Optimalizálás

Optimális — a legjobb az adott feltételek mellett. A minőséget az optimalitási kritérium segítségével értékelik, a feltételeket pedig a kiegészítő kritériumokra vonatkozó korlátok formájában adják meg.

A munka, az alkotás, minden célirányos tevékenység hatékonyságának növelésére való törekvés – ez az ember természetes törekvése – mintegy megtalálta kifejezési formáját, világos és érthető alakját az optimalitás eszméjében. A szigorúan tudományos és az „általánosan elfogadott", hétköznapi optimalitás-értelmezés közötti különbség egészen csekély. Igaz, az olyan kifejezések, mint „a legoptimálisabb" vagy „maximális hatást érünk el minimális ráfordítással", matematikailag pontatlanok, de az ezeket a kifejezéseket használó személyek valójában csupán pontatlanul és szerencsétlenül fogalmazzák meg a helyes gondolatot: mihelyt konkrét optimalizálásra kerül sor, gyorsan és könnyen helyesbítik a megfogalmazásokat.

Az optimalizálás — a matematikában, az informatikában és az operációkutatásban egy célfüggvény extrémumának (minimumának vagy maximumának) megkeresésére irányuló feladat egy véges dimenziójú vektortér valamely tartományában, amelyet lineáris és/vagy nemlineáris egyenletek és/vagy egyenlőtlenségek rendszere korlátoz.

Optimalizálási modellek

Optimalizálási modell — olyan döntési modell, amely egy hatékonysági mutatót (célfüggvényt) tartalmaz, amelyet egy adott korlátrendszer betartása mellett kell optimalizálni.

Az optimalizálási modellek rendeltetése, hogy meghatározzák a modellezett objektum valamely kritérium szempontjából optimális (legjobb) paramétereit, vagy megkeressék valamely folyamat optimális (legjobb) irányítási módját. A modell paramétereinek egy részét irányítási paramétereknek tekintik, amelyek megváltoztatásával a kimeneti paraméterek értékkészletének különböző változatai kaphatók. Általában ezek a modellek egy vagy több leíró modell felhasználásával épülnek fel, és tartalmaznak valamely kritériumot, amely lehetővé teszi a kimeneti paraméterek különböző értékkészlet-változatainak összehasonlítását a legjobb kiválasztása céljából. A bemeneti paraméterek értékkészletére egyenletek és egyenlőtlenségek formájában korlátok róhatók ki, amelyek a vizsgált objektum vagy folyamat sajátosságaival függnek össze. Az optimalizálási modellek célja olyan megengedett irányítási paraméterek keresése, amelyek mellett a kiválasztási kritérium eléri a „legjobb értékét".

Az operációkutatás optimalizálási modelljei

A feladatot matematikai modell formájában fogalmazzák meg. Az operációkutatás tipikus matematikai modelljét a következő megfogalmazásban adják meg:

A célfüggvény maximalizálása vagy minimalizálása a korlátok teljesítése mellett

Optimálisnak nevezzük azokat a megoldásokat, amelyek egyik-másik ismérv alapján előnyösebbek a többinél. Minden legjobb változat kiválasztása konkrét, mivel a megállapított kritériumoknak való megfelelésen alapul. Az optimális változatról szólva meg kell jelölni ezeket a kritériumokat („optimális … szerint"). Ami az egyik kritérium szerint optimális, az nem feltétlenül lesz az egy másik szerint.

Megengedett megoldás — ha az a modell összes korlátját kielégíti. A megengedett megoldások száma egyes esetekben végtelen lehet.

Optimális megoldás — ha azon felül, hogy megengedett, a célfüggvény ebben a megoldásban maximális vagy minimális értékét veszi fel.

Optimalizálás — a célfüggvény maximalizálása vagy minimalizálása.

Optimális megoldás — a döntési változók megengedett értékkészlete, amely az optimalizálási modell célfüggvényét optimalizálja.

Az optimális választás modellje

A gyakorlatban előforduló választási feladatok nagy száma visszavezethető a legjobb vagy az ember számára leginkább előnyös változatok megkeresésére, nem ritkán pedig az egyetlen legjobb változat felkutatására. Eközben minden döntéshozónak (DH) megvannak a saját szubjektív elképzelései arról, hogy egy adott választási helyzetben mi az, ami számára előnyös.

