пары совпадают; замена значения исхода при этом событии (100 млн в первой паре на 0 во второй) не должна менять модальный выбор — однако меняет его. Принцип гарантированного результата и аксиома независимости фон Неймана — Моргенштерна задаются в разных аксиоматических системах — соответственно для актов над состояниями мира и для лотерей с объективными вероятностями — и как общие аксиоматические конструкции не тождественны; однако при стандартной редукции выбора при риске к актам на известном вероятностном пространстве (П. Фишбёрн, П. Ваккер) они становятся эквивалентными, и в применении к парадоксу Алле могут использоваться взаимозаменяемо.

Эффект определённости

Д. Канеман и А. Тверски (1979) интерпретировали парадокс через эффект определённости (англ. certainty effect): субъект приписывает гарантированному исходу вес, избыточный относительно линейной шкалы вероятностей. В первой паре лотерей переход от B к A устраняет малый (1%) риск нулевого исхода ценой умеренного снижения среднего выигрыша и психологически равен переходу «из риска в определённость»; во второй паре аналогичное по величине изменение вероятности между C и D происходит целиком в области риска и такого же психологического выигрыша не даёт.

Треугольник Маршака — Мэчайны

Наглядной геометрической иллюстрацией парадокса служит прямоугольный вероятностный симплекс, известный в литературе как треугольник Маршака — Мэчайны (англ. Marschak—Machina triangle; в краткой форме — треугольник Мэчайны). Конструкция восходит к работам Дж. Маршака 1950-х годов и была систематически использована М. Мэчайной (1982) для анализа отклонений от теории ожидаемой полезности. Треугольник строится над тремя фиксированными исходами x₁ < x₂ < x₃ (в классической схеме Алле — 0, 100 млн и 500 млн франков). Каждая такая лотерея однозначно задаётся парой вероятностей (p₁, p₃); вероятность среднего исхода p₂ = 1 − p₁ − p₃ восстанавливается автоматически. Множество допустимых лотерей изображается прямоугольным треугольником в плоскости (p₁, p₃); три его вершины отвечают трём гарантированным исходам x₁, x₂, x₃.

В рамках теории ожидаемой полезности кривые безразличия в этом треугольнике представляют собой параллельные прямые: их наклон задаётся функцией полезности u и не зависит от положения в симплексе. Парадокс Алле геометрически означает, что кривые безразличия реальных субъектов расходятся веером (англ. fanning out) — их крутизна возрастает при смещении к левой и верхней границам симплекса (в сторону вершины, отвечающей наилучшему исходу x₃, и стохастически доминирующих лотерей), а в правом нижнем углу — в зоне высоких вероятностей наихудшего исхода x₁ — кривые безразличия наиболее пологи. Переход от пары (A, B) к паре (C, D) в классической схеме Алле реализуется как параллельный перенос отрезка (A, B): обе точки смещаются на 0,89 единицы по оси p₁. Смена предпочтения при таком переносе и есть графическое выражение отсутствия параллельности кривых безразличия.

Эффект fanning out — одно из ключевых отправных положений для построения альтернативных теорий выбора, заменяющих параллельность кривых безразличия параметрическим (как в рангово-зависимой модели Дж. Куиггина) или полностью нелинейным (как в теории перспектив) семейством.

Воспроизводимость

Парадокс Алле многократно наблюдался в эмпирических исследованиях, однако его устойчивость существенно зависит от дизайна эксперимента. Мета-реанализ 81 эксперимента из 29 исследований (П. Блаватский, А. Ортманн, В. Панченко, 2022) характеризует классический эффект общего следствия как «хрупкую» эмпирическую закономерность (англ. fragile empirical finding), частота и сила которой существенно зависят от формата представления лотерей, диапазона параметров и типа стимулов. В частности, при равном разделении вероятностной массы между крайними исходами эффект может систематически менять знак — то есть парадокс реверсируется. Для эффекта общего отношения мета-работа на 39 статьях, 143 экспериментальных дизайнах и около 15 000 наблюдений (П. Блаватский, В. Панченко, А. Ортманн, 2023) показывает, что стандартный вариант эффекта встречается часто, но нередки также случаи его отсутствия и обратного знака; выбор дизайна может заставить эффект появиться, исчезнуть или перемениться.

Ряд современных работ, напротив, отстаивает реальность обоих эффектов как отражения истинных предпочтений, а не экспериментального шума. В итоге корректное обобщение состоит в том, что парадокс воспроизводится систематически, но не повсеместно: его наблюдаемая интенсивность и направление зависят от параметров эксперимента, а утверждения об «абсолютной устойчивости» литературе не соответствуют.

