Wald-kritérium

Wald-kritérium — a bizonytalanság melletti döntéshozatal egyik alapvető módszere. A szélsőséges pesszimizmus elvén alapul, és olyan stratégia kiválasztására irányul, amely a lehető legrosszabb forgatókönyvben is a legjobb eredményt biztosítja.

A kritérium lényege

A kritérium feltételezi, hogy a döntéshozó minden egyes stratégia esetén a legkedvezőtlenebb kimenetből indul ki. Minden alternatívára meghatározásra kerül a legrosszabb lehetséges eredmény. Az összes stratégia közül azt választják ki, amelynél ez a legrosszabb eredmény a legjobb az összes többi közül.

Más szóval, a Wald-kritérium a maximális veszteségek minimalizálására irányul, és a legmagasabb fokú védelmet nyújtja a kedvezőtlen körülményekkel szemben.

A kritérium alkalmazása

Az alkalmazási folyamat a következő lépéseket foglalja magában:

1. Minden egyes stratégiára meghatározzák a legrosszabb lehetséges eredményt.
2. Összehasonlítják az összes stratégia legrosszabb eredményeit.
3. Kiválasztják azt a stratégiát, amelynek a legrosszabb kimenetele a legjobb.

Ez a megközelítés rendkívül óvatos döntéshozókra jellemző, akik a különböző kimenetek bekövetkezési valószínűségétől függetlenül törekednek a kockázatok minimalizálására.

Matematikai megfogalmazás

Adottak legyenek:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — a rendelkezésre álló stratégiák (alternatívák) halmaza, amelyekből a döntéshozó (DH) választ.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — a természet lehetséges állapotainak halmaza (külső feltételek, forgatókönyvek), amelyek nem függnek a DH választásától.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — a nyereség (hasznosság) függvénye, amely számszerűen értékeli az eredményt a $s_i\in S$ stratégia választása és a ${\theta }_j\in \Theta$ természeti állapot bekövetkezése esetén. Gyakran kifizetési mátrix formájában adják meg: $A=[a_{ij}]$, ahol $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

A Wald-kritérium (más néven maximinális kritérium) a következő eljárást írja elő:

1. Minimális nyereség meghatározása minden stratégiához: Minden $s_i$ stratégiára meghatározzák a legrosszabb lehetséges kimenetelt (minimális nyereséget) az összes lehetséges természeti állapotra vonatkozóan:

   $u_i^{min}=\underset{j=1,\dots ,n}{min}u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \Theta }{min}u(s_i,\theta )$

1. A minimális nyereségek közül a maximálissal rendelkező stratégia kiválasztása: Kiválasztják azt a $s_{\text{Wald}}^{\ast }$ stratégiát, amely a meghatározott minimális nyereségek között a legnagyobb értéket biztosítja:

   $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\arg \underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

A Wald-kritérium alkalmazásakor a garantált (minimális) nyereségszint egyenlő: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{max}(u_i^{min})=\underset{s_i\in S}{max}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{min}u(s_i,{\theta }_j))$

Így a Wald-kritérium a maximin elvét valósítja meg — a minimális nyereség maximalizálását. Pesszimista szemléleten alapul, feltételezve, hogy bármilyen döntést is hoznak, a természet a DH számára legkedvezőtlenebb módon válaszol.

Megjegyzés a veszteségfüggvényről

Ha a $u(s_i,{\theta }_j)$ nyereségfüggvény helyett a minimalizálandó $L(s_i,{\theta }_j)$ veszteségfüggvényt alkalmazzák, a Wald-kritérium minimaxos veszteségkritériummá alakul:

1. Minden $s_i$ stratégiára meghatározzák a veszteségek maximális értékét: $L_i^{max}=\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta )$
2. Kiválasztják azt a stratégiát, amely minimalizálja ezeket a maximális veszteségeket: $s_{\text{Wald}}^{\ast }=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{\theta \in \Theta }{max}L(s_i,\theta ))$

Előnyök és hátrányok

Előnyök:

• A módszer egyszerűsége és áttekinthetősége.
• Magas fokú döntésbiztonsági szint biztosítása teljes bizonytalanság esetén.

Hátrányok:

• Túlzott pesszimizmus: a lehetséges magas nyereségeket figyelmen kívül hagyják a veszteségek minimalizálása érdekében.
• Túlságosan konzervatív stratégiák kiválasztásához vezethet.