Optimalisatie

Optimaal — het beste onder gegeven omstandigheden. De kwaliteit wordt beoordeeld met behulp van een optimaliteitscriterium, en de omstandigheden worden vastgesteld in de vorm van beperkingen op aanvullende criteria.

De drang om de efficiëntie van arbeid, creativiteit en elke doelgerichte activiteit te verbeteren is een natuurlijke menselijke eigenschap die als het ware zijn uitdrukking heeft gevonden, een heldere en begrijpelijke vorm, in het idee van optimaliteit. Het verschil tussen het strikt wetenschappelijke en het 'algemeen aanvaarde', alledaagse begrip van optimaliteit is heel klein. Weliswaar zijn uitdrukkingen als 'het meest optimaal' of 'we bereiken het maximale effect bij minimale kosten' wiskundig onjuist, maar de personen die deze uitdrukkingen gebruiken, drukken eigenlijk gewoon slordig en ongelukkig een juiste gedachte uit: zodra het om concrete optimalisatie gaat, corrigeren zij de formuleringen snel en gemakkelijk.

Optimalisatie — in de wiskunde, informatica en operations research de taak om een extremum (minimum of maximum) van een doelfunctie te vinden in een bepaald gebied van een eindigdimensionale vectorruimte, begrensd door een verzameling lineaire en/of niet-lineaire gelijkheden en/of ongelijkheden.

Optimalisatiemodellen

Een optimalisatiemodel is een beslissingsmodel dat een efficiëntiemaatstaf (doelfunctie) bevat die geoptimaliseerd moet worden onder de voorwaarde dat een reeks gegeven beperkingen in acht wordt genomen.

Optimalisatiemodellen zijn bedoeld om de optimale (beste) parameters van een gemodelleerd object te bepalen vanuit het oogpunt van een bepaald criterium, of om het optimale (beste) beheersregime van een bepaald proces te vinden. Een deel van de modelparameters wordt aangemerkt als beheerparameters; door deze te wijzigen kunnen verschillende varianten van sets uitvoerparameterwaarden worden verkregen. In de regel worden deze modellen opgebouwd met behulp van een of meer descriptieve modellen en bevatten ze een criterium waarmee verschillende varianten van sets uitvoerparameterwaarden onderling kunnen worden vergeleken om de beste te selecteren. Op het waardebereik van de invoerparameters kunnen beperkingen worden opgelegd in de vorm van gelijkheden en ongelijkheden, gerelateerd aan de bijzonderheden van het beschouwde object of proces. Het doel van optimalisatiemodellen is het vinden van zodanige toelaatbare beheerparameters waarbij het selectiecriterium zijn 'beste waarde' bereikt.

Optimalisatiemodellen in operations research

De taak wordt geformuleerd als een wiskundig model. Het typische wiskundige model in operations research wordt gepresenteerd in de volgende formulering:

Maximalisatie of minimalisatie van de doelfunctie, onder de voorwaarde dat de beperkingen worden nageleefd

Als optimaal worden die oplossingen beschouwd die op een of andere grond de voorkeur verdienen boven andere. Elke keuze van de beste variant is concreet, omdat ze gebaseerd is op de overeenstemming met vastgestelde criteria. Wanneer men over een optimale variant spreekt, worden deze criteria vermeld («optimaal volgens…»). Wat optimaal is bij het ene criterium, hoeft dat niet noodzakelijk te zijn bij een ander.

Een toelaatbare oplossing — als deze voldoet aan alle beperkingen van het model. In bepaalde gevallen kan er een oneindig aantal toelaatbare oplossingen zijn.

Een optimale oplossing — als deze niet alleen toelaatbaar is, maar de doelfunctie in deze oplossing ook zijn maximale of minimale waarde bereikt.

Optimalisatie — maximalisatie of minimalisatie van de doelfunctie.

Optimale oplossing — een toelaatbare set waarden van de beslissingsvariabelen die de doelfunctie van het optimalisatiemodel optimaliseert.

Model van optimale keuze

Een groot aantal in de praktijk voorkomende keuzeproblemen komt neer op het vinden van de beste of meest gewenste varianten voor een persoon, en dikwijls op het zoeken naar de enig beste variant. Daarbij heeft elke beslisser (DM) zijn eigen subjectieve opvattingen over wat voor hem in een concrete keuzesituatie de voorkeur verdient.

