Utility theory — תורת התועלת

תורת התועלת — היא כיוון בתורת קבלת ההחלטות העוסק בביטוי כמותי של העדפות מקבל ההחלטות (מ"ה), במטרה לזהות את החלופות הטובות ביותר בתנאי ודאות, אי-ודאות או סיכון. היא מבוססת על בניית פונקציה מספרית, הנקראת פונקציית תועלת, המשקפת את הערך הסובייקטיבי של התוצאות האפשריות של הבחירה.

מאפיין כללי

תורת התועלת נשענת על מושג הבחירה הרציונלית, שבה מ"ה שואף למקסם את התועלת הסובייקטיבית של התוצאה. פונקציה זו יכולה להיות:

• פונקציית ערך — בתנאי ודאות מלאה;
• פונקציית תועלת — בתנאי אי-ודאות הסתברותית.

לכל חלופה מיוחס ערך מספרי המשקף את רצויותה היחסית עבור מ"ה. השוואת ערכי הפונקציה מאפשרת לסדר את האפשרויות ולבחור את המועדפת ביותר.

גישה אקסיומטית

פונקציית התועלת מוגדרת על בסיס מערכת אקסיומות המשקפות דרישות להתנהגות רציונלית. האקסיומטיקה הקלאסית כוללת:

• אקסיומת השוואה מלאה — כל שני מצבים ניתן להשוות;
• אקסיומת הטרנזיטיביות — ההעדפות בין המצבים עקביות לוגית;
• אקסיומת הרציפות — בין כל שני מצבים קיימת הגרלה השקולה לשלישי;
• אקסיומת הבלתי-תלות — ההעדפה בין מצבים נשמרת בעת שילובם בהגרלות מורכבות​.

קיום תנאים אלה מאפשר לבנות פונקציית תועלת מספרית, אינווריאנטית לתמורות לינאריות, כלומר ניתנת לשימוש בסקלת רווחים​.

סוגי פונקציות תועלת

1. פונקציית תועלת לינארית

הצורה הלינארית משמשת כאשר:

• התוצאות מבוטאות בסקלה מספרית אחת (למשל, ערכים כספיים),
• להעדפות מ"ה יש תועלת שולית קבועה,
• אין אינטראקציה בין המאפיינים הקריטריאליים.

2. פונקציות תועלת קמורות וקעורות

• פונקציה קעורה משקפת שנאת סיכון (risk aversion): התועלת עולה עם גידול הערכים, אך עם תשואה פוחתת.

• פונקציה קמורה — סימן לנטייה לסיכון (risk seeking): מ"ה מעדיף חלופות בעלות פוטנציאל רב יותר לזכייה, אך פחות מהימנות.

צורת פונקציית התועלת מאפשרת לקחת בחשבון את יחסו של מ"ה לאי-ודאות בעת הבחירה בין חלופות מהימנות ומסוכנות.

3. פונקציית תועלת מדורגת (דיסקרטית)

משמשת כאשר העדפות מבוטאות בסקלות איכותיות או במצבים עם מספר מוגבל של תוצאות דיסקרטיות (למשל, אישור/דחייה, רמות איכות). בפונקציה כזו לכל חלופה מיוחס ערך תועלת קבוע ללא התחשבות בגרדציות ביניים. פונקציות מדורגות משמשות בשיטות מילוליות, מערכות מומחים ובמודלים לוגיים-לשוניים של בחירה.

4. פונקציית תועלת אדיטיבית (MAUT)

משמשת במשימות בחירה רב-קריטריאלית, כאשר ההעדפות לפי כל קריטריון הן בלתי-תלויות. התועלת הכוללת מיוצגת כסכום התועלות החלקיות לפי כל קריטריון, מוכפלות במקדמי משקל.

5. פונקציית תועלת מולטיפליקטיבית

משמשת כאשר בין הקריטריונים קיימות אינטראקציות (למשל, קריטריון אחד מגביר או מחליש את משמעות האחר).

6. פונקציות תועלת במרחבים הסתברותיים

מיושמות במשימות קבלת החלטות בתנאי סיכון. לכל תוצאה מיוחס לא רק ערך התוצאה, אלא גם הסתברות התרחשותה. פונקציית התועלת משמשת לחישוב התועלת הצפויה — התוחלת המתמטית של הערך הסובייקטיבי של התוצאה.

תורת התועלת החד-ממדית והרב-ממדית

במודל החד-ממדי התועלת נקבעת לכל חלופה בכללותה.

במודל הרב-ממדי (MAUT — Multi-Attribute Utility Theory) נלקחות בחשבון הערכות חלקיות לפי מספר קריטריונים. התועלת הכוללת נוצרת על בסיס:

• מודל אדיטיבי, אם ההעדפות לפי הקריטריונים בלתי-תלויות;
• מודל מולטיפליקטיבי, אם קיימת אינטראקציה בין הקריטריונים​.

דוגמה: תועלת ההחלטה יכולה לתלות בו-זמנית בזמן, עלות וסיכון; במקרה כזה מוערכות פונקציות תועלת חלקיות ומקדמי משקל לכל קריטריון.

תועלת סובייקטיבית ואובייקטיבית

תורת התועלת מבחינה בין:

• הסתברויות אובייקטיביות (למשל, מנתונים סטטיסטיים),
• הסתברויות סובייקטיביות, הנקבעות על ידי מ"ה עצמו.

התועלת הסובייקטיבית מתחשבת באמונתו האישית של מ"ה בדבר התרחשות אירועים ובהעדפותיו, מה שמאפשר להשתמש בתורה במשימות מעשיות שבהן אין מידע מלא​.

תורת הפרוספקטים וביקורת האקסיומטיקה

בפועל נמצא כי התנהגות מ"ה אינה תמיד עולה בקנה אחד עם האקסיומטיקה הקלאסית. זוהו פרדוקסים (למשל, פרדוקס Allais), המדגימים סטייה מהרציונליות המשוערת.

בתגובה למגבלות אלה פותחה תורת הפרוספקטים (D. Kahneman ו-A. Tversky), הלוקחת בחשבון:

• אי-סימטריה בתפיסת רווחים והפסדים;
• הגזמה במשמעות תוצאות מסוימות;
• הערכה לא-לינארית של הסתברויות ותוצאות​.

שיטת הערכת פונקציית התועלת

אחת השיטות היא שיטת המשחק הסטנדרטי. מ"ה משווה חלופה דטרמיניסטית עם הגרלה בין התוצאה הטובה ביותר לגרועה ביותר, כדי לקבוע את נקודת האדישות. זה מאפשר לחשב את ערך פונקציית התועלת של החלופה על בסיס ההסתברות הסובייקטיבית של אותה הגרלה​.