Teoria użyteczności

Teoria użyteczności — to kierunek w teorii podejmowania decyzji, który bada ilościowe wyrażenie preferencji osoby podejmującej decyzję (OPD), w celu wyłonienia najlepszych alternatyw w warunkach pewności, niepewności lub ryzyka. Opiera się ona na konstruowaniu funkcji liczbowej, zwanej funkcją użyteczności, która odzwierciedla subiektywną wartość możliwych wyników wyboru.

Ogólna charakterystyka

Teoria użyteczności opiera się na koncepcji racjonalnego wyboru, w którym OPD dąży do maksymalizacji subiektywnej użyteczności rezultatu. Funkcja ta może być:

• funkcją wartości — w warunkach pełnej pewności;
• funkcją użyteczności — w warunkach niepewności probabilistycznej.

Każdej alternatywie przypisuje się wartość liczbową odzwierciedlającą jej względną pożądalność dla OPD. Porównanie wartości funkcji pozwala uporządkować warianty i wybrać najbardziej preferowany.

Podejście aksjomatyczne

Funkcja użyteczności jest wprowadzana na podstawie systemu aksjomatów odzwierciedlających wymagania dotyczące racjonalnego zachowania. Klasyczna aksjomatyka obejmuje:

• aksjomat pełnej porównywalności — dowolne dwa warianty można porównać;
• aksjomat przechodniości — preferencje między wariantami są logicznie spójne;
• aksjomat ciągłości — między dowolnymi dwoma wariantami istnieje loteria równoważna trzeciemu;
• aksjomat niezależności — preferencja między wariantami zachowuje się przy włączeniu ich do złożonych loterii.

Spełnienie tych warunków pozwala skonstruować liczbową funkcję użyteczności, niezmienniczą względem przekształceń liniowych, co oznacza możliwość jej stosowania w skali interwałowej.

Rodzaje funkcji użyteczności

1. Liniowa funkcja użyteczności

Forma liniowa jest stosowana, gdy:

• wyniki są wyrażone w jednej skali liczbowej (np. wartości pieniężne),
• preferencje OPD cechuje stała użyteczność krańcowa,
• brak jest interakcji między charakterystykami kryterialnych.

2. Wypukła i wklęsła funkcja użyteczności

• Funkcja wklęsła odzwierciedla niechęć do ryzyka (awersja do ryzyka): użyteczność rośnie wraz ze wzrostem wartości, lecz z malejącym przyrostem.

• Funkcja wypukła — cecha skłonności do ryzyka (preferencja ryzyka): OPD preferuje warianty potencjalnie bardziej zyskowne, lecz mniej pewne.

Kształt funkcji użyteczności umożliwia uwzględnienie stosunku OPD do niepewności przy wyborze między alternatywami pewnymi i ryzykownymi.

3. Schodkowa (dyskretna) funkcja użyteczności

Stosowana, gdy preferencje wyrażone są w skalach jakościowych lub w sytuacjach z ograniczoną liczbą dyskretnych wyników (np. zatwierdzenie/odrzucenie, poziomy jakości). W takiej funkcji każdej alternatywie przypisuje się stałą wartość użyteczności bez uwzględnienia pośrednich gradacji. Funkcje schodkowe stosowane są w metodach werbalnych, systemach eksperckich i logiczno-lingwistycznych modelach wyboru.

4. Addytywna funkcja użyteczności (MAUT)

Stosowana w zadaniach wyboru wielokryterialnego, gdy preferencje według każdego kryterium są niezależne. Łączna użyteczność przedstawiana jest w postaci sumy cząstkowych użyteczności według każdego kryterium pomnożonych przez współczynniki wagowe.

5. Multiplikatywna funkcja użyteczności

Stosowana, gdy między kryteriami zachodzą interakcje (np. jedno kryterium wzmacnia lub osłabia znaczenie drugiego).

6. Funkcje użyteczności na przestrzeniach probabilistycznych

Stosowane w zadaniach podejmowania decyzji w warunkach ryzyka. Każdemu wynikowi przypisuje się nie tylko wartość rezultatu, lecz także prawdopodobieństwo jego wystąpienia. Funkcja użyteczności służy do obliczania oczekiwanej użyteczności — wartości oczekiwanej subiektywnej wartości rezultatu.

Teoria użyteczności jednowymiarowej i wielowymiarowej

W modelu jednowymiarowym użyteczność wyznaczana jest dla każdego wariantu jako całości.

W modelu wielowymiarowym (MAUT — Multi-Attribute Utility Theory) uwzględniane są cząstkowe oceny według kilku kryteriów. Łączna użyteczność formowana jest na podstawie:

• modelu addytywnego, jeśli preferencje według kryteriów są niezależne;
• modelu multiplikatywnego, jeśli zachodzą interakcje między kryteriami.

Przykład: użyteczność decyzji może zależeć jednocześnie od czasu, kosztu i ryzyka; w takim przypadku szacowane są funkcje użyteczności cząstkowej i współczynniki wagowe dla każdego kryterium.

Użyteczność subiektywna i obiektywna

Teoria użyteczności rozróżnia:

• prawdopodobieństwa obiektywne (np. ze statystyki),
• prawdopodobieństwa subiektywne, określane przez samą OPD.

Użyteczność subiektywna uwzględnia osobiste przekonanie o wystąpieniu zdarzeń oraz preferencje, co pozwala stosować teorię w rzeczywistych zadaniach, gdzie brakuje pełnej informacji.

Teoria perspektyw i krytyka aksjomatyki

W praktyce ustalono, że zachowanie OPD nie zawsze mieści się w ramach klasycznej aksjomatyki. Odkryto paradoksy (np. paradoks Allaisa) demonstrujące odchylenie od zakładanej racjonalności.

W odpowiedzi na te ograniczenia opracowana została teoria perspektyw (D. Kahneman i A. Tversky), w której uwzględniane są:

• asymetria percepcji zysków i strat;
• przecenianie znaczenia pewnych wyników;
• nieliniowa ocena prawdopodobieństw i konsekwencji.

Metoda oceny funkcji użyteczności

Jedną z metod jest metoda standardowej gry (standard gamble). OPD porównuje wariant deterministyczny z loterią między najlepszym a najgorszym wynikiem, aby wyznaczyć punkt obojętności. Pozwala to obliczyć wartość funkcji użyteczności wariantu na podstawie subiektywnego prawdopodobieństwa tej loterii.