Optimal solution (optimization) — इष्टतम समाधान

इष्टतम समाधान — संक्रिया अनुसंधान, अनुकूलन और निर्णय सिद्धांत में यह एक ऐसा स्वीकार्य समाधान (अर्थात् जो समस्या की सभी बाधाओं को संतुष्ट करता हो) है, जो उद्देश्य फलन का चरम (अधिकतम या न्यूनतम, समस्या की संरचना के आधार पर) मान सुनिश्चित करता है।

इष्टतम समाधान की खोज अधिकांश अनुकूलन समस्याओं को हल करने का मुख्य लक्ष्य है।

सार और विशेषताएँ

इष्टतम समाधान में दो प्रमुख विशेषताएँ होती हैं:

1. स्वीकार्यता: इसे मॉडल के चरों पर लगाई गई सभी बाधाओं को संतुष्ट करना चाहिए। दूसरे शब्दों में, इष्टतम समाधान सदैव स्वीकार्य समाधानों के क्षेत्र (ОДР) में होता है। 2. उद्देश्य फलन के अनुसार चरमता: सभी स्वीकार्य समाधानों में से यह उद्देश्य फलन का सर्वोत्तम (अधिकतम या न्यूनतम) मान प्रदान करता है, जो इष्टतमता के मानदंड को औपचारिक रूप देता है।

प्रत्येक स्वीकार्य समाधान इष्टतम नहीं होता, किंतु प्रत्येक इष्टतम समाधान का स्वीकार्य होना अनिवार्य है।

स्वीकार्य समाधानों के क्षेत्र से संबंध

स्वीकार्य समाधानों का क्षेत्र (ОДР) उन सभी विकल्पों (चरों के मानों के समुच्चय) का समूह है, जो समस्या की बाधाओं को संतुष्ट करते हैं। इष्टतम समाधान इस क्षेत्र में वह बिंदु (या बिंदु) है जहाँ उद्देश्य फलन अपना चरम मान प्राप्त करता है। यदि ОДР रिक्त है, तो समस्या में न स्वीकार्य और न ही इष्टतम समाधान होते हैं।

उद्देश्य फलन और बाधाओं की भूमिका

• बाधाएँ संभावित समाधानों का समुच्चय (ОДР) निर्धारित करती हैं।
• उद्देश्य फलन यह निर्धारित करता है कि इन संभावित समाधानों में से कौन सा सर्वोत्तम (इष्टतम) है।

उद्देश्य फलन के बिना यह निर्धारित करना असंभव है कि कौन सा स्वीकार्य समाधान इष्टतम है। बाधाओं के बिना समस्या तुच्छ हो सकती है या उसका कोई परिमित इष्टतम समाधान नहीं हो सकता (उदाहरण के लिए, बाधाओं के बिना रैखिक फलन का अधिकतमीकरण)।

इष्टतम समाधान की अद्वितीयता

इष्टतम समाधान सदैव अद्वितीय नहीं होता। कुछ समस्याओं में (उदाहरण के लिए, रैखिक प्रोग्रामिंग में, यदि उद्देश्य फलन किसी सक्रिय बाधा के समानांतर हो) इष्टतम समाधानों का एक अनंत समुच्चय हो सकता है, जिनका उद्देश्य फलन का मान समान होता है। तथापि, इष्टतम बिंदु (बिंदुओं) पर उद्देश्य फलन का मान सदैव अद्वितीय होता है (यदि इष्टतम अस्तित्व में है)।

खोज की विधियाँ

संक्रिया अनुसंधान में इष्टतम समाधान खोजने के लिए, मॉडल के प्रकार के आधार पर, विभिन्न गणितीय विधियों का उपयोग किया जाता है:

• सिम्प्लेक्स-विधि (रैखिक प्रोग्रामिंग के लिए)
• प्रवणता अवरोह की विधियाँ और अन्य संख्यात्मक विधियाँ (अरैखिक प्रोग्रामिंग के लिए)
• शाखा और सीमा की विधि, छेदन विधियाँ (पूर्णांक प्रोग्रामिंग के लिए)
• गतिशील प्रोग्रामिंग की विधियाँ

मॉडल पर निर्भरता

यह समझना महत्वपूर्ण है कि कोई समाधान केवल स्वीकृत गणितीय मॉडल के ढाँचे में इष्टतम होता है। यदि मॉडल वास्तविक स्थिति को अपर्याप्त रूप से प्रतिबिंबित करता है (उद्देश्य फलन गलत चुना गया हो, महत्वपूर्ण बाधाएँ या निर्भरताएँ ध्यान में न ली गई हों), तो औपचारिक रूप से प्राप्त इष्टतम समाधान व्यवहार में अप्रभावी या यहाँ तक कि त्रुटिपूर्ण सिद्ध हो सकता है।

बहुमानदंड समस्याओं में इष्टतमता

कई उद्देश्य फलनों वाली समस्याओं (बहुमानदंड अनुकूलन) में एकल इष्टतम समाधान की अवधारणा को प्रायः पारेतो-इष्टतमता की अवधारणा से प्रतिस्थापित किया जाता है। पारेतो-इष्टतम समाधान वह स्वीकार्य समाधान है जिसके लिए किसी एक उद्देश्य फलन के मान को कम से कम किसी अन्य उद्देश्य फलन के मान को खराब किए बिना सुधारना संभव नहीं है।

साहित्य

• वेंत्सेल ई. एस. संक्रिया अनुसंधान: समस्याएँ, सिद्धांत, कार्यप्रणाली। — मॉस्को: नाउका, 1988।
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)

यह भी देखें

• संक्रिया अनुसंधान
• अनुकूलन
• गणितीय मॉडल
• उद्देश्य फलन
• बाधाएँ
• स्वीकार्य समाधानों का क्षेत्र
• स्वीकार्य समाधान
• मानदंड
• निर्णय सिद्धांत
• बहुमानदंड अनुकूलन
• पारेतो-इष्टतमता
• चरम मान