Ottimizzazione

Ottimale — il migliore nelle condizioni date. La qualità viene valutata mediante un criterio di ottimalità, mentre le condizioni sono specificate sotto forma di vincoli su criteri aggiuntivi.

La tendenza ad aumentare l'efficienza del lavoro, della creatività e di qualsiasi attività orientata a uno scopo è una naturale aspirazione dell'essere umano che ha trovato la propria espressione chiara e comprensibile nell'idea di ottimalità. La differenza tra la comprensione strettamente scientifica e quella «comune», quotidiana, dell'ottimalità è davvero minima. È vero che espressioni come «il più ottimale» o «raggiungeremo il massimo effetto con il minimo di risorse» sono matematicamente imprecise, ma chi le usa in realtà esprime semplicemente in modo approssimativo e infelice un pensiero corretto: non appena si tratta di ottimizzazione concreta, queste persone correggono le formulazioni rapidamente e con facilità.

L'ottimizzazione — in matematica, informatica e ricerca operativa — è il problema di trovare l'estremo (minimo o massimo) di una funzione obiettivo in una determinata regione di uno spazio vettoriale finito-dimensionale, delimitata da un insieme di uguaglianze e/o disuguaglianze lineari e/o non lineari.

Modelli di ottimizzazione

Modello di ottimizzazione — è un modello decisionale contenente un indicatore di efficienza (funzione obiettivo) che deve essere ottimizzato nel rispetto di un insieme di vincoli stabiliti.

I modelli di ottimizzazione sono destinati a determinare i parametri ottimali (migliori) dell'oggetto modellato rispetto a un determinato criterio, oppure a trovare il regime ottimale (migliore) di gestione di un determinato processo. Una parte dei parametri del modello è classificata come parametri di controllo: variandoli è possibile ottenere diverse combinazioni di valori dei parametri di uscita. Di norma, questi modelli vengono costruiti utilizzando uno o più modelli descrittivi e includono un criterio che consente di confrontare tra loro le diverse combinazioni di valori dei parametri di uscita al fine di selezionare la migliore. Sull'insieme dei valori dei parametri di ingresso possono essere imposti vincoli sotto forma di uguaglianze e disuguaglianze, legati alle caratteristiche dell'oggetto o del processo considerato. L'obiettivo dei modelli di ottimizzazione è trovare quei parametri di controllo ammissibili in corrispondenza dei quali il criterio di selezione raggiunge il suo «valore migliore».

Modelli di ottimizzazione nella ricerca operativa

Il problema viene formulato sotto forma di modello matematico. Il tipico modello matematico della ricerca operativa è presentato nella seguente formulazione:

Massimizzazione o minimizzazione della funzione obiettivo, nel rispetto dei vincoli

Si chiamano ottimali le soluzioni che, secondo l'uno o l'altro criterio, sono preferibili rispetto alle altre. Ogni scelta della soluzione migliore è concreta, poiché si basa sulla conformità ai criteri stabiliti. Parlando di variante ottimale, si indicano tali criteri («ottimale secondo…»). Ciò che è ottimale secondo un criterio non è necessariamente tale secondo un altro.

Soluzione ammissibile — se soddisfa tutti i vincoli del modello. In alcuni casi le soluzioni ammissibili possono essere infinite.

Soluzione ottimale — se, oltre ad essere ammissibile, la funzione obiettivo in tale soluzione raggiunge il valore massimo o minimo.

Ottimizzazione — massimizzazione o minimizzazione della funzione obiettivo.

Soluzione ottimale — insieme ammissibile di valori delle variabili di decisione che ottimizza la funzione obiettivo del modello di ottimizzazione.

Modello di scelta ottimale

Un gran numero di problemi di scelta che si incontrano nella pratica si riduce alla ricerca delle varianti migliori o più preferibili per una persona, e spesso alla ricerca dell'unica variante migliore. Allo stesso tempo, ogni decisore (DM) ha le proprie rappresentazioni soggettive su ciò che è preferibile per lui in una specifica situazione di scelta.