Контекстная чувствительность

Факторы, модулирующие проявление парадокса:

• размер и реальность ставок: картина неоднородна. Работы с реальными, но небольшими выплатами сообщали об ослаблении нарушений ожидаемой полезности: в эксперименте С. Хука и В. Мюллера (2012), проведённом на представительной выборке с реальными ставками, доля нарушений существенно зависела от размера выплат — в подвыборке с самыми низкими реальными ставками она составила лишь несколько процентов, а в задачах с более крупными ставками возрастала до значительной величины. Недавний эксперимент с реальными выплатами порядка 4—5 месячных доходов участников (У. Гнизи, Й. Халеви и соавт., 2024) показал усиление парадокса при по-настоящему больших ставках. Таким образом, общее правило — не «реальные выплаты всегда усиливают эффект», а «результат зависит от сочетания абсолютной величины ставок и чистоты экспериментального дизайна»;
• тип исхода: в экспериментах с потребительскими товарами вместо денежных ставок (Д. Арройос-Кальвера и соавт., 2024) эффект общего отношения заметно ослабевает или исчезает вовсе — что указывает на специфику отношения к риску в денежных шкалах; распространение этого результата на другие формы парадокса требует отдельной проверки;
• сравнительный режим: в задачах с одновременным сравнением лотерей парадокс выражен сильнее, чем в задачах с изолированной оценкой каждой лотереи, — что согласуется с гипотезой о фокусировании внимания на различающихся компонентах;
• обучение: в повторяющихся задачах наблюдается сходимость к выбору, согласованному с ожидаемой полезностью (Г. ван де Кёйлен, П. Ваккер, 2006);
• профессиональная подготовка: у опытных трейдеров (Дж. Лист, М. Хейг, 2005) и испытуемых со специальной подготовкой в области теории решений частота парадоксальных предпочтений снижается, хотя и не падает до нуля.

Парадокс воспроизведён также на немонетарных исходах в области здоровья — в задачах выбора между лечебными процедурами с разными вероятностями благоприятного исхода (А. Оливер, 2003). Отдельная прикладная линия — теоретические модели аукционов первой цены и голландских аукционов, в которых участники предполагаются обладающими предпочтениями не-ожидаемой полезности, в том числе типа Алле; здесь парадокс выступает в роли предпосылки формального моделирования, а не предмета эмпирической репликации на участниках аукционов.

Парадокс Алле и парадокс Эллсберга

Оба парадокса — эмпирические контрпримеры к теории ожидаемой полезности, но указывают на различные её слабости:

• парадокс Алле работает в условиях риска: все вероятности исходов заданы объективно и точно. Нарушается аксиома независимости в её форме для лотерей с известными вероятностями;
• парадокс Эллсберга (Д. Эллсберг, 1961) работает в условиях неопределённости: часть вероятностей задана, часть неизвестна. Нарушается принцип гарантированного результата в субъективной форме: субъекты демонстрируют избегание неопределённости (англ. ambiguity aversion), предпочитая известные вероятности неизвестным даже при равном ожидаемом исходе.

Совместно два парадокса показывают, что единая линейная по вероятностям оценка лотерей недостаточна, а риск и неопределённость требуют раздельного описания в аппарате теории принятия решений.

Альтернативные теории выбора

Парадокс Алле служит ключевым эмпирическим ориентиром для построения моделей не-ожидаемой полезности (англ. non-expected utility) — альтернативных теорий, отказывающихся от линейности по вероятностям или от аксиомы независимости при сохранении остальных нормативных свойств. Обзор основных направлений этой литературы — К. Стармер (2000).

