Optimalizace
Optimální — nejlepší za daných podmínek. Kvalita se hodnotí pomocí kritéria optimality a podmínky jsou zadány ve formě omezení na doplňující kritéria.
Snaha o zvyšování efektivity práce, tvůrčí činnosti a jakékoli cílevědomé aktivity je přirozenou lidskou tendencí, která jakoby nalezla své vyjádření, jasnou a srozumitelnou podobu v myšlence optimality. Rozdíl mezi přísně vědeckým a „obecně přijímaným", každodenním chápáním optimality je velmi malý. Je pravda, že výrazy jako „nejoptimálnější" nebo „dosáhneme maximálního efektu při minimálních nákladech" jsou matematicky nepřesné, avšak osoby, které tyto výrazy používají, ve skutečnosti pouze nepřesně a nešikovně vyjadřují správnou myšlenku: jakmile se jedná o konkrétní optimalizaci, rychle a snadno opravují formulace.
Optimalizace — v matematice, informatice a výzkumu operací je to úloha nalezení extrému (minima nebo maxima) účelové funkce v určité oblasti konečnorozměrného vektorového prostoru, omezené sadou lineárních a/nebo nelineárních rovností a/nebo nerovností.
Optimalizační modely
Optimalizační model — je model rozhodování obsahující ukazatel efektivnosti (účelovou funkci), který je nutné optimalizovat při splnění sady zadaných omezení.
Optimalizační modely jsou určeny ke stanovení optimálních (nejlepších) parametrů modelovaného objektu z hlediska určitého kritéria, nebo k hledání optimálního (nejlepšího) režimu řízení určitého procesu. Část parametrů modelu se označuje jako řídicí parametry, jejichž změnou lze získávat různé varianty sad hodnot výstupních parametrů. Zpravidla jsou tyto modely konstruovány s využitím jednoho nebo několika deskriptivních modelů a zahrnují určité kritérium umožňující vzájemné porovnávání různých variant sad hodnot výstupních parametrů za účelem výběru nejlepší. Na oblast hodnot vstupních parametrů mohou být uložena omezení ve formě rovností a nerovností, spojená se zvláštnostmi posuzovaného objektu nebo procesu. Cílem optimalizačních modelů je hledání takových přípustných řídicích parametrů, při nichž kritérium výběru dosahuje své „nejlepší hodnoty".
Optimalizační modely výzkumu operací
Úloha se formuluje ve formě matematického modelu. Typický matematický model výzkumu operací je představen v následující formulaci:
Maximalizace nebo minimalizace účelové funkce za podmínky splnění omezení
Optimálními se nazývají řešení, která jsou z toho či onoho hlediska preferována před ostatními. Každý výběr nejlepší varianty je konkrétní, neboť je založen na souladu se stanovenými kritérii. Hovoří-li se o optimální variantě, uvádějí se tato kritéria („optimální podle…"). To, co je optimální při jednom kritériu, nemusí být nutně optimální při jiném.
Přípustné řešení — pokud splňuje všechna omezení modelu. Přípustných řešení může být v jednotlivých případech nekonečně mnoho.
Optimální řešení — pokud je kromě toho, že je přípustné, účelová funkce v tomto řešení dosahuje maximální nebo minimální hodnoty.
Optimalizace — maximalizace nebo minimalizace účelové funkce.
Optimální řešení — přípustná sada hodnot proměnných rozhodnutí, která optimalizuje účelovou funkci optimalizačního modelu.
Model optimálního výběru
Velké množství prakticky se vyskytujících úloh výběru se redukuje na nalezení nejlepších nebo pro člověka nejpreferovanějších variant, a často na hledání jediné nejlepší varianty. Přitom každý rozhodovatel (ŘO) má vlastní subjektivní představy o tom, co je pro něj preferované v konkrétní situaci výběru.
