Optimal Çözüm (Optimizasyon)

Optimum çözüm — yöneylem araştırması, optimizasyon ve karar teorisinde, bir problemin tüm kısıtlarını sağlayan (yani kabul edilebilir olan) ve amaç fonksiyonunun ekstremum (problemin yapısına bağlı olarak maksimum veya minimum) değerini veren kabul edilebilir çözümdür.

Optimum çözümün bulunması, çoğu optimizasyon probleminin temel amacını oluşturur.

Öz ve Nitelikler

Optimum çözüm iki temel niteliğe sahiptir:

1. Kabul edilebilirlik: Model değişkenlerine uygulanan tüm kısıtları sağlamalıdır. Başka bir deyişle, optimum çözüm her zaman kabul edilebilir çözümler bölgesine (KÇB) aittir. 2. Amaç fonksiyonuna göre ekstremum: Tüm kabul edilebilir çözümler arasında, optimum kriterini biçimselleştiren amaç fonksiyonunun en iyi (maksimum veya minimum) değerini verir.

Her kabul edilebilir çözüm optimum değildir; ancak her optimum çözümün mutlaka kabul edilebilir olması gerekir.

Kabul Edilebilir Çözümler Bölgesiyle İlişkisi

Kabul edilebilir çözümler bölgesi (KÇB), problemin kısıtlarını sağlayan tüm alternatiflerin (değişken değerleri kümelerinin) oluşturduğu kümedir. Optimum çözüm, bu bölgede amaç fonksiyonunun ekstremumuna ulaştığı nokta (veya noktalardır). KÇB boşsa, problemin ne kabul edilebilir ne de buna bağlı olarak optimum çözümü vardır.

Amaç Fonksiyonu ve Kısıtların Rolü

• Kısıtlar, olası çözümler kümesini (KÇB) tanımlar.
• Amaç fonksiyonu, bu olası çözümler arasından hangisinin en iyi (optimum) olduğunu belirler.

Amaç fonksiyonu olmadan, kabul edilebilir çözümler arasından hangisinin optimum olduğunu belirlemek mümkün değildir. Kısıtlar olmadan ise problem önemsiz olabilir ya da sonlu bir optimum çözümü bulunmayabilir (örneğin, kısıtsız doğrusal bir fonksiyonun maksimizasyonu).

Optimum Çözümün Tekliği

Optimum çözüm her zaman tek değildir. Bazı problemlerde (örneğin doğrusal programlamada, amaç fonksiyonu aktif kısıtlardan birine paralel olduğunda) amaç fonksiyonunun aynı değerini veren sonsuz sayıda optimum çözüm bulunabilir. Ancak optimum noktadaki (noktalardaki) amaç fonksiyonu değeri her zaman tektir (optimum mevcutsa).

Bulma Yöntemleri

Yöneylem araştırmasında optimum çözümlerin bulunması için model türüne bağlı olarak çeşitli matematiksel yöntemler kullanılır:

• Simplex yöntemi (doğrusal programlama için)
• Gradyan iniş yöntemleri ve diğer sayısal yöntemler (doğrusal olmayan programlama için)
• Dal ve sınır yöntemi, kesme düzlemi yöntemleri (tam sayılı programlama için)
• Dinamik programlama yöntemleri

Modele Bağımlılık

Bir çözümün yalnızca benimsenen matematiksel model çerçevesinde optimum olduğunu anlamak önemlidir. Model gerçek durumu yetersiz biçimde yansıtıyorsa (amaç fonksiyonu yanlış seçilmişse, önemli kısıtlar veya bağımlılıklar hesaba katılmamışsa), biçimsel olarak bulunan optimum çözüm pratikte verimsiz hatta hatalı çıkabilir.

Çok Kriterli Problemlerde Optimalite

Birden fazla amaç fonksiyonu içeren problemlerde (çok kriterli optimizasyon), tek bir optimum çözüm kavramı çoğu zaman Pareto-optimalliği kavramıyla değiştirilir. Pareto-optimal çözüm, en az bir diğer amaç fonksiyonunun değerini kötüleştirmeksizin herhangi bir amaç fonksiyonunun değerini iyileştirmenin mümkün olmadığı kabul edilebilir çözümdür.

Ayrıca bakınız

• Yöneylem araştırması
• Optimizasyon
• Matematiksel model
• Amaç fonksiyonu
• Kısıtlar
• Kabul edilebilir çözümler bölgesi
• Kabul edilebilir çözüm
• Kriter
• Karar teorisi
• Çok kriterli optimizasyon
• Pareto-optimalliği
• Ekstremum

Kaynakça

• Venttsel, E. S. Yöneylem Araştırması: Problemler, İlkeler, Metodoloji. — Moskova: Nauka, 1988.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)