Optimierung

Optimal — das Beste unter gegebenen Bedingungen. Die Qualität wird anhand eines Optimalitätskriteriums bewertet, und die Bedingungen werden in Form von Nebenbedingungen für zusätzliche Kriterien festgelegt.

Das Streben nach Effizienzsteigerung bei Arbeit, Kreativität und jeder zielgerichteten Tätigkeit, dieses natürliche menschliche Bestreben, hat in der Idee der Optimalität einen klaren und verständlichen Ausdruck gefunden. Der Unterschied zwischen dem streng wissenschaftlichen und dem „allgemein akzeptierten“, alltäglichen Verständnis von Optimalität ist recht gering. Zwar sind Ausdrücke wie „am optimalsten“ oder „wir erzielen den maximalen Effekt bei minimalem Aufwand“ mathematisch inkorrekt, doch die Personen, die diese Ausdrücke verwenden, formulieren eigentlich nur einen richtigen Gedanken ungenau und unglücklich: Sobald es um eine konkrete Optimierung geht, korrigieren sie ihre Formulierungen schnell und einfach.

Optimierung ist in der Mathematik, Informatik und im Operations Research die Aufgabe, das Extremum (Minimum oder Maximum) einer Zielfunktion in einem bestimmten Bereich eines endlichdimensionalen Vektorraums zu finden, der durch eine Reihe von linearen und/oder nichtlinearen Gleichungen und/oder Ungleichungen eingeschränkt ist.

Optimierungsmodelle

Ein Optimierungsmodell ist ein Entscheidungsmodell, das eine Effizienzkennzahl (Zielfunktion) enthält, die unter Einhaltung einer Reihe von vorgegebenen Nebenbedingungen optimiert werden muss.

Optimierungsmodelle dienen der Bestimmung der optimalen (besten) Parameter eines modellierten Objekts aus Sicht eines bestimmten Kriteriums oder der Suche nach dem optimalen (besten) Steuerungsmodus für einen Prozess. Ein Teil der Modellparameter wird den Steuerungsparametern zugeordnet, durch deren Veränderung verschiedene Varianten von Wertegruppen der Ausgabeparameter erhalten werden können. In der Regel werden solche Modelle unter Verwendung eines oder mehrerer deskriptiver Modelle erstellt und beinhalten ein Kriterium, das den Vergleich verschiedener Varianten von Wertegruppen der Ausgabeparameter ermöglicht, um die beste auszuwählen. Der Wertebereich der Eingangsparameter kann durch Gleichungen und Ungleichungen eingeschränkt sein, die mit den Besonderheiten des betrachteten Objekts oder Prozesses zusammenhängen. Das Ziel von Optimierungsmodellen ist die Suche nach zulässigen Steuerungsparametern, bei denen das Auswahlkriterium seinen „besten Wert“ erreicht.

Optimierungsmodelle im Operations Research

Die Aufgabe wird in Form eines mathematischen Modells formuliert. Ein typisches mathematisches Modell des Operations Research wird wie folgt formuliert:

Maximierung oder Minimierung der Zielfunktion unter Einhaltung von Nebenbedingungen

Als optimal werden Lösungen bezeichnet, die aufgrund bestimmter Merkmale anderen vorzuziehen sind. Jede Wahl der besten Variante ist konkret, da sie auf der Einhaltung festgelegter Kriterien beruht. Wenn man von einer optimalen Variante spricht, werden diese Kriterien angegeben („optimal in Bezug auf…“). Was bei einem Kriterium optimal ist, muss es bei einem anderen nicht zwangsläufig sein.

Zulässige Lösung — eine Lösung, die alle Nebenbedingungen des Modells erfüllt. In einigen Fällen kann es unendlich viele zulässige Lösungen geben.

Optimale Lösung — eine zulässige Lösung, bei der die Zielfunktion ihren maximalen oder minimalen Wert erreicht.

Optimierung — Maximierung oder Minimierung der Zielfunktion.

Optimale Lösung — ein zulässiger Satz von Werten für die Entscheidungsvariablen, der die Zielfunktion eines Optimierungsmodells optimiert.

Modell der optimalen Wahl

Eine große Anzahl von in der Praxis auftretenden Wahlproblemen läuft darauf hinaus, die besten oder für eine Person am meisten bevorzugten Varianten zu finden, und nicht selten auf die Suche nach der einzig besten Variante. Dabei hat jeder Entscheidungsträger (ET) seine eigenen subjektiven Vorstellungen davon, was für ihn in einer konkreten Wahlsituation vorzuziehen ist.

