Stochastic programming — स्टोकैस्टिक प्रोग्रामिंग

स्टोकैस्टिक प्रोग्रामिंग (अंग्रेज़ी: stochastic programming) — गणितीय प्रोग्रामिंग की वह शाखा है जो अनिश्चितता की स्थितियों में अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए मॉडल और विधियाँ विकसित करती है, जब मॉडल के कुछ पैरामीटर ठीक-ठीक ज्ञात नहीं होते, बल्कि उन्हें ज्ञात या अनुमानित प्रायिकता वितरण वाले यादृच्छिक चर के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

निर्धारणवादी (deterministic) समस्याओं के विपरीत, जहाँ सभी डेटा को स्थिर स्थिरांक माना जाता है, स्टोकैस्टिक प्रोग्रामिंग का उद्देश्य ऐसा हल (या निर्णय नीति) खोजना है जो किसी सांख्यिकीय अर्थ में इष्टतम हो। प्रायः इसका अर्थ उद्देश्य फलन की प्रत्याशा (mathematical expectation) का न्यूनीकरण या अधिकतमीकरण होता है। मूल विचार यह है कि ऐसी निर्णय नीति खोजी जाए जो यादृच्छिक पैरामीटरों की सभी संभावित प्राप्तियों के सापेक्ष «औसतन» सर्वश्रेष्ठ हो, जो विशेष रूप से उन समस्याओं के लिए प्रासंगिक है जहाँ निर्णय समान परिस्थितियों में बार-बार लिए जाते हैं (उदाहरणार्थ, भंडार प्रबंधन या ऊर्जा प्रणालियों में)।

समस्या का गणितीय सूत्रीकरण

सामान्य रूप में स्टोकैस्टिक प्रोग्रामिंग की समस्या को इस प्रकार सूत्रबद्ध किया जा सकता है: $\underset{x\in X}{min}𝔼[f(x,\xi )]$ जहाँ:

• $x$ — नियंत्रण चरों (निर्णयों) का सदिश, जिसे निर्धारित करना आवश्यक है।
• $X$ — $x$ के लिए स्वीकार्य हलों का समुच्चय, जो निर्धारणवादी प्रतिबंधों द्वारा परिभाषित है।
• $\xi$ — यादृच्छिक सदिश, जो समस्या के अनिश्चित पैरामीटरों (जैसे माँग, मूल्य, मौसम की स्थिति) को दर्शाता है।
• $f(x,\xi )$ — उद्देश्य फलन, जिसका मान लिए गए निर्णय $x$ और यादृच्छिक सदिश $\xi$ की प्राप्ति दोनों पर निर्भर करता है।
• $𝔼[\cdot ]$ — प्रत्याशा संकारक (mathematical expectation operator), जो सदिश $\xi$ के प्रायिकता वितरण के सापेक्ष परिकलित होता है।

बहु-चरणीय स्टोकैस्टिक मॉडलों के आधार पर स्थित सबसे महत्त्वपूर्ण सिद्धांत अप्रत्याशिता का सिद्धांत (अंग्रेज़ी: non-anticipativity principle) है। यह सिद्धांत कहता है कि किसी भी चरण में लिए जाने वाले निर्णय केवल उस क्षण तक उपलब्ध सूचना पर निर्भर हो सकते हैं और वे «भविष्य में नहीं झाँक» सकते।

दो-चरणीय प्रतिपूरक समस्या

सबसे प्रचलित मॉडल दो-चरणीय प्रतिपूरक समस्या (अंग्रेज़ी: two-stage stochastic program with recourse) है। निर्णय लेने की प्रक्रिया दो चरणों में विभाजित होती है:

1. प्रथम चरण: «यहाँ और अभी» (here-and-now) निर्णय लिया जाता है — सदिश $x$ निर्धारित किया जाता है। यह निर्णय यादृच्छिक सदिश $\xi$ की विशिष्ट प्राप्ति ज्ञात होने से पहले लिया जाना चाहिए।
2. द्वितीय चरण: यादृच्छिक घटना घटित होने के बाद, एक सुधारात्मक या प्रतिपूरक निर्णय (recourse decision) — सदिश $y(\xi )$ — लिया जाता है, जो प्रथम चरण के निर्णय $x$ और परिणाम $\xi$ के संयोजन से उत्पन्न नकारात्मक परिणामों को न्यूनतम करने या अनुकूल अवसरों का उपयोग करने के उद्देश्य से होता है।

