Operations research models — オペレーションズ・リサーチのモデル

オペレーションズ・リサーチのモデル

オペレーションズ・リサーチ（OR）は、管理や意思決定の問題を分析し解決するためにモデルを使用します。ORにおけるモデルとは、実際のオペレーションやシステムを簡略化・形式化した表現であり、その振る舞いを研究し、最善の解決策を見つけるために設計されます。

オペレーションズ・リサーチの定量的手法を適用するには、オペレーションの数理モデルを構築する必要があります。モデルを構築する際、オペレーションは通常、簡略化・図式化され、その図式が何らかの数学的ツールを用いて記述されます。オペレーションのモデルとは、数学的ツール（様々な関数、方程式、連立方程式、不等式）を用いた、オペレーションのかなり正確な記述です。オペレーションの有効性は、タスクを遂行するための適合度の度合いとして定義されます。

ORにおける問題の一般的定式化とモデルの構造

オペレーションズ・リサーチにおいて、管理状況には目標と決定が含まれます。決定は目標を達成するために行われます。管理状況はモデルによって記述されます。

モデルには、決定がどれだけ目標に近いかを判断するための明確な有効性指標が含まれます。この指標は、オペレーションに影響を与える要因に依存します。オペレーションの記述に含まれるすべての要因は、2つのグループに分類できます：

• 制御不能（定数）要因：意思決定者が影響を与えられないシステムの外部条件またはパラメータ（例：市場の需要、原材料価格、天候）。
• 制御可能（操作可能）要因：意思決定者が選択・変更できるオペレーションのパラメータ（例：生産量、配送ルート、資源配分）。これらの要因は決定変数とも呼ばれます。

概念的に、ORモデルは「ブラックボックス」として表現でき、そこでは入力と出力の定義に主眼が置かれます：

• 入力：制御可能および制御不能な変数（要因）。
• モデル：入力と出力の間の関係を記述する数学的ツール（関数、方程式、不等式）。
• 出力：有効性の基準（目的関数）。

ある関数で表現される有効性の基準を目的関数と呼びます。目的関数とは、最大化または最小化すべき、数学的に定式化（形式化）された有効性指標です。

モデルの数学的定義

ORにおける数理モデルとは、モデル化対象の許容パラメータ値の範囲内で、入力パラメータの値に対応する出力パラメータの値を決定できる、あらゆる作用素を指します。

ORの典型的な数理モデル

ORのほとんどの問題は最適化に帰着し、次のような数理モデルとして定式化されます：

制約条件を満たすという条件下で、目的関数を最大化（または最小化）する。

• 目的関数：解を評価するための基準を定量的に表現したもの（例：利益、コスト、時間）。目的関数の選択は、研究における中心的で重要な段階です。誤った基準で最適解を見つけるよりも、正しい基準で最適ではない解を見つける方が良いとされます。
• 制約条件：モデルの変数が満たさなければならない数学的な式（等式または不等式の形）。これらは、資源の実際的な制約、技術的要件、計画目標などの条件を反映します。制約条件は、可能な解の集合を狭めます。

ORモデルにおける解

• 実行可能解：モデルのすべての制約条件を満たす変数値の任意の組。すべての実行可能解の集合は、実行可能領域を形成します。このような解は無限に存在する場合がある。
• 最適解：目的関数がその極値（最大値または最小値）に達する実行可能解。最適解は（存在する場合）常に実行可能領域内に存在します。
  • 場合によっては、最適解が存在しないこともあります（例えば、実行可能領域が空であるか、目的関数が実行可能領域上で非有界である場合）。
  • 最適な解とは、与えられた最適化基準において他の解よりも望ましい解のことです。
  • 最適性は常に基準に対して相対的です（「～に関して最適」）。

オペレーションズ・リサーチのモデルの分類

ORのモデルは、様々な特徴、特に使用される数学的ツールや問題の種類によって分類することができます：

数学的構造による分類

• 線形計画法（LP）モデル：目的関数とすべての制約条件が変数の線形関数である。
• 整数LPモデル：変数の一部またはすべてが整数値を取る必要がある。

• 非線形計画法（NLP）モデル：目的関数および／または制約条件が非線形関数である。
• 凸計画法モデル：NLPの特殊なケースで、目的関数が最小化され（または凹関数が最大化され）、実行可能領域が凸集合である。

• 動的計画法（DP）モデル：時間的に段階的な意思決定が行われる問題に使用され、最適性の基準が再帰的な関係式で表現される。
• ヒューリスティックモデル：計算量が非常に大きいために厳密な最適解を見つけることが不可能な場合に適用される。「十分に良い」解を見つけるためにヒューリスティックな手法が用いられる。

ORの典型的な問題による分類

• ネットワーク計画・管理問題：一連の作業の完了期間とコストの最適化（例：クリティカルパス法）。
• 待ち行列問題（待ち行列理論）：待ち行列を持つシステムの分析と最適化（サービスチャネル数、サービス時間の決定）。
• 在庫管理問題：需要を満たしつつコストを最小化するための最適な在庫レベルと発注量の決定。
• 資源配分問題：競合するオペレーションや活動の間で限られた資源を最適に割り当てる。
• 設備の修理・交換問題：摩耗や老朽化を考慮し、設備の修理または交換を行う最適なタイミングの決定。
• ゲーム理論モデル：異なる目標を追求する複数の当事者がいる対立状況の分析と、最適戦略の探索。

参考文献

• Ventsel E. S. 『オペレーションズ・リサーチ：課題、原理、方法論』モスクワ：ナウカ出版社、1988年。
• Ackoff R. L., Sasieni M. W. 『オペレーションズ・リサーチの基礎』モスクワ：ミール出版社、1971年。
• Taha H. A. Operations Research: An Introduction. — Pearson, 2017. (10th ed.)