Es gibt eine Vielzahl von Aufgaben, für die ein mathematisches Wahlmodell erstellt werden kann, bei dem der Begriff der besten Variante durch die Angabe einer oder mehrerer numerischer Effizienzkennzahlen oder Qualitätskriterien für die Lösung formalisiert wird. Diese Kennzahlen, obwohl vom Entscheidungsträger festgelegt, haben einen objektiven Charakter, der durch den Inhalt der zu lösenden Aufgabe bestimmt wird, und werden durch Funktionen ausgedrückt, die von den Variablen abhängen, mit denen die Eigenschaften der Varianten gemessen werden. In solchen Fällen wird als die für den Entscheidungsträger am meisten bevorzugte Lösungsvariante die sogenannte optimale Variante angesehen, die dem Extremwert einer oder mehrerer Effizienzkennzahlen unter den gegebenen Bedingungen entspricht.

Ein grundlegender Punkt bei der Formulierung eines optimalen Wahlproblems ist die Möglichkeit, die Problemsituation und die Präferenzen des Entscheidungsträgers in quantitativer Form zu beschreiben. Das bedeutet erstens, dass die möglichen Lösungsvarianten (Alternativen, Objekte, Handlungsweisen) durch quantitative Merkmale (Variablen, Parameter, Attribute) definiert werden, die mit numerischen Skalen gemessen werden. Zweitens müssen quantitative Kennzahlen (Optimalitätskriterien, Effizienzkennzahlen, Zielfunktionen, Wertfunktionen) vorgegeben sein, nach deren Wert die Qualität der gewählten Variante beurteilt wird. Solche Situationen sind charakteristisch für gut strukturierte Probleme und wiederkehrende Wahlsituationen, wie sie typisch für das Operations Research und die optimale Steuerung sind.

Zur Analyse möglicher Lösungsvarianten für ein Problem (Methoden zur Zielerreichung) und zur Auswahl einer oder mehrerer der besten unter ihnen werden formale Modelle der optimalen Wahl erstellt. Das Modell bietet eine vereinfachte Darstellung des realen Problems und sollte die wichtigsten und objektiv existierenden Abhängigkeiten und Zusammenhänge zwischen den Varianten, ihren beschreibenden Merkmalen und den Einschränkungen, die durch steuerbare und nicht steuerbare Faktoren gegeben sind, widerspiegeln. Die Erstellung eines solchen Modells ist die Aufgabe von beratenden Analysten und Experten unter Beteiligung des Entscheidungsträgers. Bei der Erstellung eines Wahlmodells müssen die Angemessenheit und Detailliertheit des Modells mit der erforderlichen Genauigkeit der Lösung für das reale Wahlproblem sowie mit dem Umfang der für die Lösungsfindung benötigten Informationen – sowohl der bereits vorhandenen als auch der zusätzlich zu beschaffenden – in Einklang gebracht werden.

Grenzen des Optimierungsansatzes

Optimierungsprobleme sind streng formale mathematische Aufgaben. Der praktische Wert der Lösungen solcher Aufgaben hängt direkt davon ab, wie gut das ursprüngliche mathematische Modell ist. In komplexen Systemen ist die mathematische Modellierung schwierig, annähernd und ungenau. Je komplexer ein System ist, desto vorsichtiger sollte man mit seiner Optimierung umgehen.

Aus der Perspektive der Systemanalyse lässt sich die Haltung zur Optimierung wie folgt formulieren: Sie ist ein mächtiges Werkzeug zur Effizienzsteigerung, das jedoch mit zunehmender Komplexität des Problems immer vorsichtiger eingesetzt werden sollte.

Bei aller offensichtlichen Nützlichkeit der Optimierungsidee erfordert die Praxis einen vorsichtigen Umgang mit ihr. Für diese Schlussfolgerung gibt es triftige Gründe.

1. Die optimale Lösung erweist sich oft als instabil: Geringfügige, auf den ersten Blick unbedeutende Änderungen der Problembedingungen können zur Wahl wesentlich anderer Alternativen führen.
2. Das betrachtete System ist Teil eines größeren Gesamtsystems. In diesem Fall führt eine lokale Optimierung nicht zwangsläufig zu dem Ergebnis, das vom Teilsystem bei der Optimierung des Gesamtsystems gefordert wird. Dies führt zur Notwendigkeit, die Kriterien der Teilsysteme mit den Kriterien des Gesamtsystems abzustimmen, was eine lokale Optimierung oft überflüssig macht.
3. Kriterien charakterisieren das Ziel nur indirekt, mal besser, mal schlechter, aber immer nur annähernd. Die Maximierung des Optimalitätskriteriums wird oft mit dem Ziel gleichgesetzt, obwohl es sich in Wirklichkeit um unterschiedliche Dinge handelt. Tatsächlich verhalten sich Kriterium und Ziel zueinander wie Modell und Original, mit allen daraus folgenden Besonderheiten. Viele Ziele sind schwer oder gar nicht quantitativ zu beschreiben.
4. Wenn nicht alle notwendigen Nebenbedingungen festgelegt werden, können wir gleichzeitig mit der Maximierung des Hauptkriteriums unvorhergesehene und unerwünschte Nebeneffekte erhalten.

Literatur

• Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. — М.: Наука, 1988. (Oder eine spätere Auflage)
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (Ausgabe angeben, z.B. 10. Aufl., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education.