Er zijn vrij veel problemen waarvoor een wiskundig keuzemodel kan worden opgebouwd, waarbij het begrip 'beste variant' wordt geformaliseerd door het definiëren van een of meer numerieke efficiëntiemaatstaven of kwaliteitscriteria van de oplossing. Deze maatstaven worden weliswaar door de DM bepaald, maar dragen een objectief karakter dat wordt bepaald door de inhoud van het op te lossen probleem, en worden uitgedrukt door functies die afhangen van variabelen waarmee de eigenschappen van de varianten worden gemeten. In dergelijke gevallen wordt de meest gewenste variant voor de DM doorgaans beschouwd als de zogenaamde optimale variant, die overeenkomt met de extremale waarde van een of meer efficiëntiemaatstaven van de oplossing onder de bestaande omstandigheden.

Een principieel punt voor de formulering van het optimale keuzevraagstuk is de mogelijkheid om de probleemситуatie en de voorkeuren van de DM in kwantitatieve vorm te beschrijven. Dit betekent dat, ten eerste, de mogelijke oplossingen (alternatieven, objecten, handelwijzen) worden gedefinieerd door kwantitatieve kenmerken (variabelen, parameters, attributen) die worden gemeten met behulp van numerieke schalen. Ten tweede moeten er kwantitatieve maatstaven zijn (optimaliteitscriteria, efficiëntiemaatstaven, doelfuncties, waardenfuncties) waarmee de kwaliteit van de gekozen variant wordt beoordeeld op basis van hun grootte. Dergelijke situaties zijn kenmerkend voor goed gestructureerde problemen en terugkerende keuzesituaties, die typisch zijn voor operations research en optimale besturing.

Voor de analyse van mogelijke oplossingen voor het probleem (manieren om het doel te bereiken) en de selectie van een of meer beste varianten worden formele modellen van optimale keuze opgebouwd. Het model geeft een vereenvoudigde weergave van het werkelijke probleem en moet de meest belangrijke en objectief bestaande afhankelijkheden en verbanden tussen de varianten, de daarmee beschreven kenmerken en de beperkingen die worden opgelegd door beheersbare en onbeheersbare factoren, weerspiegelen. Het opbouwen van een dergelijk model is de taak van advies-analisten en experts, met deelname van de DM. Bij het opbouwen van het keuzemodel moet men de adequaatheid en detaillering van het model afwegen tegen de vereiste nauwkeurigheid van de oplossing van het werkelijke keuzevraagstuk, alsmede tegen de hoeveelheid informatie die nodig is voor het vinden van de oplossing — zowel de beschikbare als de aanvullend te verkrijgen informatie.

Beperkingen van de optimalisatiebenadering

Optimalisatieproblemen zijn strikt formele wiskundige vraagstukken. De praktische waarde van de oplossingen van dergelijke problemen hangt rechtstreeks af van hoe goed het onderliggende wiskundige model is. In complexe systemen is wiskundige modellering moeilijk, benaderd en onnauwkeurig. Hoe complexer het systeem, hoe voorzichtiger men moet omgaan met de optimalisatie ervan.

Vanuit het perspectief van systeemanalyse kan de verhouding tot optimalisatie als volgt worden geformuleerd: het is een krachtig middel om de efficiëntie te verhogen, maar naarmate de complexiteit van het probleem toeneemt, dient men er steeds voorzichtiger mee om te gaan.

Ondanks het voor de hand liggende nut van het optimalisatie-idee vereist de praktijk dat men er behoedzaam mee omgaat. Daarvoor zijn vrij zwaarwegende redenen.

1. De optimale oplossing blijkt vaak instabiel te zijn: op het eerste gezicht geringe wijzigingen in de probleemomstandigheden kunnen leiden tot de keuze van wezenlijk verschillende alternatieven.
2. Het beschouwde systeem maakt deel uit van een groter systeem, en lokale optimalisatie leidt dan niet noodzakelijk tot hetzelfde resultaat dat van het subsysteem wordt gevraagd bij optimalisatie van het systeem als geheel. Dit leidt tot de noodzaak om de criteria van subsystemen af te stemmen op de criteria van het systeem, waardoor lokale optimalisatie vaak overbodig wordt.
3. Criteria karakteriseren het doel slechts indirect, soms beter, soms minder goed, maar altijd bij benadering. Maximalisatie van het optimaliteitscriterium wordt vaak vereenzelvigd met het doel, maar in werkelijkheid zijn dit verschillende dingen. Feitelijk verhouden criterium en doel zich tot elkaar als model en origineel, met alle daaruit voortvloeiende bijzonderheden. Veel doelen zijn moeilijk of zelfs onmogelijk kwantitatief te beschrijven.
4. Als we niet alle noodzakelijke beperkingen hebben gedefinieerd, kunnen we tegelijkertijd met de maximalisatie van het hoofdcriterium onvoorziene en ongewenste neveneffecten krijgen.

Literatuur

• Wentzel, J.S. Operations research: vraagstukken, principes, methodologie. — M.: Nauka, 1988. (Of een latere editie)
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (Editie vermelden, bijv. 10th ed., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education.