Wiskundig model
Wiskundig model — een vereenvoudigde abstracte representatie van een reëel object, verschijnsel of proces, waarbij wiskundige middelen worden gebruikt om de wezenlijke kenmerken en wetmatigheden van het functioneren ervan te beschrijven.
Een wiskundig model is het voornaamste instrument van wiskundige modellering en maakt het mogelijk het gedrag van bestudeerde systemen te analyseren, hun ontwikkeling te voorspellen en genomen beslissingen te onderbouwen.
Basiskenmerken
Een typisch wiskundig model bestaat uit de volgende elementen:
- Object van modellering: Het reële systeem, proces of verschijnsel dat bestudeerd dient te worden.
- Variabelen: Grootheden die de toestand van het object en de veranderingen daarin beschrijven (bijvoorbeeld invoerinvloeden, uitvoerreacties, interne toestanden). Ze kunnen afhankelijk of onafhankelijk zijn.
- Parameters: Grootheden die doorgaans als constant worden beschouwd voor het gegeven model en die de specifieke eigenschappen van het object of systeem bepalen (bijvoorbeeld massa, wrijvingscoëfficiënt, rentevoet, geometrische afmetingen).
- Wiskundige betrekkingen (Structuur): Vergelijkingen (algebraïsch, differentiaal, differentie- en andere), ongelijkheden, logische regels of algoritmen die de verbanden tussen variabelen en parameters beschrijven, alsmede de functioneringswetten van het object.
Aan wiskundige modellen worden eisen gesteld die hun kwaliteit en bruikbaarheid bepalen:
- Adequaatheid: Het vermogen van het model om de interessante eigenschappen van het reële object voldoende nauwkeurig weer te geven binnen het kader van de gestelde taak en de gemaakte aannames. Adequaatheid is altijd relatief en wordt gecontroleerd via validatie.
- Nauwkeurigheid: De mate van kwantitatieve overeenkomst tussen modelleringsresultaten en werkelijke gegevens.
- Eenvoud (Zuinigheid, Parsimony): Het model moet zo eenvoudig mogelijk zijn om het modelleringsdoel te bereiken, waarbij onnodige complexiteit vermeden wordt.
- Robuustheid (Stabiliteit): Geringe gevoeligheid van de modelleringsresultaten voor kleine veranderingen in invoergegevens en parameters.
- Efficiëntie: De mogelijkheid om het model (analytisch, numeriek of simulatief) te onderzoeken met aanvaardbare inzet van reken- en tijdsmiddelen.
- Correctheid (wiskundig): Voor bepaalde klassen modellen is het van belang dat het wiskundige vraagstuk een oplossing heeft, en liefst een unieke, onder de gegeven voorwaarden.
- Interpreteerbaarheid: De mogelijkheid om de structuur van het model en de resultaten ervan op begrijpelijke wijze te verklaren in termen van het vakgebied.
Soorten wiskundige modellen
Wiskundige modellen worden naar verschillende grondslagen geclassificeerd:
Naar het karakter van de variabelen:
- Deterministisch — zonder toevalsfactoren;
- Stochastisch — met inachtneming van toevallige verstoringen.
Naar de beschrijvingswijze:
- Analytisch — stelsels vergelijkingen (differentiaal, algebraïsch en andere);
- Numeriek — vereisen de toepassing van computationele methoden om een oplossing te verkrijgen.
- Simulatief — modellen gebaseerd op algoritmen die het gedrag van het object reproduceren.
Naar de ruimtelijk-temporele schaal:
- Geconcentreerde systemen — eigenschappen hangen uitsluitend af van de tijd;
- Gedistribueerde systemen — eigenschappen hangen af van ruimtelijke coördinaten en de tijd.
Naar de lineariteit van de wiskundige betrekkingen:
- Lineair: Beschreven door lineaire vergelijkingen.
- Niet-lineair: Bevatten niet-lineaire verbanden tussen variabelen.
Opbouw en Verificatie van het Model
Een wiskundig model ontstaat niet vanzelf, maar is het resultaat van een proces van wiskundige modellering. De belangrijkste stappen van dit proces omvatten:
- Probleemstelling: Bepaling van de doelen en het object van modellering.
- Conceptualisatie: Identificatie van de wezenlijke factoren, variabelen, parameters en verbanden.
- Formalisatie: Vastlegging van het model in wiskundige taal.
- Parameteridentificatie: Bepaling van de parameterwaarden (kalibratie) op basis van gegevens.
- Modelanalyse: Oplossen van vergelijkingen, onderzoek naar eigenschappen.
- Validatie: Controle van de overeenstemming van het model met werkelijke gegevens die niet bij de opbouw zijn gebruikt.
Het is belangrijk te begrijpen dat een model dat de validatie niet heeft doorstaan, een beperkt voorspellend vermogen en beperkte praktische waarde heeft.
Beperkingen van Wiskundige Modellen
Bij het gebruik van wiskundige modellen is het belangrijk rekening te houden met hun inherente beperkingen:
- Vereenvoudiging: Elk model laat bepaalde details en aspecten van de werkelijke wereld weg.
- Aannames: Het model is slechts in die mate correct als de bij de opbouw gemaakte aannames geldig zijn.
- Toepassingsgebied: Het model is alleen adequaat voor een bepaald bereik van omstandigheden, parameters en vraagstukken.
- Fout: Modelleringsresultaten bevatten altijd een zekere fout (modelfout).
Relatie met Andere Begrippen
- Wiskundige modellering: Het wiskundig model is het voornaamste instrument en resultaat van het proces van wiskundige modellering.
- Systeemmodel: Een wiskundig model is een geformaliseerde representatie van een systeemmodel met behulp van wiskunde.
- Formalisatie: Het bouwen van een wiskundig model is een formalisatieproces van kennis en hypothesen over het object.