Multi-objective optimization — বহু-উদ্দেশ্যমূলক অপ্টিমাইজেশন

বহু-মানদণ্ড অপ্টিমাইজেশন (এছাড়াও বহু-মানদণ্ড প্রোগ্রামিং, ইং. multi-objective optimization, multi-criteria optimization) — এটি গাণিতিক অপ্টিমাইজেশনের একটি শাখা, যা দুটি বা তার বেশি লক্ষ্য ফাংশন (মানদণ্ড) একসাথে অপ্টিমাইজ করার সমস্যা অধ্যয়ন করে, যেগুলি সাধারণত পরস্পরের সাথে সংঘাতপূর্ণ হয়। আনুষ্ঠানিকভাবে সমস্যাটি গ্রহণযোগ্য সমাধানের সেটে ভেক্টর লক্ষ্য ফাংশনের ন্যূনতমকরণ হিসেবে লেখা হয়।

সংজ্ঞা এবং পরিভাষা

বহু-মানদণ্ড অপ্টিমাইজেশনের সমস্যা সাধারণ আকারে নিম্নরূপে লেখা হয়: $\underset{x\in S}{min}\{f_1(x),f_2(x),\dots ,f_k(x)\}$ যেখানে $S\subseteq {ℝ}^n$ — অ-খালি গ্রহণযোগ্য সমাধানের সেট, এবং $f_i:S\to ℝ$ — লক্ষ্য ফাংশনসমূহ ($k\ge 2$)। ভেক্টর $f(x)=(f_1(x),\dots ,f_k(x))$-কে লক্ষ্য ভেক্টর বলা হয়।

স্কেলার অপ্টিমাইজেশনের বিপরীতে, বহু-মানদণ্ড প্রণয়নে সাধারণত কোনো একক সমাধান থাকে না যা সব মানদণ্ডের মান একসাথে উন্নত করে। তাই অপ্টিমামের ক্লাসিক ধারণাটি পারেতো সর্বোত্তমতার ধারণা ব্যবহার করে সাধারণীকৃত করা হয়।

• পারেতো সমাধান (পারেতো-সর্বোত্তম বা কার্যকর সমাধান): গ্রহণযোগ্য সমাধান $x^{\ast }\in S$, যার জন্য অন্য কোনো সমাধান $x\in S$ বিদ্যমান নেই এমন যে $f_i(x)\le f_i(x^{\ast })$ সকল $i=1,\dots ,k$-এর জন্য, এবং একই সাথে $f_j(x)<f_j(x^{\ast })$ অন্তত একটি সূচক $j$-এর জন্য। অন্যভাবে বলতে গেলে, একটি সমাধান পারেতো-সর্বোত্তম যদি অন্তত একটি অন্য মানদণ্ড খারাপ না করে কোনো মানদণ্ডের মান উন্নত করা সম্ভব না হয়।
• পারেতো ফ্রন্ট (বা পারেতো সেট): পারেতো-সর্বোত্তম সমাধানের সাথে সংশ্লিষ্ট সকল লক্ষ্য ভেক্টরের সমষ্টি।
• দুর্বলভাবে পারেতো-সর্বোত্তম সমাধান: সমাধান $x^{\ast }\in S$, যার জন্য অন্য কোনো সমাধান $x\in S$ বিদ্যমান নেই এমন যে $f_i(x)<f_i(x^{\ast })$ সকল $i$-এর জন্য।

মূল বৈশিষ্ট্য এবং উপপাদ্যসমূহ

• ভারযুক্ত যোগফলের উপপাদ্য: উত্তল সমস্যায় (যেখানে সকল ফাংশন $f_i(x)$ এবং সেট $S$ উত্তল) যেকোনো পারেতো-সর্বোত্তম সমাধান $x^{\ast }$ হলো কিছু অ-ঋণাত্মক ওজনের সমষ্টি $w_i\ge 0$-এর জন্য মানদণ্ডের ভারযুক্ত যোগফল $\underset{x\in S}{min}\sum _{i=1}^k{w}_i{f}_i(x)$-এর স্কেলার ন্যূনতমকরণ সমস্যার সমাধান। তবে অ-উত্তল সমস্যায় এই পদ্ধতি পারেতো ফ্রন্টের কিছু অংশ খুঁজে নাও পেতে পারে।

