Savage-kritérium

A Savage-kritérium (más néven minimális sajnálat kritériuma) — a bizonytalanság melletti döntéshozatal egyik módszere. Olyan helyzetekben alkalmazzák, amikor a különböző kimenetelekhez tartozó valószínűségek nem ismertek, és a cél a nem optimális döntés meghozatalából eredő potenciális veszteségek minimalizálása.

Általános jellemzés

A bizonytalanság körülményei között az egyes stratégiák megválasztásának következményei nem határozhatók meg pontosan. A lehetséges alternatívák értékelésére számos kritérium áll rendelkezésre, például a Wald-, a Hurwicz-, a Laplace- és a Savage-kritérium. A Savage-kritérium nem a maximális nyereség elérésére törekszik, hanem a maximális sajnálat minimalizálására (a legjobb lehetséges eredményhez képest elszenvedett veszteségekre).

A sajnálat olyan érték, amely azt a kiesett hasznot tükrözi, amelyet azért mulasztottak el, mert egy adott kimenetel esetén nem az optimális stratégiát választották.

A Savage-kritérium alkalmazásának algoritmusa

• A kifizetési mátrix összeállítása: Egy olyan táblázatot kell felépíteni, amelynek sorai a lehetséges stratégiáknak, oszlopai pedig az esemény lehetséges kimeneteleinek felelnek meg. A metszéspontokba egy adott stratégia és kimenetel esetén várható eredmény kerül.
• A sajnálati mátrix (kockázati mátrix) felépítése: Minden kimenetelnél (oszlopnál) meghatározzák a nyeremény maximális értékét. Ezután minden cellára kiszámítják a sajnálat értékét:
• A maximális sajnálat meghatározása minden egyes stratégiára: A sajnálati mátrix minden sorában kiválasztják a maximális értéket (az adott stratégiára vonatkozó legrosszabb eset).
• Az optimális stratégia kiválasztása: Azt a stratégiát választják ki, amelynél a maximális sajnálat a legkisebb.

Eképpen a Savage-kritérium a helytelen döntésből eredő lehetséges veszteség minimalizálásának elvét valósítja meg.

Matematikai megfogalmazás

Legyenek adottak:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — az elérhető stratégiák (alternatívák) halmaza.
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — a természet lehetséges állapotainak halmaza.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — a nyeremény (hasznosság) függvénye a $s_i$ stratégia kiválasztása és a ${\theta }_j$ állapot bekövetkezése esetén. Ezt gyakran a $A=[a_{ij}]$ kifizetési mátrix reprezentálja, ahol $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

A Savage-kritérium a sajnálat (regret) vagy kiesett haszon fogalmán alapul. A $r(s_i,{\theta }_j)$ sajnálat a $s_i$ stratégiára a ${\theta }_j$ természeti állapot esetén úgy határozható meg, mint a különbség az adott természeti állapotnál ${\theta }_j$ elérhető maximálisan lehetséges nyeremény (amennyiben az adott állapotra nézve legjobb stratégiát választották volna) és a $s_i$ stratégiából ténylegesen eredő nyeremény között.

A Savage-kritérium alkalmazásának algoritmusa:

1. A sajnálati mátrix (kockázati mátrix) kiszámítása:

   a) A maximális nyeremény megkeresése minden természeti állapotra (a kifizetési mátrix minden oszlopára):

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   Ez a legjobb lehetséges eredmény, ha a ${\theta }_j$ állapot következik be.

   b) A sajnálati mátrix elemeinek kiszámítása $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   A $r_{ij}$ elem azt mutatja meg, hogy a $s_i$ stratégiából eredő nyeremény mennyivel kisebb a ${\theta }_j$ állapot esetén maximálisan lehetségesnél. Az összes elem $r_{ij}\ge 0$.

1. A maximális sajnálat megkeresése minden egyes stratégiára: Minden $s_i$ stratégiára (a $R$ sajnálati mátrix minden sorára) meghatározzák a sajnálat szempontjából legrosszabb lehetséges kimenetelt:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. A minimális maximális sajnálattal rendelkező stratégia kiválasztása (a sajnálat minimax-elve): Azt a $s_{\text{Savage}}^{\ast }$ stratégiát választják ki, amely minimalizálja a megtalált maximális sajnálatot:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   Vagy, behelyettesítve a $r_{ij}$ kifejezést:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

A Savage-kritérium alkalmazásával elérhető minimális maximális sajnálat értéke: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

Eképpen a Savage-kritérium olyan stratégia kiválasztására irányul, amely a természet minden egyes állapotára vonatkozó legjobb lehetséges cselekvéshez képest a legkisebb veszteséget garantálja.

A matematikai megfogalmazás legfontosabb pontjai:

• A $r_{ij}$ sajnálat meghatározása: Ez a központi fogalom. Fontos megmutatni, hogy ez a j oszlopban szereplő legjobb kimenetel és az a_{ij} aktuális kimenetel különbségeként számítódik.
• A $R$ sajnálati mátrix: Explicit módon jelzi, hogyan épül fel.
• A $r_i^{max}$ megkeresése: Bemutatja a maximum keresését a sajnálati mátrix minden sorában.
• A minimax-elv: Egyértelműen megfogalmazza a stratégia kiválasztását a sajnálatok $\arg min$-ja és $max$-ja alapján.
• Alkalmazott jelölések: Szabványos a játékelméletben és a döntéselméletben (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

Előnyök és hátrányok

Előnyök:

• A kockázatok minimalizálására összpontosít.
• Különösen hatékony magas fokú bizonytalanság esetén.

Hátrányok:

• Figyelmen kívül hagyja a várható nyereséget, kizárólag a lehetséges veszteségekre összpontosítva.
• Túlságosan konzervatív döntésekhez vezethet.

Döntési kritériumok

• Hurwicz-kritérium
• Laplace-kritérium
• Wald-kritérium