Pamantayan ni Savage (minimax regret)

Pamantayan ni Savage (kilala rin bilang pamantayan ng pinakamaliit na pagsisisi) — isa sa mga pamamaraan ng paggawa ng desisyon sa ilalim ng kawalan ng katiyakan. Ginagamit ito sa mga sitwasyon kung saan hindi kilala ang mga posibilidad ng iba't ibang kinalabasan, at ang layunin ay ang mabawasan ang mga potensyal na pagkalugi dahil sa paggawa ng hindi pinakamainam na desisyon.

Pangkalahatang Katangian

Sa ilalim ng kawalan ng katiyakan, ang mga kahihinatnan ng pagpili ng bawat estratehiya ay hindi tiyak na natutukoy. Para sa pagtatasa ng mga posibleng alternatibo, ginagamit ang isang bilang ng mga pamantayan, tulad ng mga pamantayan ni Wald, Hurwicz, Laplace, at Savage. Ang pamantayan ni Savage ay nakatuon hindi sa pagkamit ng pinakamataas na kita, kundi sa pagbabawas ng pinakamataas na pagsisisi (pagkalugi kumpara sa pinakamainam na posibleng resulta).

Pagsisisi — ito ang isang halaga na sumasalamin sa napalampas na benepisyo dahil sa pagpili ng hindi pinakamainam na estratehiya para sa isang partikular na kinalabasan.

Algoritmo ng Paglalapat ng Pamantayan ni Savage

• Pagbuo ng matrix ng bayad: Itinatayo ang isang talahanayan kung saan ang mga hanay ay tumutugma sa mga posibleng estratehiya, at ang mga kolum — sa mga posibleng kinalabasan ng mga pangyayari. Sa intersection ay isinusulat ang inaasahang resulta para sa isang partikular na estratehiya at kinalabasan.
• Pagtatayo ng matrix ng pagsisisi (matrix ng mga panganib): Para sa bawat kinalabasan (kolum) ay tinutukoy ang pinakamataas na halaga ng panalo. Pagkatapos ay kinakalkula ang halaga ng pagsisisi para sa bawat cell:
• Pagtukoy ng pinakamataas na pagsisisi para sa bawat estratehiya: Sa bawat hanay ng matrix ng pagsisisi ay pinipili ang pinakamataas na halaga (ang pinakamasamang kaso para sa estratehiyang ito).
• Pagpili ng pinakamainam na estratehiya: Pinipili ang estratehiyang iyon kung saan ang pinakamataas na pagsisisi ay pinakamababa.

Kaya, isinasagawa ng pamantayan ni Savage ang prinsipyo ng pagbabawas ng posibleng pagkalugi mula sa isang maling desisyon.

Matematikal na Pormulasyon

Ipalagay na ibinibigay:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — hanay ng mga magagamit na estratehiya (alternatibo).
• $\Theta =\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — hanay ng mga posibleng estado ng kalikasan.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — function ng panalo (utility) sa pagpili ng estratehiya $s_i$ at sa pagsapit ng estado ${\theta }_j$. Kadalasang kinakatawan ng matrix ng bayad $A=[a_{ij}]$, kung saan $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Ang pamantayan ni Savage ay batay sa konsepto ng pagsisisi (regret) o napalampas na benepisyo. Ang pagsisisi $r(s_i,{\theta }_j)$ para sa estratehiya $s_i$ sa estado ng kalikasan ${\theta }_j$ ay tinutukoy bilang pagkakaiba sa pagitan ng pinakamataas na posibleng panalo na maaaring makuha sa ibinigay na estado ng kalikasan ${\theta }_j$ (kung ang pinakamainam na estratehiya para sa estado na iyon ay napili), at ng aktwal na panalo mula sa estratehiya $s_i$.

