Optimizasyon

Optimal — belirli koşullar altında en iyi olan. Kalite, bir optimallik ölçütü yardımıyla değerlendirilir; koşullar ise ek ölçütler üzerindeki kısıtlamalar biçiminde belirlenir.

Emeğin, yaratıcılığın ve her türlü amaçlı faaliyetin verimliliğini artırma çabası, insanın doğal bir eğilimi olarak optimallik düşüncesinde açık ve anlaşılır bir ifade bulmuştur. Kesinlikle bilimsel olan ile "genel kabul görmüş", gündelik optimallik anlayışı arasındaki fark oldukça küçüktür. Gerçi "en optimal" ya da "minimum maliyetle maksimum etki elde edeceğiz" gibi ifadeler matematiksel açıdan hatalıdır; ancak bu ifadeleri kullanan kişiler aslında doğru bir düşünceyi yalnızca gevşek ve isabetsiz biçimde dile getirmektedir: söz somut bir optimizasyona geldiğinde, bu kişiler ifadelerini hızla ve kolayca düzeltebilmektedir.

Optimizasyon — matematik, bilgisayar bilimi ve yöneylem araştırmasında, doğrusal ve/veya doğrusal olmayan eşitlik ve/veya eşitsizliklerden oluşan bir kümesiyle sınırlandırılmış sonlu boyutlu bir vektör uzayının belirli bir bölgesinde amaç fonksiyonunun ekstremumunu (minimum veya maksimum) bulma problemidir.

Optimizasyon Modelleri

Optimizasyon modeli — belirli kısıtlamaların sağlanması koşuluyla optimize edilmesi gereken bir etkinlik göstergesi (amaç fonksiyonu) içeren bir karar alma modelidir.

Optimizasyon modelleri, modellenen nesnenin parametrelerini belirli bir ölçüte göre optimal (en iyi) biçimde belirlemek ya da belirli bir sürecin yönetimi için optimal (en iyi) işletim koşulunu aramak amacıyla kullanılır. Modelin parametrelerinin bir kısmı kontrol parametreleri olarak nitelendirilir; bu parametreler değiştirilerek çıktı parametreleri değerlerinin farklı varyantları elde edilebilir. Kural olarak, bu modeller bir veya birden fazla betimleyici model kullanılarak oluşturulur ve çıktı parametrelerinin farklı değer kümelerini birbiriyle karşılaştırmaya olanak tanıyan bir ölçüt içerir; böylece en iyi varyant seçilebilir. Girdi parametrelerinin değer alanına, incelenen nesne veya sürecin özelliklerine bağlı olarak eşitlik ve eşitsizlik biçiminde kısıtlamalar uygulanabilir. Optimizasyon modellerinin amacı, seçim ölçütünün "en iyi değerine" ulaştığı kabul edilebilir kontrol parametrelerini bulmaktır.

Yöneylem Araştırması Optimizasyon Modelleri

Problem, bir matematiksel model olarak formüle edilir. Yöneylem araştırmasının tipik matematiksel modeli şu formülasyonla sunulmaktadır:

Kısıtlamaların sağlanması koşuluyla amaç fonksiyonunun maksimizasyonu veya minimizasyonu

Optimal çözümler, şu ya da bu ölçüte göre diğerlerine tercih edilen çözümlerdir. En iyi varyantın her seçimi somuttur; çünkü belirlenen ölçütlere uygunluğa dayanır. Optimal varyantan söz edilirken bu ölçütler belirtilir («... açısından optimal»). Bir ölçüte göre optimal olan, başka bir ölçüte göre mutlaka optimal olmak zorunda değildir.

Kabul edilebilir çözüm — modelin tüm kısıtlamalarını karşılayan çözümdür. Kabul edilebilir çözümlerin sayısı bazı durumlarda sonsuz olabilir.

Optimal çözüm — kabul edilebilir olmasının yanı sıra amaç fonksiyonunun bu çözümde maksimum veya minimum değerine ulaştığı çözümdür.

Optimizasyon — amaç fonksiyonunun maksimizasyonu veya minimizasyonu.

Optimal çözüm — optimizasyon modelinin amaç fonksiyonunu optimize eden, karar değişkenlerinin kabul edilebilir bir değerler kümesidir.

Optimal Seçim Modeli

Uygulamada karşılaşılan çok sayıda seçim problemi, bir kişi için en iyi veya en tercih edilebilir varyantların bulunmasına, çoğu zaman ise tek ve en iyi varyantın aranmasına indirgenebilir. Bu süreçte her karar verici (KV), belirli bir seçim durumunda kendisi için neyin tercih edilebilir olduğuna dair kendi öznel görüşlerine sahiptir.

