Objective function — उद्देश्य फलन

उद्देश्य फलन — यह एक गणितीय रूप से औपचारिकृत दक्षता मानदंड या निर्णय लेने वाले व्यक्ति (निर्णयकर्ता) की प्राथमिकता है, जिसका मान चयन या नियंत्रण की समस्या को हल करने की प्रक्रिया में अनुकूलित (अधिकतम या न्यूनतम) किया जाता है। सामान्यतः उद्देश्य फलन का मान नियंत्रित चरों (निर्णय चरों) के समुच्चय पर निर्भर करता है, जो इष्टतम विकल्प की खोज की प्रक्रिया में बदले जा सकते हैं। उद्देश्य फलन लक्ष्यों या प्राथमिकताओं की मात्रात्मक अभिव्यक्ति को प्रतिबिंबित करता है, जिसके आधार पर निर्णय का चयन किया जाता है। यह अनुकूलन, तंत्र विश्लेषण और निर्णय सिद्धांत की समस्याओं में केंद्रीय भूमिका निभाता है।

मॉडलिंग में उद्देश्य और भूमिका

उद्देश्य फलन निम्नलिखित के लिए कार्य करता है:

• लक्ष्य का औपचारिकीकरण: गुणात्मक लक्ष्यों (प्रबंधन, अभिकल्प, नियोजन) को मात्रात्मक रूप से मापनीय रूप में रूपांतरित करना।
• विकल्पों की तुलना: विभिन्न विकल्पों या रणनीतियों की वस्तुनिष्ठ तुलना के लिए एकल मानदंड प्रदान करना।
• अनुकूलन: अनुमत समाधानों के क्षेत्र में फलन के चरम मान (अधिकतम या न्यूनतम) को खोजकर सर्वोत्तम समाधान प्राप्त करना, जो प्रतिबंधों द्वारा निर्धारित होता है।

संरचना और प्रकार

गणितीय दृष्टि से उद्देश्य फलन निर्णय चरों के सदिश पर निर्भर करता है। अपने स्वरूप के अनुसार उद्देश्य फलन हो सकते हैं:

• रैखिक: रैखिक प्रोग्रामिंग की समस्याओं में प्रायः उपयोग किए जाते हैं।
• अरैखिक: इनमें अरैखिक निर्भरताएँ होती हैं (जैसे, द्विघातीय, घातांकीय, चरघातांकी)। अरैखिक प्रोग्रामिंग में उपयोग किए जाते हैं।
• चिकने या असतत।
• एकलांत (एक चरम मान वाले) या बहु-चरम।

इसके अतिरिक्त निम्नलिखित समस्याएँ भी प्रतिष्ठित हैं:

• एकल-मानदंड: एक उद्देश्य फलन का अनुकूलन किया जाता है।
• बहु-मानदंड: कई उद्देश्य फलनों के सदिश का अनुकूलन किया जाता है, जो प्रायः एक-दूसरे के विरोधाभासी होते हैं।

उद्देश्य फलनों के उदाहरण

उद्देश्य फलनों के विशिष्ट उदाहरण हैं:

• अधिकतमीकरण के लिए: लाभ, उत्पादकता, दक्षता गुणांक, उपयोगिता, उत्पादन मात्रा;
• न्यूनतमीकरण के लिए: लागत, व्यय, निष्पादन समय, हानि, जोखिम, योजना से विचलनों का योग।

सही चयन का महत्त्व

उद्देश्य फलन का चयन अनुसंधान समस्या के सूत्रीकरण में केंद्रीय चरण है। जैसा कि अनुप्रयुक्त साहित्य में उल्लेख किया गया है, कम सटीक समाधान के साथ सही ढंग से चुना गया मानदंड गलत मानदंड के साथ इष्टतम समाधान से अधिक बेहतर है। अनुचित उद्देश्य फलन ऐसे समाधान की ओर ले जाएगा जो निर्णयकर्ता या तंत्र के वास्तविक लक्ष्यों के अनुरूप नहीं होगा।

न्यूनतमीकरण और अधिकतमीकरण का परस्पर संबंध

अनेक व्यावहारिक समस्याओं में एक उद्देश्य फलन का न्यूनतमीकरण तार्किक रूप से दूसरे के अधिकतमीकरण की ओर ले जा सकता है। उदाहरण के लिए, उत्पादन प्रक्रिया में लागत या प्रसंस्करण समय को कम करना सीधे लाभ या उत्पादकता की वृद्धि में सहायक हो सकता है।

यह सिद्धांत दुबले उत्पादन (Lean Production) की अवधारणा के अंतर्गत स्पष्ट रूप से प्रकट होता है, जहाँ मुख्य बल दक्षता बढ़ाने के साधन के रूप में हानियों को समाप्त करने पर दिया जाता है।

दुबले उत्पादन में हानियाँ

• अत्यधिक उत्पादन;
• प्रतीक्षा (सरल काल);
• अत्यधिक परिवहन;
• प्रसंस्करण के अनावश्यक चरण;
• अत्यधिक भंडार;
• अनावश्यक गतिविधियाँ;
• दोषपूर्ण उत्पाद।

इन प्रकार की हानियों को समाप्त करना या न्यूनतम करना संचालन अनुसंधान और तंत्र प्रबंधन की समस्याओं का आधार बनाता है। इस आधार पर निम्नलिखित विकसित किए जाते हैं:

• भंडार प्रबंधन के मॉडल;
• कतार प्रबंधन के मॉडल;
• संसाधन वितरण के मॉडल।

उद्देश्य फलन और प्रतिबंध

उद्देश्य फलन का अनुकूलन सदैव प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए किया जाता है। प्रतिबंध अनुमत समाधानों के क्षेत्र (Feasible Region) को परिभाषित करते हैं — सभी विकल्पों (चर मानों) का समुच्चय जो दिए गए शर्तों को संतुष्ट करते हैं। इष्टतम समाधान अनुमत क्षेत्र में वह बिंदु है जहाँ उद्देश्य फलन अपने चरम मान को प्राप्त करता है।

संचालन अनुसंधान और निर्णय सिद्धांत में भूमिका

उद्देश्य फलन संचालन अनुसंधान की समस्या के सूत्रीकरण का अभिन्न अंग है और निर्णय सिद्धांत में चयन मानदंडों के औपचारिकीकरण का उपकरण है। यह न केवल प्राथमिकताओं को संरचित करने की अनुमति देता है, बल्कि इष्टतम या अनुमत समाधान खोजने के लिए गणितीय विधियों को भी लागू करने की सुविधा देता है।

साहित्य

• वेंट्ज़ेल ई. एस. संचालन अनुसंधान: समस्याएँ, सिद्धांत, पद्धति। — मॉस्को: नाउका, 1988।
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)
• Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education. (11th ed., 2021)

यह भी देखें

• संचालन अनुसंधान
• अनुकूलन
• निर्णय सिद्धांत
• मानदंड
• प्रतिबंध
• लक्ष्य
• गणितीय मॉडल
• उपयोगिता सिद्धांत
• रैखिक प्रोग्रामिंग
• अनुमत समाधानों का क्षेत्र