Elég sok olyan feladat létezik, amelyekhez felépíthető a választás matematikai modellje, ahol a legjobb változat fogalma egy vagy több numerikus hatékonysági mutató, illetve a megoldás minőségi kritériuma révén formalizálható. Ezek a mutatók, bár a DH adja meg őket, objektív jelleggel bírnak, amelyet a megoldandó feladat tartalma határoz meg, és olyan függvényekkel fejezhetők ki, amelyek a változóktól függenek, amelyekkel a változatok tulajdonságait mérik. Ilyen esetekben a DH számára a választási feladat leginkább előnyös megoldási változatának az úgynevezett optimális változatot szokás tekinteni, amely a megoldás egy vagy több hatékonysági mutatójának extrémális értékének felel meg a fennálló feltételek mellett.

Az optimális választás feladatának megfogalmazása szempontjából alapvető fontosságú a problémás helyzet és a DH preferenciáinak kvantitatív formában való leírhatósága. Ez azt jelenti, hogy egyrészt a lehetséges döntési változatokat (alternatívákat, objektumokat, cselekvési módokat) kvantitatív ismérvek (változók, paraméterek, attribútumok) határozzák meg, amelyeket numerikus skálákkal mérnek. Másrészt meg kell adni kvantitatív mutatókat is (optimalitási kritériumokat, hatékonysági mutatókat, célfüggvényeket, értékfüggvényeket), amelyek nagysága alapján értékelik a kiválasztott változat minőségét. Az ilyen jellegű helyzetek a jól strukturálható problémákra és az ismétlődő választási szituációkra jellemzők, amelyek tipikusak az operációkutatásban és az optimális irányításban.

A probléma lehetséges megoldási változatainak (a cél elérésének módjainak) elemzéséhez és a köztük lévő egy vagy több legjobb változat kiválasztásához formális optimális választási modelleket építenek fel. A modell egyszerűsített képet ad a valós problémáról, és tükröznie kell a változatok, az azokat leíró ismérvek és korlátok közötti legfontosabb és objektíven fennálló függőségeket és összefüggéseket, amelyeket az irányítható és nem irányítható tényezők határoznak meg. Egy ilyen modell felépítése a tanácsadó-elemzők és szakértők feladata a DH közreműködésével. A választási modell felépítésekor össze kell vetni a modell adekvátsságát és részletességét a valós választási feladat megoldásának szükséges pontosságával, valamint a megoldás kereséséhez szükséges információ mennyiségével – mind a rendelkezésre állóval, mind a kiegészítően megszerzendővel.

Az optimalizálási megközelítés korlátai

Az optimalizálási problémák szigorúan formális matematikai feladatok. Az ilyen feladatok megoldásainak gyakorlati jelentősége közvetlenül függ attól, mennyire jó a kiindulási matematikai modell. Összetett rendszerekben a matematikai modellezés nehézkes, hozzávetőleges, pontatlan. Minél összetettebb egy rendszer, annál óvatosabban kell viszonyulni az optimalizálásához.

A rendszerelemzés szemszögéből az optimalizáláshoz való viszonyt a következőképpen lehet megfogalmazni: ez a hatékonyság növelésének hatékony eszköze, de annál óvatosabban kell alkalmazni, minél nagyobb a probléma összetettsége.

Az optimalizálás eszméjének nyilvánvaló hasznosságát tekintve a gyakorlat megköveteli az óvatos bánásmódot vele. Erre a következtetésre elég nyomós okok vannak.

1. Az optimális megoldás gyakran bizonyul instabilnak: a feladat feltételeiben első pillantásra csekélynek tűnő változások lényegesen eltérő alternatívák megválasztásához vezethetnek.
2. A vizsgált rendszer egy nagyobb rendszer része, és ilyenkor a lokális optimalizálás korántsem szükségszerűen vezet ugyanahhoz az eredményhez, amelyet az alrendszertől az egész rendszer optimalizálásakor megkövetelnek. Ez szükségessé teszi az alrendszerek kritériumainak a rendszer kritériumaival való összekapcsolását, ami sokszor feleslegessé teszi a lokális optimalizálást.
3. A kritériumok csak közvetve jellemzik a célt, néha jobban, néha kevésbé, de mindig közelítőleg. Az optimalitási kritérium maximalizálását gyakran azonosítják a céllal, holott valójában két különböző dologról van szó. Valójában a kritérium és a cél úgy viszonyulnak egymáshoz, mint a modell és az eredeti, mindebből eredő sajátosságokkal együtt. Sok célt nehéz, sőt lehetetlen kvantitatívan leírni.
4. Ha nem adjuk meg az összes szükséges korlátot, az alapkritérium maximalizálásával egyidejűleg előre nem látott és nemkívánatos mellékhatásokat kaphatunk.

Irodalom

• Vencel, J. Sz. Operációkutatás: feladatok, elvek, módszertan. — M.: Nauka, 1988. (Vagy egy újabb kiadás)
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (Adja meg a kiadást, pl. 10th ed., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education.