Soluzione ottimale (ottimizzazione)

Soluzione ottimale — nella ricerca operativa, nell'ottimizzazione e nella teoria delle decisioni è quella soluzione ammissibile (ovvero che soddisfa tutti i vincoli del problema) che garantisce il valore estremo (massimo o minimo, a seconda della formulazione del problema) della funzione obiettivo.

La ricerca della soluzione ottimale è l'obiettivo principale della risoluzione della maggior parte dei problemi di ottimizzazione.

Natura e caratteristiche

La soluzione ottimale possiede due caratteristiche fondamentali:

1. Ammissibilità: Deve soddisfare tutti i vincoli imposti alle variabili del modello. In altre parole, la soluzione ottimale appartiene sempre alla regione delle soluzioni ammissibili (RSA). 2. Estremità rispetto alla funzione obiettivo: Fra tutte le soluzioni ammissibili, essa garantisce il valore migliore (massimo o minimo) della funzione obiettivo, che formalizza il criterio di ottimalità.

Non ogni soluzione ammissibile è ottimale, ma qualsiasi soluzione ottimale deve necessariamente essere ammissibile.

Relazione con la regione delle soluzioni ammissibili

La regione delle soluzioni ammissibili (RSA) rappresenta l'insieme di tutte le alternative (insiemi di valori delle variabili) che soddisfano i vincoli del problema. La soluzione ottimale è il punto (o i punti) in questa regione in cui la funzione obiettivo raggiunge il proprio estremo. Se la RSA è vuota, il problema non ha né soluzioni ammissibili né, di conseguenza, soluzioni ottimali.

Ruolo della funzione obiettivo e dei vincoli

• I vincoli definiscono l'insieme delle soluzioni possibili (RSA).
• La funzione obiettivo determina quale di queste soluzioni possibili è la migliore (ottimale).

Senza la funzione obiettivo è impossibile stabilire quale soluzione ammissibile sia ottimale. Senza vincoli il problema può essere banale o non avere una soluzione ottimale finita (ad esempio, la massimizzazione di una funzione lineare senza vincoli).

Unicità della soluzione ottimale

La soluzione ottimale non è sempre unica. In alcuni problemi (ad esempio, nella programmazione lineare, se la funzione obiettivo è parallela a uno dei vincoli attivi) può esistere un insieme infinito di soluzioni ottimali con lo stesso valore della funzione obiettivo. Tuttavia, il valore della funzione obiettivo nel punto (o nei punti) di ottimo è sempre unico (se l'ottimo esiste).

Metodi di ricerca

Per la ricerca delle soluzioni ottimali nella ricerca operativa vengono utilizzati diversi metodi matematici, a seconda del tipo di modello:

• Metodo del simplesso (per la programmazione lineare)
• Metodi di discesa del gradiente e altri metodi numerici (per la programmazione non lineare)
• Metodo branch and bound, metodi dei tagli (per la programmazione intera)
• Metodi di programmazione dinamica

Dipendenza dal modello

È importante comprendere che una soluzione è ottimale solo nell'ambito del modello matematico adottato. Se il modello non riflette adeguatamente la situazione reale (funzione obiettivo scelta erroneamente, vincoli o dipendenze importanti non considerati), la soluzione ottimale formalmente trovata potrebbe rivelarsi inefficace o addirittura errata nella pratica.

Ottimalità nei problemi multicriteri

Nei problemi con più funzioni obiettivo (ottimizzazione multicriteri) il concetto di soluzione ottimale unica viene spesso sostituito dal concetto di ottimalità di Pareto. Una soluzione Pareto-ottimale è una soluzione ammissibile per la quale non è possibile migliorare il valore di una funzione obiettivo senza peggiorare il valore di almeno un'altra.

Vedi anche

• Ricerca operativa
• Ottimizzazione
• Modello matematico
• Funzione obiettivo
• Vincoli
• Regione delle soluzioni ammissibili
• Soluzione ammissibile
• Criterio
• Teoria delle decisioni
• Ottimizzazione multicriteri
• Ottimalità di Pareto
• Estremo

Letteratura

• Ventcel' E. S. Ricerca operativa: problemi, principi, metodologia. — Mosca: Nauka, 1988.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)