Bir seçimin matematiksel modelinin oluşturulabildiği oldukça fazla sayıda problem mevcuttur; bu modellerde en iyi varyant kavramı, bir veya birden fazla sayısal etkinlik göstergesi ya da çözüm kalitesi ölçütü tanımlanarak formalize edilir. Bu göstergeler KV tarafından belirlenmekle birlikte, çözülen problemin içeriğiyle belirlenen nesnel bir nitelik taşır ve varyantların özelliklerini ölçen değişkenlere bağlı olan belirli fonksiyonlarla ifade edilir. Bu gibi durumlarda, KV için seçim probleminin en tercih edilebilir varyantı olarak mevcut koşullar altında bir veya birden fazla çözüm etkinlik göstergesinin ekstremum değerine karşılık gelen sözde optimal varyant kabul edilmektedir.

Optimal seçim probleminin formüle edilmesi açısından belirleyici nokta, problematik durumun ve KV'nin tercihlerinin nicel biçimde tanımlanabilmesidir. Bu, her şeyden önce, mümkün olan çözüm varyantlarının (alternatiflerin, nesnelerin, eylem biçimlerinin) sayısal ölçeklerle ölçülen nicel özelliklerle (değişkenler, parametreler, nitelikler) belirlenmesi anlamına gelir. İkinci olarak, seçilen varyantın kalitesinin değerlendirildiği nicel göstergelerin (optimallik ölçütleri, etkinlik göstergeleri, amaç fonksiyonları, değer fonksiyonları) de tanımlanmış olması gerekmektedir. Bu tür durumlar, yöneylem araştırması ve optimal kontrol için tipik olan iyi yapılandırılmış problemler ile yinelenen seçim durumlarına özgüdür.

Problemin olası çözüm varyantlarını (amaca ulaşmanın yollarını) analiz etmek ve bunlar arasından en iyi bir veya birkaç varyantı seçmek için formal optimal seçim modelleri oluşturulur. Model, gerçek problemin basitleştirilmiş bir temsilini sunar ve kontrollü ile kontrolsüz faktörler tarafından belirlenen varyantlar, bunları tanımlayan özellikler ve kısıtlamalar arasındaki en önemli ve nesnel olarak var olan bağımlılıkları ve ilişkileri yansıtmalıdır. Böyle bir modelin oluşturulması, KV'nin katılımıyla danışman-analistlerin ve uzmanların görevidir. Seçim modeli oluşturulurken modelin yeterliliği ve ayrıntı düzeyi, gerçek seçim probleminin çözümü için gereken doğrulukla ve çözüm aramak için gerekli bilgi hacmiyle — hem mevcut hem de ek olarak elde edilen — orantılı biçimde dengelenmelidir.

Optimizasyon Yaklaşımının Sınırlılıkları

Optimizasyon problemleri kesinlikle formal matematiksel problemlerdir. Bu tür problemlerin çözümlerinin pratik önemi, doğrudan başlangıçtaki matematiksel modelin ne kadar iyi olduğuna bağlıdır. Karmaşık sistemlerde matematiksel modelleme güçtür, yaklaşık ve belirsizdir. Sistem ne kadar karmaşıksa, optimizasyonuna o kadar temkinli yaklaşılmalıdır.

Sistem analizi perspektifinden optimizasyona ilişkin tutum şöyle formüle edilebilir: bu, verimliliği artırmanın güçlü bir aracıdır; ancak problemin karmaşıklığı arttıkça giderek daha temkinli kullanılmalıdır.

Optimizasyon düşüncesinin bariz yararına karşın, uygulama bu konuda temkinli davranılması gerektiğini ortaya koymaktadır. Bu sonuç için yeterince güçlü gerekçeler mevcuttur.

1. Optimal çözüm çoğu zaman kararsız olduğu ortaya çıkar: problem koşullarında ilk bakışta önemsiz görünen değişiklikler, önemli ölçüde farklı alternatiflerin seçilmesine yol açabilir.
2. İncelenen sistem daha büyük bir sistemin parçasıdır; bu durumda yerel optimizasyon, sistemin bütünü optimize edildiğinde alt sistemden beklenen sonucu vermeyebilir. Bu durum, alt sistemlerin ölçütlerini sistemin ölçütleriyle ilişkilendirme zorunluluğunu doğurur ve çoğunlukla yerel optimizasyonu gereksiz kılar.
3. Ölçütler amacı yalnızca dolaylı olarak, bazen daha iyi bazen daha kötü, ama her zaman yaklaşık olarak karakterize eder. Optimallik ölçütünün maksimizasyonu çoğunlukla amaçla özdeşleştirilir; oysa bunlar farklı şeylerdir. Aslında ölçüt ve amaç, tüm sonuçlarıyla birlikte model ve orijinal gibi birbirleriyle ilişkilidir. Pek çok amaç nicel olarak tanımlanması güç, hatta imkânsızdır.
4. Gerekli tüm kısıtlamaları tanımlamadan, temel ölçütün maksimizasyonuyla eş zamanlı olarak öngörülmemiş ve istenmeyen yan etkiler elde edebiliriz.

Kaynakça

• Venttsel, E. S. Yöneylem Araştırması: problemler, ilkeler, metodoloji. — Moskova: Nauka, 1988. (Veya sonraki baskı)
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (Baskıyı belirtiniz, örn. 10th ed., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education.