Nonlinear programming — অরৈখিক প্রোগ্রামিং

অরৈখিক প্রোগ্রামিং (NLP) — এটি গাণিতিক প্রোগ্রামিং এবং অপারেশন রিসার্চের একটি শাখা, যা অপ্টিমাইজেশন সমস্যা নিয়ে কাজ করে, যেখানে উদ্দেশ্য ফাংশন এবং/অথবা কমপক্ষে একটি সীমাবদ্ধতা সিদ্ধান্ত চলকগুলির অরৈখিক ফাংশন।

NLP হলো রৈখিক প্রোগ্রামিংয়ের একটি সাধারণীকরণ এবং এটি বাস্তব সিস্টেম ও প্রক্রিয়াগুলির একটি বিস্তৃত শ্রেণী মডেল করতে সক্ষম করে, যেখানে চলকগুলির মধ্যে সম্পর্ক কঠোরভাবে আনুপাতিক নয় (অর্থাৎ সরল রেখার পরিবর্তে বক্ররেখা দ্বারা বর্ণিত)।

বিষয় ও উদ্দেশ্য

অরৈখিক প্রোগ্রামিং এমন পরিস্থিতিতে সর্বোত্তম সমাধান খুঁজে পেতে ব্যবহৃত হয় যখন:

• নিয়ন্ত্রণযোগ্য প্যারামিটারের উপর লক্ষ্য সূচকের (লাভ, খরচ, দক্ষতা ইত্যাদি) নির্ভরতা অরৈখিক (যেমন, স্কেলের হ্রাসমান আয়, দ্বিঘাত খরচ)।
• সম্পদ বা প্রযুক্তিগত প্রক্রিয়াগুলির উপর সীমাবদ্ধতা অরৈখিক সম্পর্ক দ্বারা বর্ণিত হয় (যেমন, রাসায়নিক বিক্রিয়া, পদার্থবিজ্ঞানের সূত্র, অর্থনৈতিক নির্ভরতা)।

NLP সমস্যা অনেক ক্ষেত্রে দেখা দেয়:

• প্রকৌশল ডিজাইন (কাঠামো ও প্রক্রিয়ার অপ্টিমাইজেশন)।
• অর্থনীতি ও অর্থায়ন (ঝুঁকি বিবেচনায় পোর্টফোলিও অপ্টিমাইজেশন, বাজার মডেলিং)।
• রাসায়নিক প্রযুক্তি (রিঅ্যাক্টর মোডের অপ্টিমাইজেশন)।
• Machine Learning (নিউরাল নেটওয়ার্ক প্রশিক্ষণ, সাপোর্ট ভেক্টর মেশিন)।
• উৎপাদন প্রক্রিয়া ব্যবস্থাপনা। লজিস্টিক্স (অরৈখিক খরচ বিবেচনায়)।

NLP সমস্যার গাণিতিক সূত্রায়ন

অরৈখিক প্রোগ্রামিংয়ের সাধারণ সমস্যাটি নিম্নরূপে সূত্রায়িত হয়:

সিদ্ধান্ত চলকগুলির মানের এমন একটি সেট খুঁজে বের করতে হবে, যা অরৈখিক উদ্দেশ্য ফাংশনকে সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন করে। এক্ষেত্রে চলকগুলির মান সীমাবদ্ধতা সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করতে হবে, যা অসমতার আকারে (যেমন, "A-এর মান B-এর চেয়ে কম বা সমান হতে হবে") এবং সমতার আকারে (যেমন, "C-এর মান ঠিক D-এর সমান হতে হবে") উভয়ভাবেই প্রকাশ করা যেতে পারে। গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো, লক্ষ্য বা সীমাবদ্ধতা বর্ণনাকারী ফাংশনগুলির মধ্যে কমপক্ষে একটি অরৈখিক। প্রায়শই চলকগুলির অ-ঋণাত্মকতার শর্ত যোগ করা হয়, অর্থাৎ তাদের মান শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান হওয়ার শর্ত।

সীমাবদ্ধতা সন্তুষ্টকারী চলকগুলির মানের সমস্ত সেটের সমষ্টি সম্ভাব্য সমাধান অঞ্চল (ফিজিবল রিজিয়ন) গঠন করে।

রৈখিক প্রোগ্রামিং থেকে পার্থক্য

অরৈখিক প্রোগ্রামিং রৈখিক প্রোগ্রামিং (LP) থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা:

• অরৈখিকতা: উদ্দেশ্য ফাংশন বা সীমাবদ্ধতা (বা উভয়) অরৈখিক নির্ভরতা ধারণ করে।
• সম্ভাব্য অঞ্চলের বৈশিষ্ট্য: NLP-তে সম্ভাব্য সমাধান অঞ্চল অ-উত্তল হতে পারে (LP-এর বিপরীতে, যেখানে সম্ভাব্য অঞ্চল সর্বদা একটি উত্তল বহুতল)।
• অপ্টিমামের বৈশিষ্ট্য: NLP-তে সর্বোত্তম সমাধান অগত্যা সম্ভাব্য অঞ্চলের শীর্ষবিন্দুতে থাকে না, এটি সীমানায় বা অঞ্চলের ভেতরে থাকতে পারে। NLP-তে স্থানীয় অপ্টিমাম থাকতে পারে যা বৈশ্বিক নয়।
• সমাধানের জটিলতা: NLP সমস্যাগুলি সাধারণত LP সমস্যার চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে বেশি জটিল। সমস্ত NLP সমস্যার জন্য সিম্পলেক্স পদ্ধতির অনুরূপ কোনো একক সর্বজনীন অ্যালগরিদম নেই।

