Wald Kriteri

Wald Kriteri — belirsizlik koşullarında karar vermenin temel yöntemlerinden biridir. Aşırı kötümserlik ilkesine dayanır ve en kötü olası senaryoda en iyi sonucu sağlayan stratejinin seçilmesini hedefler.

Kriterin özü

Kriter, karar vericinin her strateji için en olumsuz sonucu esas almasını öngörür. Her alternatif için mümkün olan en kötü sonuç belirlenir. Tüm stratejiler arasından bu en kötü sonucun — diğerlerine kıyasla en iyi olduğu strateji seçilir.

Başka bir deyişle, Wald kriteri maksimum kayıpları en aza indirmeye yöneliktir ve olumsuz koşullara karşı en yüksek güvenceyi sağlar.

Kriterin uygulanması

Uygulama süreci aşağıdaki adımları içerir:

1. Her strateji için mümkün olan en kötü sonuç belirlenir.
2. Tüm stratejilerin en kötü sonuçları karşılaştırılır.
3. En kötü sonuçlar arasında en iyi olana sahip strateji seçilir.

Bu yaklaşım, çeşitli sonuçların gerçekleşme olasılığından bağımsız olarak riskleri en aza indirmeye çalışan son derece temkinli karar vericiler için karakteristiktir.

Matematiksel formülasyon

Şunlar verilmiş olsun:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — karar vericinin (KV) tercih yaptığı mevcut stratejiler (alternatifler) kümesi.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — KV'nin seçiminden bağımsız olan olası doğa durumları (dış koşullar, senaryolar) kümesi.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — $s_i\in S$ stratejisinin seçilmesi ve ${\theta }_j\in \Theta$ doğa durumunun gerçekleşmesi halinde elde edilen sonucun sayısal değerlendirmesini temsil eden kazanç (fayda) fonksiyonu. Genellikle $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$ olmak üzere $A=[a_{ij}]$ ödeme matrisi biçiminde gösterilir.

Wald kriteri (veya maksimin kriteri) aşağıdaki işlem sırasını öngörür:

1. Her strateji için minimum kazancın bulunması: Her $s_i$ stratejisi için, tüm olası doğa durumları üzerinden en kötü olası sonuç (minimum kazanç) belirlenir:

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

1. Minimum kazançlar arasından en büyüğüne sahip stratejinin seçilmesi: Bulunan minimum kazançlar arasında en yüksek değeri sağlayan $s_{\text{Wald}}^{\ast }$ stratejisi seçilir:

   $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

Wald kriteri kullanıldığında garanti edilen (minimum) kazanç düzeyi şöyle ifade edilir: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

Böylece, Wald kriteri maksimin ilkesini — minimum kazancın maksimize edilmesini — hayata geçirir. Kötümser bir bakış açısına dayanır; hangi karar alınırsa alınsın, doğanın KV için en az elverişli biçimde yanıt vereceğini varsayar.

Kayıp fonksiyonuna ilişkin not

Kazanç fonksiyonu $u(s_i,{\theta }_j)$ yerine minimize edilmesi gereken bir kayıp fonksiyonu $L(s_i,{\theta }_j)$ kullanılıyorsa, Wald kriteri minimax kayıp kriterine dönüşür:

1. Her $s_i$ stratejisi için maksimum kayıp değeri bulunur: $L_i^{max}=\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta )$
2. Bu maksimum kayıpları minimize eden strateji seçilir: $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta ))$

Avantajlar ve dezavantajlar

Avantajlar:

• Yöntemin basitliği ve netliği.
• Tam belirsizlik koşullarında kararlara yüksek düzeyde güvenlik sağlanması.

Dezavantajlar:

• Aşırı kötümserlik: olası yüksek kazançlar, kayıpları en aza indirmek adına göz ardı edilir.
• Aşırı muhafazakâr stratejilerin seçilmesine yol açabilir.