Esistono molti problemi per i quali è possibile costruire un modello matematico di scelta, in cui il concetto di variante migliore viene formalizzato mediante la definizione di uno o più indicatori numerici di efficienza o criteri di qualità della soluzione. Questi indicatori, sebbene siano definiti dal DM, hanno carattere oggettivo, determinato dal contenuto del problema da risolvere, e sono espressi da alcune funzioni dipendenti dalle variabili con cui vengono misurate le proprietà delle varianti. In tali casi, la variante di soluzione più preferibile per il DM nel problema di scelta viene convenzionalmente considerata la cosiddetta variante ottimale, che corrisponde al valore estremo di uno o più indicatori di efficienza della soluzione nelle condizioni esistenti.

Un momento fondamentale per la formulazione del problema di scelta ottimale è la possibilità di descrivere la situazione problematica e le preferenze del DM in forma quantitativa. Ciò significa che, in primo luogo, le possibili varianti di soluzione (alternative, oggetti, modi di agire) sono definite da caratteristiche quantitative (variabili, parametri, attributi) misurate mediante scale numeriche. In secondo luogo, devono essere definiti anche indicatori quantitativi (criteri di ottimalità, indicatori di efficienza, funzioni obiettivo, funzioni di valore), in base alla cui entità viene valutata la qualità della variante scelta. Situazioni di questo tipo sono caratteristiche di problemi ben strutturati e di situazioni di scelta ricorrenti, tipiche della ricerca operativa e del controllo ottimale.

Per analizzare le possibili varianti di soluzione del problema (modi per raggiungere l'obiettivo) e scegliere tra esse una o più varianti migliori, vengono costruiti modelli formali di scelta ottimale. Il modello fornisce una rappresentazione semplificata del problema reale e deve riflettere le dipendenze e i legami più importanti e oggettivamente esistenti tra le varianti, le caratteristiche che le descrivono e i vincoli stabiliti da fattori controllabili e non controllabili. La costruzione di tale modello è compito di analisti-consulenti ed esperti con la partecipazione del DM. Nel costruire il modello di scelta è necessario commisurare l'adeguatezza e il dettaglio del modello con la precisione richiesta dalla soluzione del reale problema di scelta, nonché con il volume di informazioni necessarie per trovare la soluzione — sia quelle già disponibili, sia quelle da acquisire ulteriormente.

Limitazioni dell'approccio di ottimizzazione

I problemi di ottimizzazione sono problemi matematici strettamente formali. Il significato pratico delle soluzioni di tali problemi dipende direttamente dalla qualità del modello matematico di partenza. Nei sistemi complessi la modellazione matematica è difficoltosa, approssimativa e imprecisa. Più il sistema è complesso, più cautela occorre nell'ottimizzarlo.

Dal punto di vista dell'analisi sistemica, il rapporto con l'ottimizzazione può essere formulato come segue: si tratta di un potente strumento per aumentare l'efficienza, ma va utilizzato con crescente cautela all'aumentare della complessità del problema.

Nonostante l'evidente utilità dell'idea di ottimizzazione, la pratica richiede di trattarla con la necessaria prudenza. A tale conclusione esistono ragioni sufficientemente valide.

1. La soluzione ottimale si rivela spesso instabile: variazioni apparentemente insignificanti nelle condizioni del problema possono portare alla scelta di alternative sostanzialmente diverse.
2. Il sistema considerato è parte di un sistema più grande, e quindi l'ottimizzazione locale non porta necessariamente allo stesso risultato che sarà richiesto dal sottosistema nell'ottimizzazione del sistema nel suo complesso. Ciò porta alla necessità di raccordare i criteri dei sottosistemi con i criteri del sistema, rendendo spesso superflua l'ottimizzazione locale.
3. I criteri caratterizzano l'obiettivo solo indirettamente, a volte meglio, a volte peggio, ma sempre in modo approssimativo. La massimizzazione del criterio di ottimalità viene spesso identificata con l'obiettivo, mentre in realtà si tratta di cose diverse. In sostanza, il criterio e l'obiettivo si rapportano tra loro come il modello e l'originale, con tutte le conseguenze che ne derivano. Molti obiettivi sono difficili o persino impossibili da descrivere quantitativamente.
4. Non avendo definito tutti i vincoli necessari, insieme alla massimizzazione del criterio principale si possono ottenere effetti collaterali imprevisti e indesiderati.

Bibliografia

• Ventcel' E. S. Ricerca operativa: problemi, principi, metodologia. — M.: Nauka, 1988. (O edizione successiva)
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (Indicare l'edizione, ad esempio, 10th ed., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education.