Savage Kriteri

Savage Kriteri (ayrıca minimum pişmanlık kriteri olarak da bilinir) — belirsizlik koşullarında karar verme yöntemlerinden biridir. Farklı sonuçların olasılıklarının bilinmediği durumlarda uygulanır ve amacı, optimal olmayan bir karar alınması sonucunda ortaya çıkabilecek potansiyel kayıpları en aza indirmektir.

Genel Özellikler

Belirsizlik koşullarında, her stratejinin seçilmesinin sonuçları kesin olarak belirlenmemiştir. Olası alternatifleri değerlendirmek için Wald, Hurwicz, Laplace ve Savage kriterleri gibi çeşitli ölçütler kullanılır. Savage Kriteri, maksimum kârı elde etmeye değil, maksimum pişmanlığı en aza indirmeye (en iyi olası sonuca kıyasla kayıpları azaltmaya) yöneliktir.

Pişmanlık — belirli bir sonuç gerçekleştiğinde optimal strateji seçilmediği için kaybedilen fırsatı yansıtan bir büyüklüktür.

Savage Kriterinin Uygulama Algoritması

• Ödeme matrisinin oluşturulması: Satırların olası stratejilere, sütunların ise olası olay sonuçlarına karşılık geldiği bir tablo oluşturulur. Kesişme noktasına belirli bir strateji ve sonuç için beklenen sonuç yazılır.
• Pişmanlık matrisinin (risk matrisinin) oluşturulması: Her sonuç (sütun) için maksimum kazanç değeri belirlenir. Ardından her hücre için pişmanlık büyüklüğü hesaplanır:
• Her strateji için maksimum pişmanlığın belirlenmesi: Pişmanlık matrisinin her satırında maksimum değer (ilgili strateji için en kötü durum) seçilir.
• Optimal stratejinin seçimi: Maksimum pişmanlığı en küçük olan strateji seçilir.

Böylece Savage Kriteri, yanlış karardan kaynaklanabilecek olası kaybı en aza indirme ilkesini hayata geçirir.

Matematiksel Formülasyon

Verilmiş olsun:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — mevcut stratejiler (alternatifler) kümesi.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — olası doğa durumları kümesi.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — $s_i$ stratejisi seçildiğinde ve ${\theta }_j$ durumu gerçekleştiğinde kazanç (fayda) fonksiyonu. Genellikle $A=[a_{ij}]$ ödeme matrisi ile temsil edilir; burada $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Savage Kriteri, pişmanlık (regret) veya fırsat maliyeti kavramına dayanır. $s_i$ stratejisi için ${\theta }_j$ doğa durumunda $r(s_i,{\theta }_j)$ pişmanlığı; söz konusu doğa durumu ${\theta }_j$ gerçekleştiğinde elde edilebilecek maksimum kazanç (o durum için en iyi strateji seçilmiş olsaydı) ile $s_i$ stratejisinden elde edilen gerçek kazanç arasındaki fark olarak tanımlanır.

Savage Kriterinin uygulama algoritması:

1. Pişmanlık matrisinin (risk matrisinin) hesaplanması:

   a) Her doğa durumu için (ödeme matrisinin her sütunu için) maksimum kazancın bulunması:

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   Bu, ${\theta }_j$ durumu gerçekleştiğinde elde edilebilecek en iyi olası sonuçtur.

   b) Pişmanlık matrisinin $R=[r_{ij}]$ elemanlarının hesaplanması:

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   $r_{ij}$ elemanı, $s_i$ stratejisinden elde edilen kazancın ${\theta }_j$ durumunda mümkün olan maksimumdan ne kadar düşük olduğunu gösterir. Tüm elemanlar $r_{ij}\ge 0$.

1. Her strateji için maksimum pişmanlığın bulunması: Her $s_i$ stratejisi için (pişmanlık matrisinin $R$ her satırı için) pişmanlık açısından en kötü olası sonuç belirlenir:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. Minimum maksimum pişmanlığa sahip stratejinin seçimi (minimax pişmanlık ilkesi): Bulunan maksimum pişmanlığı en küçük yapan $s_{\text{Savage}}^{\ast }$ stratejisi seçilir:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   Ya da $r_{ij}$ ifadesi yerine koyularak:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

Savage Kriteri kullanılarak ulaşılan minimum maksimum pişmanlık değeri şuna eşittir: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

Böylece Savage Kriteri, her doğa durumu için en iyi olası eyleme kıyasla en az kaybı garanti eden stratejinin seçimine yöneliktir.

Matematiksel formülasyondaki temel noktalar:

• $r_{ij}$ pişmanlığının tanımı: Bu, merkezi kavramdır. j sütunundaki en iyi sonuç ile mevcut a_{ij} sonucu arasındaki fark olarak hesaplandığını göstermek önemlidir.
• Pişmanlık matrisi $R$: Nasıl oluşturulduğu açıkça belirtilmiştir.
• $r_i^{max}$ değerinin bulunması: Pişmanlık matrisinin her satırında maksimumun aranması gösterilmiştir.
• Minimax ilkesi: Pişmanlıkların $max$ değerinden $\arg min$ üzerinden strateji seçimi açıkça formüle edilmiştir.
• Kullanılan gösterimler: Oyun teorisi ve karar verme teorisi için standart gösterimlerdir (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

Avantajlar ve Dezavantajlar

Avantajlar:

• Riskleri en aza indirmeye yöneliktir.
• Yüksek belirsizlik koşullarında özellikle etkilidir.

Dezavantajlar:

• Beklenen kârı göz ardı ederek yalnızca olası kayıplara odaklanır.
• Aşırı muhafazakâr kararlara yol açabilir.

Karar Verme Kriterleri

• Hurwicz Kriteri
• Laplace Kriteri
• Wald Kriteri