Walds kriterium

Walds kriterium — en av de grundläggande metoderna för beslutsfattande under osäkerhet. Den bygger på principen om extrem pessimism och syftar till att välja den strategi som ger det bästa resultatet i det sämsta möjliga scenariot.

Kriteriets innebörd

Kriteriet förutsätter att beslutsfattaren orienterar sig mot det mest ogynnsamma utfallet för varje strategi. För varje alternativ bestäms dess sämsta möjliga resultat. Av alla strategier väljs den vars sämsta resultat är det bästa bland samtliga.

Med andra ord syftar Walds kriterium till att minimera de maximala förlusterna och ger det starkaste skyddet mot ogynnsamma förhållanden.

Tillämpning av kriteriet

Tillämpningsprocessen omfattar följande steg:

1. För varje strategi bestäms det sämsta möjliga resultatet.
2. De sämsta resultaten för alla strategier jämförs.
3. Den strategi väljs som har det bästa av de sämsta utfallen.

Detta tillvägagångssätt är typiskt för ytterst försiktiga beslutsfattare som strävar efter att minimera risker oberoende av sannolikheten för olika utfall.

Matematisk formulering

Låt följande vara givna:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — mängden av tillgängliga strategier (alternativ) som beslutsfattaren (BF) väljer bland.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — mängden av möjliga naturtillstånd (yttre förhållanden, scenarier) som är oberoende av BF:s val.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — vinstfunktionen (nyttofunktionen), som utgör en numerisk bedömning av resultatet vid val av strategi $s_i\in S$ och inträffande av naturtillstånd ${\theta }_j\in \Theta$. Den representeras ofta i form av en utbetalningsmatris $A=[a_{ij}]$, där $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Walds kriterium (eller maximin-kriteriet) föreskriver följande tillvägagångssätt:

1. Bestämning av minsta vinst för varje strategi: För varje strategi $s_i$ bestäms dess sämsta möjliga utfall (minsta vinst) över alla möjliga naturtillstånd:

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

1. Val av strategi med den maximala av de minimala vinsterna: Den strategi $s_{\text{Wald}}^{\ast }$ väljs som ger det största värdet bland de funna minimala vinsterna:

   $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

Den garanterade (minimala) vinstnivån vid användning av Walds kriterium är: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

Således realiserar Walds kriterium principen om maximin — maximering av den minimala vinsten. Det är inriktat på ett pessimistiskt synsätt och förutsätter att oavsett vilket beslut som fattas, kommer naturen att svara på det för BF minst gynnsamma sättet.

Anmärkning om förlustfunktionen

Om man i stället för vinstfunktionen $u(s_i,{\theta }_j)$ använder förlustfunktionen $L(s_i,{\theta }_j)$, som ska minimeras, omvandlas Walds kriterium till minimax-förlustkriteriет:

1. För varje strategi $s_i$ bestäms det maximala förlustvärdet: $L_i^{max}=\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta )$
2. Den strategi väljs som minimerar dessa maximala förluster: $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta ))$

Fördelar och nackdelar

Fördelar:

• Metodens enkelhet och tydlighet.
• Hög grad av beslutssäkerhet under förhållanden med fullständig osäkerhet.

Nackdelar:

• Överdrivet pessimism: möjliga höga vinster ignoreras till förmån för minimering av förluster.
• Kan leda till val av alltför konservativa strategier.