गणितीय रूप से दो-चरणीय स्टोकैस्टिक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को निम्न प्रकार सूत्रबद्ध किया जाता है: $\underset{x\in {ℝ}^{n_1}}{min}\{c^{T}x+{𝔼}_{\xi }[Q(x,\xi )]\}$ प्रथम चरण के प्रतिबंधों के साथ: $Ax=b,x\ge 0$। यहाँ $Q(x,\xi )$ — प्रतिपूरक फलन (recourse function) है, जो द्वितीय चरण की समस्या का इष्टतम मान दर्शाता है: $Q(x,\xi )=\underset{y\in {ℝ}^{n_2}}{min}\{q(\xi {)}^{T}y\mid T(\xi )x+Wy=h(\xi ),y\ge 0\}$ जहाँ $\xi$ — यादृच्छिक सदिश है जिसमें पैरामीटर $q(\xi ),T(\xi )$ और $h(\xi )$ शामिल हैं; तथा $c,A,b$ और $W$ — निर्धारणवादी पैरामीटर हैं।

प्रमुख गुण और प्रमेय

• उत्तलता (Convexity): सिद्धांत के मूलभूत परिणामों में से एक यह है कि दो-चरणीय स्टोकैस्टिक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए प्रत्याशित प्रतिपूरक फलन $Q(x)={𝔼}_{\xi }[Q(x,\xi )]$ एक उत्तल फलन है। यह गुण अत्यंत महत्त्वपूर्ण है क्योंकि यह सुनिश्चित करता है कि प्रथम चरण की समग्र समस्या उत्तल प्रोग्रामिंग की समस्या है, जिसके लिए कुशल हल विधियाँ उपलब्ध हैं और वैश्विक इष्टतम स्थानीय इष्टतम के साथ संपाती होता है।
• निर्धारणवादी तुल्यक (Deterministic Equivalent): यदि यादृच्छिक सदिश $\xi$ में परिमित संख्या में संभावित प्राप्तियाँ (परिदृश्य) ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_K$ प्रायिकताओं $p_1,\dots ,p_K$ के साथ हों, तो स्टोकैस्टिक प्रोग्रामिंग समस्या को एक बड़ी निर्धारणवादी अनुकूलन समस्या के रूप में पुनः सूत्रबद्ध किया जा सकता है। इस स्थिति में प्रत्याशा को सभी परिदृश्यों पर भारित योग से प्रतिस्थापित किया जाता है। परंतु इस समस्या का आकार परिदृश्यों की संख्या के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है, जिससे «आयाम का अभिशाप» (curse of dimensionality) उत्पन्न होता है और परिदृश्यों की बड़ी संख्या के लिए यह दृष्टिकोण संगणनात्मक रूप से अव्यवहार्य हो जाता है।

रोबस्ट अनुकूलन से तुलना

स्टोकैस्टिक प्रोग्रामिंग अनिश्चितता की स्थितियों में अनुकूलन के कई दृष्टिकोणों में से एक है। रोबस्ट अनुकूलन (robust optimization) से इसका मुख्य अंतर अनिश्चितता के मॉडलीकरण की विधि और इष्टतमता के मापदंड में निहित है।

अनिश्चितता की स्थितियों में अनुकूलन दृष्टिकोणों की तुलना

मापदंड	स्टोकैस्टिक अनुकूलन	रोबस्ट अनुकूलन
अनिश्चितता का निरूपण	पैरामीटर — ज्ञात प्रायिकता वितरण वाले यादृच्छिक चर	पैरामीटर एक निर्धारित अनिश्चितता समुच्चय से संबंधित हैं, वितरण की आवश्यकता नहीं
इष्टतमता का मापदंड	उद्देश्य फलन की प्रत्याशा का अनुकूलन	निकृष्टतम परिदृश्य (minimax) में अनुकूलन
हल की प्रकृति	«औसतन» इष्टतम नीति, जो दुर्लभ परिदृश्यों के लिए अस्वीकार्य हो सकती है	सभी प्राप्तियों के लिए निश्चित रूप से स्वीकार्य हल; रूढ़िवादी हो सकता है

उदाहरण

• समाचार विक्रेता समस्या (अंग्रेज़ी: newsvendor problem): भंडार प्रबंधन की यह क्लासिक समस्या है जहाँ विक्रेता को यह तय करना होता है कि भविष्य की सटीक माँग जाने बिना कितनी मात्रा में माल खरीदना है। हल अधिशेष से हानि के जोखिम और कमी से उपार्जित लाभ छूटने के जोखिम के बीच संतुलन बनाता है।
• किसान की समस्या: एक किसान यह तय करता है कि भविष्य के मौसम को जाने बिना कुल क्षेत्रफल पर विभिन्न फसलों के लिए कितने एकड़ भूमि आवंटित करे, जबकि मौसम उत्पादकता को प्रभावित करता है। मौसम ज्ञात होने के बाद किसान सुधारात्मक कदम उठा सकता है (उदाहरणार्थ, अधिशेष बेचना या बाज़ार से कमी की फसल खरीदना)।

यह भी देखें

• गणितीय प्रोग्रामिंग
• संक्रिया अनुसंधान
• रोबस्ट अनुकूलन
• गतिशील प्रोग्रामिंग
• नियंत्रण सिद्धांत

टिप्पणियाँ

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