• কারুশ-কুন-টাকার (KKT) সর্বোত্তমতার শর্তসমূহ: মসৃণ সমস্যার জন্য সর্বোত্তমতার প্রয়োজনীয় শর্তগুলি বহু-মানদণ্ড ক্ষেত্রে সাধারণীকৃত হয়। পারেতো-সর্বোত্তম বিন্দুতে অ-শূন্য অ-ঋণাত্মক গুণক (ওজন)-এর একটি সমষ্টি বিদ্যমান থাকে, যার জন্য লক্ষ্য ফাংশন এবং সক্রিয় সীমাবদ্ধতার গ্রেডিয়েন্টগুলি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল।

• সমাধান সেটের বৈশিষ্ট্যসমূহ: পারেতো ফ্রন্টে বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ গুণগত বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এর সীমানা আদর্শ বিন্দু (সকল মানদণ্ডের উপাদান-ভিত্তিক ন্যূনতম দিয়ে গঠিত) এবং নাদির বিন্দু (ফ্রন্টে উপাদান-ভিত্তিক সর্বোচ্চ দিয়ে গঠিত) দ্বারা সীমাবদ্ধ।

উদাহরণসমূহ

• রৈখিক সমস্যা: $f_1(x)=-x_1$ এবং $f_2(x)=-x_2$ ন্যূনতম করুন $x_1+x_2\le 1$, $x_1,x_2\ge 0$ সীমাবদ্ধতার অধীনে। এখানে একটি মানদণ্ড উন্নত করা (উদাহরণস্বরূপ, $x_1$ বৃদ্ধি করা) অনিবার্যভাবে অন্যটির অবনতি ঘটায় ($x_2$ হ্রাস)। পারেতো-সর্বোত্তম সমাধানের সেট হলো সরলরেখার একটি রেখাংশ $x_1+x_2=1$।
• অ-উত্তল সমস্যা: $f_1(x)=x^2$ এবং $f_2(x)=(x-2{)}^2$ রেখাংশ $[0,2]$-এ ন্যূনতম করুন। পারেতো ফ্রন্ট অ-উত্তল। ধনাত্মক ওজন সহ ভারযুক্ত যোগফলের পদ্ধতি এই রেখাংশের ভেতরের সমাধানগুলি (উদাহরণস্বরূপ, বিন্দু $x=1$-এ) খুঁজে পাবে না, কারণ মানদণ্ডের রৈখিক সমন্বয় শুধুমাত্র চরম বিন্দু $x=0$ বা $x=2$-এ ন্যূনতম মান অর্জন করবে।

সম্পর্কিত ধারণা এবং প্রয়োগসমূহ

বহু-মানদণ্ড অপ্টিমাইজেশন বহু-মানদণ্ড সিদ্ধান্ত গ্রহণের (MCDM) সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যা সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীর পছন্দ বিবেচনা করে সেরা বিকল্প নির্বাচন অধ্যয়ন করে। বহু-মানদণ্ড সমস্যাকে স্কেলার সমস্যায় রূপান্তরের (স্কেলারাইজেশন) মূল পদ্ধতিগুলির মধ্যে রয়েছে:

• ভারযুক্ত যোগফলের পদ্ধতি।
• $\epsilon$-সীমাবদ্ধতার পদ্ধতি: একটি মানদণ্ড অপ্টিমাইজ করা হয়, এবং বাকিগুলি $f_i(x)\le {\epsilon }_i$ আকারের সীমাবদ্ধতায় রূপান্তরিত হয়। এই পদ্ধতি ফ্রন্টের অ-উত্তল অংশে সমাধান খুঁজে পেতে সক্ষম।

বহু-মানদণ্ড অপ্টিমাইজেশন প্রকৌশল ডিজাইন, অর্থনীতি (উদাহরণস্বরূপ, পোর্টফোলিও অপ্টিমাইজেশন), ব্যবস্থাপনা এবং পরিবেশবিদ্যায় ব্যাপকভাবে প্রয়োগ পায়।

আরও দেখুন

• পারেতো সর্বোত্তমতা
• ভেক্টর অপ্টিমাইজেশন
• সিদ্ধান্ত তত্ত্ব
• সিদ্ধান্ত সহায়তা ব্যবস্থা
• অপারেশন রিসার্চ