Algoritmo ng paglalapat ng pamantayan ni Savage:

1. Pagkalkula ng matrix ng pagsisisi (mga panganib):

   a) Hanapin ang pinakamataas na panalo para sa bawat estado ng kalikasan (bawat kolum ng matrix ng bayad):

   $u_j^{\ast }=\underset{k=1,\dots ,m}{max}u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj}$

   Ito ang pinakamainam na posibleng resulta kung ang estado ${\theta }_j$ ay magsasakatuparan.

   b) Kalkulahin ang mga elemento ng matrix ng pagsisisi $R=[r_{ij}]$:**

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{\ast }-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}$

   Ang elemento $r_{ij}$ ay nagpapakita kung gaano kaliit ang panalo mula sa estratehiya $s_i$ kumpara sa pinakamataas na posible sa estado ${\theta }_j$. Lahat ng elemento $r_{ij}\ge 0$.

1. Paghahanap ng pinakamataas na pagsisisi para sa bawat estratehiya: Para sa bawat estratehiya $s_i$ (bawat hanay ng matrix ng pagsisisi $R$) ay tinutukoy ang pinakamasamang posibleng kinalabasan nito mula sa pananaw ng pagsisisi:

   $r_i^{max}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{max}((\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij})$

1. Pagpili ng estratehiya na may pinakamaliit na pinakamataas na pagsisisi (prinsipyo ng minimax ng pagsisisi): Pinipili ang estratehiyang iyon $s_{\text{Savage}}^{\ast }$ na nagpapababa sa nahanap na pinakamataas na pagsisisi:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\arg \underset{s_i\in S}{min}(\underset{{\theta }_j\in \Theta }{max}r(s_i,{\theta }_j))$

   O, sa pamamagitan ng pagpapalit ng ekspresyon para sa $r_{ij}$:

   $s_{\text{Savage}}^{\ast }=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}[(\underset{k=1,\dots ,m}{max}{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

Ang pinakamaliit na halaga ng pinakamataas na pagsisisi, na naabot kapag ginamit ang pamantayan ni Savage, ay katumbas ng: $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{min}(r_i^{max})=\underset{i=1,\dots ,m}{min}\left(\underset{j=1,\dots ,n}{max}{r}_{ij}\right)$

Kaya, ang pamantayan ni Savage ay naglalayong pumili ng estratehiya na ginagarantiyahan ang pinakamaliit na pagkalugi kaugnay ng pinakamainam na posibleng aksyon para sa bawat estado ng kalikasan.

Mga pangunahing punto sa matematikal na pormulasyon:

• Kahulugan ng pagsisisi $r_{ij}$: Ito ang sentral na konsepto. Mahalaga na ipakita na ito ay kinakalkula bilang pagkakaiba sa pagitan ng pinakamainam na kinalabasan sa kolum j at ng kasalukuyang kinalabasan na a_{ij}.
• Matrix ng pagsisisi $R$: Malinaw na ipinahiwatig kung paano ito itinatayo.
• Paghahanap ng $r_i^{max}$: Ipinapakita ang paghahanap ng maximum sa bawat hanay ng matrix ng pagsisisi.
• Prinsipyo ng minimax: Malinaw na pormulado ang pagpili ng estratehiya sa pamamagitan ng $\arg min$ mula sa $max$ na pagsisisi.
• Mga ginamit na notasyon: Pamantayan para sa teorya ng laro at paggawa ng desisyon (S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min).

Mga Kalamangan at Kahinaan

Mga Pakinabang:

• Nakatuon sa pagbabawas ng mga panganib.
• Lalo na epektibo sa ilalim ng mataas na kawalan ng katiyakan.

Mga Kahinaan:

• Binabalewala ang inaasahang kita, nakapokus lamang sa mga posibleng pagkalugi.
• Maaaring humantong sa labis na konserbatibong mga desisyon.

Mga Pamantayan ng Paggawa ng Desisyon

• Pamantayan ni Hurwicz
• Pamantayan ni Laplace
• Pamantayan ni Wald