Existuje poměrně mnoho úloh, pro které lze sestavit matematický model výběru, kde pojem nejlepší varianty se formalizuje zadáním jednoho nebo několika číselných ukazatelů efektivnosti nebo kritérií kvality řešení. Tyto ukazatele, ačkoli jsou zadávány ŘO, mají objektivní charakter daný obsahem řešené úlohy a jsou vyjádřeny určitými funkcemi závislými na proměnných, jimiž se měří vlastnosti variant. V takových případech se za nejpreferovanější variantu řešení úlohy výběru pro ŘO považuje tzv. optimální varianta, která odpovídá extrémní hodnotě jednoho nebo několika ukazatelů efektivnosti řešení za stávajících podmínek.
Principiálním momentem pro formulaci úlohy optimálního výběru je možnost popisu problémové situace a preferencí ŘO v kvantitativní formě. To znamená, že zaprvé možné varianty řešení (alternativy, objekty, způsoby jednání) jsou určeny kvantitativními znaky (proměnnými, parametry, atributy) měřenými pomocí číselných škál. Zadruhé musí být zadány rovněž kvantitativní ukazatele (kritéria optimality, ukazatele efektivnosti, účelové funkce, funkce hodnoty), podle jejichž velikosti se hodnotí kvalita zvolené varianty. Situace tohoto druhu jsou charakteristické pro dobře strukturovatelné problémy a opakující se situace výběru, typické pro výzkum operací a optimální řízení.
Pro analýzu možných variant řešení problému (způsobů dosažení cíle) a výběr jedné nebo několika nejlepších variant se sestavují formální modely optimálního výběru. Model poskytuje zjednodušené zobrazení reálného problému a musí odrážet nejdůležitější a objektivně existující závislosti a vazby mezi variantami, popisujícími je znaky a omezeními, která jsou dána řízenými i neřízenými faktory. Sestavení takového modelu je úkolem konzultantů-analytiků a expertů za účasti ŘO. Při sestavování modelu výběru je třeba poměřovat adekvátnost a podrobnost modelu s přesností požadovaného řešení reálné úlohy výběru, jakož i s objemem informací potřebných k hledání řešení — jak těch, které jsou k dispozici, tak těch, které jsou získávány dodatečně.
Omezení optimalizačního přístupu
Optimalizační problémy jsou přísně formálními matematickými úlohami. Praktický význam řešení takových úloh přímo závisí na tom, jak dobrý je výchozí matematický model. Ve složitých systémech je matematické modelování obtížné, přibližné, nepřesné. Čím složitější je systém, tím opatrněji je třeba přistupovat k jeho optimalizaci.
Z hlediska systémové analýzy lze postoj k optimalizaci formulovat takto: je to mocný prostředek zvyšování efektivnosti, avšak je třeba jej používat stále opatrněji s rostoucí složitostí problému.
Při vší zjevné užitečnosti myšlenky optimalizace praxe vyžaduje opatrné zacházení s ní. Pro tento závěr existují poměrně závažné důvody.
- Optimální řešení se často ukáže jako nestabilní: zdánlivě nevýznamné změny v podmínkách úlohy mohou vést k volbě podstatně odlišných alternativ.
- Posuzovaný systém je součástí nějakého většího systému, a pak lokální optimalizace nemusí vůbec vést ke stejnému výsledku, který bude od podsystému vyžadován při optimalizaci systému jako celku. To vede k nutnosti slaďovat kritéria podsystémů s kritérii systému, přičemž lokální optimalizace se tak často stává zbytečnou.
- Kritéria charakterizují cíl pouze nepřímo, někdy lépe, někdy hůře, ale vždy přibližně. Maximalizace kritéria optimality je často ztotožňována s cílem, avšak ve skutečnosti jsou to různé věci. Kritérium a cíl se ve skutečnosti k sobě vztahují jako model a originál, se všemi z toho plynoucími zvláštnostmi. Mnoho cílů je obtížné nebo dokonce nemožné kvantitativně popsat.
- Nezadáme-li všechna nezbytná omezení, můžeme současně s maximalizací hlavního kritéria získat nepředvídané a nežádoucí průvodní efekty.
Literatura
- Vencel, J. S. Výzkum operací: úlohy, principy, metodologie. — M.: Nauka, 1988. (Nebo novější vydání)
- Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (Uvést vydání, např. 10th ed., 2017)
- Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education.