• Теория перспектив (Д. Канеман, А. Тверски, 1979) — нелинейная функция взвешивания вероятностей (переоценка малых вероятностей и недооценка средних) и функция ценности, асимметричная относительно точки отсчёта. Авторы прямо называли парадокс Алле «лучшим известным контрпримером» к теории ожидаемой полезности.
• Рангово-зависимая ожидаемая полезность (Дж. Куиггин, 1982) — вероятности заменяются на кумулятивные веса, зависящие от ранга исхода в упорядочении по полезности.
• Взвешенная ожидаемая полезность (С. Чью, 1983) — обобщение, в котором веса исходов домножаются на нормирующую функцию самих исходов; позволяет описывать парадокс Алле без введения нелинейности по вероятностям в явном виде.
• Дуальная теория (М. Яари, 1987) — «зеркальная» рангово-зависимая модель, в которой линейной остаётся функция полезности, а нелинейность переносится полностью на преобразование распределения вероятностей.
• Кумулятивная теория перспектив (А. Тверски, Д. Канеман, 1992) — синтез теории перспектив и рангово-зависимого подхода, распространённый также на случай субъективных вероятностей.
• Теория разочарования (Ф. Гул, 1991) — полезность лотереи включает премию за минимизацию ожидаемого разочарования, понимаемого как отрицательная реакция на отклонение реализовавшегося исхода от ожидаемого.
• Теория сожаления (Г. Лумс и Р. Сагден, 1982; Д. Белл, 1982) — полезность выбранной альтернативы корректируется на ожидаемое сожаление, вычисляемое через сравнение её исхода с исходом невыбранной альтернативы.
• Теория заметности (англ. salience theory; П. Бордало, Н. Дженнайоли, А. Шлейфер, 2012) — веса исходов в лотерее определяются их контрастом с соответствующими исходами другой сравниваемой лотереи: выделяющиеся («заметные») исходы получают непропорционально большой вес. Модель объясняет парадокс Алле через перераспределение внимания между парами (A, B) и (C, D): в первой паре заметным оказывается 1%-й шанс нулевого исхода в B на фоне гарантированного выигрыша в A, во второй — 10%-й шанс выигрыша 500 млн в D на фоне 11%-го шанса получить 100 млн в C.
• Модели с конфигуральными весами (М. Бирнбаум, 2008) — веса исходов зависят от всей конфигурации лотереи, а не только от вероятности каждого из них по отдельности.

Все перечисленные модели воспроизводят типичные предпочтения в схеме Алле и различаются способом описания других регулярностей выбора, областью обобщения на неопределённость и условиями, при которых они сводятся к классической теории ожидаемой полезности.

Нормативный статус аксиомы независимости

Парадокс Алле породил длительную дискуссию о нормативном статусе аксиомы независимости.

Позиция самого Алле — «мягко-нормативная»: он рассматривал свой парадокс не как простое эмпирическое отклонение от «правильного» выбора, а как аргумент против нормативной обязательности аксиомы независимости. Предпочтение определённости Алле трактовал как проявление психологических комплементарностей, которые в принципе не могут быть схвачены аддитивной оценкой лотереи. В этой позиции Алле близок авторам теории сожаления и теории разочарования, которые видят в нарушениях независимости не ошибку рациональности, а отражение осмысленных структурных свойств предпочтений.

Противоположная позиция — защитно-нормативная: признание эмпирической устойчивости парадокса при сохранении аксиомы независимости как требования рациональности и трактовка наблюдаемых нарушений как когнитивных искажений, подлежащих коррекции в процедурах поддержки принятия решений. В её пользу часто приводят показательный ретроспективный рассказ самого Л. Сэвиджа в «Основаниях статистики» (1954): столкнувшись с задачей Алле, он поначалу дал «парадоксальную» пару ответов, нарушающую его собственный постулат P2, но после размышления перешёл к выбору, согласованному с ожидаемой полезностью. Этот эпизод стал канонической иллюстрацией тезиса о том, что парадокс фиксирует не столько дефект аксиомы, сколько ограничение человеческой интуиции.

В современной литературе примирение двух позиций обычно достигается разведением трёх контуров теории принятия решений — нормативного (теория ожидаемой полезности), дескриптивного (теория перспектив и родственные модели) и прескриптивного (методы поддержки принятия решений).

Значение

Парадокс Алле — один из центральных стимулов раздвоения теории принятия решений на нормативный и дескриптивный контуры и одна из эмпирических опор поведенческой экономики. Его систематическое изучение привело:

• к отказу от единой нормативно-дескриптивной роли теории ожидаемой полезности;
• к разработке аксиоматик моделей не-ожидаемой полезности и их сравнительному анализу;
• к разграничению риска и неопределённости как отдельных классов условий выбора;
• к более тонкому учёту психологических факторов в прикладных моделях — в поведенческих финансах, дизайне аукционов, анализе решений в области здравоохранения.

Классический обзор истории парадокса и современного состояния дискуссии вокруг него — работа Ф. Монжена (2019).

