Savages kriterium

Savages kriterium (även känt som kriteriet för minimal ånger) — en av metoderna för beslutsfattande under osäkerhet. Det tillämpas i situationer där sannolikheterna för olika utfall är okända, och målet är att minimera potentiella förluster till följd av ett icke-optimalt beslut.

Allmän beskrivning

Under osäkerhet är konsekvenserna av att välja varje strategi inte exakt bestämda. För att bedöma möjliga alternativ används ett antal kriterier, såsom Walds, Hurwicz, Laplaces och Savages kriterier. Savages kriterium är inte inriktat på att uppnå maximal vinst, utan på minimering av maximal ånger (förluster i förhållande till det bästa möjliga resultatet).

Ånger — är ett värde som återspeglar den uteblivna vinsten på grund av att en icke-optimal strategi valdes vid ett specifikt utfall.

Algoritm för tillämpning av Savages kriterium

• Upprättande av utbetalningsmatris: En tabell konstrueras där raderna motsvarar möjliga strategier och kolumnerna möjliga utfall av händelser. I skärningspunkten anges det förväntade resultatet för en specifik strategi och ett specifikt utfall.
• Konstruktion av ångermatrisen (riskmatrisen): För varje utfall (kolumn) bestäms det maximala vinstvärdет. Därefter beräknas ångervärdet för varje cell:
• Bestämning av maximala ångervärden för varje strategi: I varje rad i ångermatrisen väljs det maximala värdet (det värsta fallet för den aktuella strategin).
• Val av optimal strategi: Den strategi väljs för vilken den maximala ångern är minimal.

Sålunda realiserar Savages kriterium principen om minimering av möjlig förlust till följd av ett felaktigt beslut.

Matematisk formulering

Låt följande vara givna:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — mängden av tillgängliga strategier (alternativ).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — mängden av möjliga naturtillstånd.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — vinstfunktionen (nyttofunktionen) vid val av strategi $s_i$ och inträffande av tillstånd ${\theta }_j$. Den representeras ofta av en utbetalningsmatris $A=[a_{ij}]$, där $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Savages kriterium bygger på begreppet ånger (regret) eller utebliven vinst. Ångern $r(s_i,{\theta }_j)$ för strategi $s_i$ vid naturtillstånd ${\theta }_j$ definieras som skillnaden mellan den maximalt möjliga vinst som hade kunnat uppnås vid det givna naturtillståndet ${\theta }_j$ (om den bästa strategin för detta tillstånd hade valts) och den faktiska vinsten från strategi $s_i$.

Algoritm för tillämpning av Savages kriterium:

1. Beräkning av ångermatrisen (riskmatrisen):

   a) Finn den maximala vinsten för varje naturtillstånd (varje kolumn i utbetalningsmatrisen):

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   Detta är det bästa möjliga resultatet om tillstånd ${\theta }_j$ inträffar.

   b) Beräkna elementen i ångermatrisen $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   Elementet $r_{ij}$ visar hur mycket vinsten från strategi $s_i$ understiger det maximalt möjliga vid tillstånd ${\theta }_j$. Alla element $r_{ij}\ge 0$.

1. Beräkning av maximal ånger för varje strategi: För varje strategi $s_i$ (varje rad i ångermatrisen $R$) bestäms dess sämsta möjliga utfall ur ångersynpunkt:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. Val av strategi med minimal maximal ånger (minimax-ånger-principen): Den strategi $s_{\text{Savage}}^{\ast }$ väljs som minimerar den funna maximala ångern:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   Eller, genom att substituera uttrycket för $r_{ij}$:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

Det minimala värdet av maximal ånger som uppnås vid användning av Savages kriterium är lika med: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

Sålunda syftar Savages kriterium till att välja den strategi som garanterar de minsta förlusterna i förhållande till den bästa möjliga åtgärden för varje naturtillstånd.

Viktigaste punkterna i den matematiska formuleringen:

• Definition av ånger $r_{ij}$: Detta är det centrala begreppet. Det är viktigt att visa att det beräknas som skillnaden mellan det bästa utfallet i kolumn j och det aktuella utfallet a_{ij}.
• Ångermatrisen $R$: Det anges explicit hur den konstrueras.
• Beräkning av $r_i^{max}$: Sökning efter maximum i varje rad i ångermatrisen visas.
• Minimax-principen: Valet av strategi via $\arg min$ av $max$ ångervärden formuleras tydligt.
• Använda beteckningar: Standardbeteckningar för spelteori och beslutsfattande (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

Fördelar och nackdelar

Fördelar:

• Inriktat på minimering av risker.
• Särskilt effektivt under hög osäkerhet.

Nackdelar:

• Ignorerar förväntad vinst och fokuserar enbart på möjliga förluster.
• Kan leda till alltför konservativa beslut.

Kriterier för beslutsfattande

• Hurwicz kriterium
• Laplaces kriterium
• Walds kriterium