NLP-এর মূল অসুবিধা ও চ্যালেঞ্জ

অরৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধানে বেশ কিছু অসুবিধা রয়েছে:

• স্থানীয় চরম মানের উপস্থিতি: বেশিরভাগ NLP পদ্ধতি কেবল স্থানীয় অপ্টিমাম (কিছু প্রতিবেশ অঞ্চলে সেরা সমাধান) খুঁজে পাওয়ার নিশ্চয়তা দেয়। বৈশ্বিক অপ্টিমাম (পুরো সম্ভাব্য অঞ্চলে সেরা সমাধান) অনুসন্ধান একটি কঠিন কাজ, বিশেষত অ-উত্তল সমস্যার ক্ষেত্রে।
• অ-উত্তলতা: যদি সমস্যাটি উত্তল না হয় (উদ্দেশ্য ফাংশন বা সম্ভাব্য অঞ্চল অ-উত্তল), তাহলে একাধিক স্থানীয় অপ্টিমাম থাকতে পারে এবং আদর্শ গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতিগুলি তাদের মধ্যে একটিতে "আটকে" যেতে পারে।
• গণনামূলক জটিলতা: NLP সমাধানের অ্যালগরিদমগুলি প্রায়শই LP-এর তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে বেশি গণনা সম্পদ প্রয়োজন করে।

NLP সমস্যার গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণী

সাধারণ জটিলতা সত্ত্বেও, NLP সমস্যার গুরুত্বপূর্ণ উপশ্রেণী রয়েছে যার জন্য কার্যকর সমাধান পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে:

• উত্তল প্রোগ্রামিং: উত্তল সম্ভাব্য সমাধান সেটে উত্তল ফাংশন সর্বনিম্ন করার সমস্যা (বা অবতল ফাংশন সর্বাধিক করা)। মূল বৈশিষ্ট্য: যেকোনো স্থানীয় ন্যূনতম একই সাথে বৈশ্বিক ন্যূনতমও। এটি সর্বোত্তম সমাধান অনুসন্ধানকে উল্লেখযোগ্যভাবে সহজ করে।
• দ্বিঘাত প্রোগ্রামিং: উদ্দেশ্য ফাংশন দ্বিঘাত এবং সমস্ত সীমাবদ্ধতা রৈখিক।
• বিচ্ছিন্ন প্রোগ্রামিং: উদ্দেশ্য ফাংশন এবং সীমাবদ্ধতাগুলি ফাংশনের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যায়, যার প্রতিটি কেবল একটি চলকের উপর নির্ভর করে।

NLP সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি

অরৈখিক প্রোগ্রামিং (NLP) সমস্যা সমাধানের পদ্ধতিসমূহ

I. শর্তহীন অপ্টিমাইজেশন পদ্ধতি (সীমাবদ্ধতা ছাড়া অপ্টিমাইজেশন):

• গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি (দ্রুততম অবতরণ পদ্ধতি, কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি);
• নিউটনের পদ্ধতি ও কোয়াসি-নিউটন পদ্ধতি (যেমন, BFGS);
• হেসিয়ান আনুমানিকতা ব্যবহার করে পদ্ধতি।

II. শর্তযুক্ত অপ্টিমাইজেশন পদ্ধতি (সীমাবদ্ধতা সহ অপ্টিমাইজেশন):

• রূপান্তর পদ্ধতি:
  • পেনাল্টি ফাংশন পদ্ধতি (penalty methods);
  • ব্যারিয়ার ফাংশন পদ্ধতি (barrier methods)।
• সরাসরি দিক অনুসন্ধান পদ্ধতি:
  • সম্ভাব্য দিক পদ্ধতি।
• অপ্টিমালিটি শর্তের উপর ভিত্তি করে পদ্ধতি:
  • Karush-Kuhn-Tucker পদ্ধতি (KKT-শর্ত);
  • Lagrange গুণক পদ্ধতি।
• পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি:
  • ক্রমিক দ্বিঘাত প্রোগ্রামিং (SQP);
  • অভ্যন্তরীণ বিন্দু পদ্ধতি।

III. বৈশ্বিক অপ্টিমাইজেশন পদ্ধতি:

• হিউরিস্টিক ও মেটাহিউরিস্টিক পদ্ধতি:
  • জেনেটিক অ্যালগরিদম;
  • সিমুলেটেড অ্যানিলিং;
  • ট্যাবু সার্চ (tabu search)।
• নির্ধারণমূলক পদ্ধতি:
  • ব্রাঞ্চ অ্যান্ড বাউন্ড (branch and bound);
  • বিশেষ কাঠামোযুক্ত সমস্যার জন্য বৈশ্বিক অপ্টিমাইজেশন অ্যালগরিদম।

সাহিত্য

• বাজারা এম., শেটি কে. অরৈখিক প্রোগ্রামিং। তত্ত্ব ও অ্যালগরিদম। — মস্কো: মির, ১৯৮২।
• ফিয়াক্কো এ., ম্যাক-কর্মিক জি. অরৈখিক প্রোগ্রামিং। ক্রমিক শর্তহীন সর্বনিম্নকরণের পদ্ধতি। — মস্কো: মির, ১৯৭২।
• হিমেলব্লাউ ডি. ফলিত অরৈখিক প্রোগ্রামিং। — মস্কো: মির, ১৯৭৫।
• Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. Numerical Optimization. — Springer, 2006. (2nd ed.)

আরও দেখুন

• অপারেশন রিসার্চ
• অপ্টিমাইজেশন
• রৈখিক প্রোগ্রামিং
• উত্তল প্রোগ্রামিং
• উদ্দেশ্য ফাংশন
• সীমাবদ্ধতা
• সম্ভাব্য সমাধান অঞ্চল