См. также

• Теория принятия решений
• Выбор
• Риск

Литература

• Allais M. Le comportement de l'homme rationnel devant le risque: critique des postulats et axiomes de l'école américaine // Econometrica. — 1953. — Vol. 21, № 4. — P. 503—546.
• Savage L. J. The Foundations of Statistics. — New York: Wiley, 1954.
• Ellsberg D. Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms // Quarterly Journal of Economics. — 1961. — Vol. 75, № 4. — P. 643—669.
• Allais M., Hagen O. (eds.). Expected Utility Hypotheses and the Allais Paradox. — Dordrecht: Reidel, 1979.
• Kahneman D., Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk // Econometrica. — 1979. — Vol. 47, № 2. — P. 263—291.
• Bell D. E. Regret in Decision Making under Uncertainty // Operations Research. — 1982. — Vol. 30, № 5. — P. 961—981.
• Loomes G., Sugden R. Regret Theory: An Alternative Theory of Rational Choice under Uncertainty // The Economic Journal. — 1982. — Vol. 92, № 368. — P. 805—824.
• Machina M. J. "Expected Utility" Analysis without the Independence Axiom // Econometrica. — 1982. — Vol. 50, № 2. — P. 277—323.
• Quiggin J. A Theory of Anticipated Utility // Journal of Economic Behavior & Organization. — 1982. — Vol. 3, № 4. — P. 323—343.
• Chew S. H. A Generalization of the Quasilinear Mean with Applications to the Measurement of Income Inequality and Decision Theory Resolving the Allais Paradox // Econometrica. — 1983. — Vol. 51, № 4. — P. 1065—1092.
• Yaari M. E. The Dual Theory of Choice under Risk // Econometrica. — 1987. — Vol. 55, № 1. — P. 95—115.
• Gul F. A Theory of Disappointment Aversion // Econometrica. — 1991. — Vol. 59, № 3. — P. 667—686.
• Tversky A., Kahneman D. Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation of Uncertainty // Journal of Risk and Uncertainty. — 1992. — Vol. 5, № 4. — P. 297—323.
• Starmer C. Developments in Non-Expected Utility Theory: The Hunt for a Descriptive Theory of Choice under Risk // Journal of Economic Literature. — 2000. — Vol. 38, № 2. — P. 332—382.
• Oliver A. A Quantitative and Qualitative Test of the Allais Paradox Using Health Outcomes // Journal of Economic Psychology. — 2003. — Vol. 24, № 1. — P. 35—48.
• List J. A., Haigh M. S. A Simple Test of Expected Utility Theory Using Professional Traders // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2005. — Vol. 102, № 3. — P. 945—948.
• van de Kuilen G., Wakker P. P. Learning in the Allais Paradox // Journal of Risk and Uncertainty. — 2006. — Vol. 33, № 3. — P. 155—164.
• Birnbaum M. H. New Paradoxes of Risky Decision Making // Psychological Review. — 2008. — Vol. 115, № 2. — P. 463—501.
• Bordalo P., Gennaioli N., Shleifer A. Salience Theory of Choice Under Risk // The Quarterly Journal of Economics. — 2012. — Vol. 127, № 3. — P. 1243—1285.
• Huck S., Müller W. Allais for All: Revisiting the Paradox in a Large Representative Sample // Journal of Risk and Uncertainty. — 2012. — Vol. 44, № 3. — P. 261—293.
• Mongin P. The Allais Paradox: What It Became, What It Really Was, What It Now Suggests to Us // Economics and Philosophy. — 2019. — Vol. 35, № 3. — P. 423—459.
• Incekara-Hafalir E., Kim E., Stecher J. D. Is the Allais Paradox Due to Appeal of Certainty or Aversion to Zero? // Experimental Economics. — 2021. — Vol. 24, № 3. — P. 751—771.
• Blavatskyy P., Ortmann A., Panchenko V. On the Experimental Robustness of the Allais Paradox // American Economic Journal: Microeconomics. — 2022. — Vol. 14, № 1. — P. 143—163.
• Blavatskyy P., Panchenko V., Ortmann A. How Common Is the Common-Ratio Effect? // Experimental Economics. — 2023. — Vol. 26, № 2. — P. 253—272.
• Arroyos-Calvera D., Isoni A., Loomes G., McDonald R. Does the Allais Paradox Survive with Non-Monetary Consequences? // Economics Letters. — 2024. — Vol. 244. — Art. 112034.
• Gneezy U., Halevy Y., Hall B., Offerman T., van de Ven J. How Real is Hypothetical? A High-Stakes Test of the Allais Paradox // Harvard Business School Working Paper. — 2024. — № 25-005.