Multi-objective optimization — बहुमानदंड अनुकूलन

बहुमानदंड अनुकूलन (इसे बहुमानदंड प्रोग्रामिंग भी कहते हैं, अंग्रेज़ी: multi-objective optimization, multi-criteria optimization) — यह गणितीय अनुकूलन की वह शाखा है जो दो या अधिक उद्देश्य फलनों (मानदंडों) के एक साथ अनुकूलन की समस्याओं का अध्ययन करती है, जो सामान्यतः एक-दूसरे के विरोध में होते हैं। औपचारिक रूप से यह समस्या, स्वीकार्य हलों के समुच्चय पर सदिश उद्देश्य फलन के न्यूनीकरण के रूप में लिखी जाती है।

परिभाषा और शब्दावली

बहुमानदंड अनुकूलन की समस्या सामान्य रूप में इस प्रकार लिखी जाती है: $\underset{x\in S}{min}\{f_1(x),f_2(x),\dots ,f_k(x)\}$ जहाँ $S\subseteq {ℝ}^n$ — स्वीकार्य हलों का एक अरिक्त समुच्चय है, और $f_i:S\to ℝ$ — उद्देश्य फलन हैं ($k\ge 2$)। सदिश $f(x)=(f_1(x),\dots ,f_k(x))$ को उद्देश्य सदिश कहा जाता है।

अदिश अनुकूलन के विपरीत, बहुमानदंड सूत्रीकरण में सामान्यतः कोई एकल हल नहीं होता जो सभी मानदंडों के मान एक साथ बेहतर करे। इसलिए इष्टतमता की शास्त्रीय अवधारणा को Pareto इष्टतमता की संकल्पना का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जाता है।

• Pareto हल (Pareto-इष्टतम या प्रभावी हल): एक स्वीकार्य हल $x^{\ast }\in S$, जिसके लिए कोई अन्य हल $x\in S$ ऐसा नहीं है कि $f_i(x)\le f_i(x^{\ast })$ सभी $i=1,\dots ,k$ के लिए, और साथ ही $f_j(x)<f_j(x^{\ast })$ कम से कम एक सूचकांक $j$ के लिए हो। दूसरे शब्दों में, एक हल Pareto-इष्टतम है यदि किसी एक मानदंड का मान किसी अन्य मानदंड को बिगाड़े बिना बेहतर नहीं किया जा सकता।
• Pareto अग्र (या Pareto समुच्चय): सभी उद्देश्य सदिशों का समुच्चय जो Pareto-इष्टतम हलों के संगत हैं।
• दुर्बल Pareto-इष्टतम हल: हल $x^{\ast }\in S$, जिसके लिए कोई अन्य हल $x\in S$ ऐसा नहीं है कि $f_i(x)<f_i(x^{\ast })$ सभी $i$ के लिए।

मुख्य गुण और प्रमेय

• भारित योग प्रमेय: उत्तल समस्याओं में (जहाँ सभी फलन $f_i(x)$ और समुच्चय $S$ उत्तल हों) कोई भी Pareto-इष्टतम हल $x^{\ast }$, कुछ गैर-ऋणात्मक भारों $w_i\ge 0$ के लिए मानदंडों के भारित योग $\underset{x\in S}{min}\sum _{i=1}^k{w}_i{f}_i(x)$ के अदिश न्यूनीकरण समस्या का हल होता है। किन्तु अनुत्तल समस्याओं में यह विधि Pareto अग्र के कुछ भागों को खोजने में सक्षम नहीं हो सकती।

• Karush-Kuhn-Tucker (KKT) इष्टतमता शर्तें: चिकनी समस्याओं के लिए इष्टतमता की आवश्यक शर्तें बहुमानदंड स्थिति तक सामान्यीकृत होती हैं। Pareto-इष्टतम बिंदु पर गैर-ऋणात्मक गुणकों (भारों) का एक अशून्य समुच्चय होता है, जिनके लिए उद्देश्य फलनों और सक्रिय प्रतिबंधों के प्रवणताएँ रैखिक रूप से आश्रित होती हैं।

• हल समुच्चय के गुण: Pareto अग्र में कई महत्त्वपूर्ण गुणात्मक विशेषताएँ होती हैं। इसकी सीमा आदर्श बिंदु (सभी मानदंडों के तत्व-वार न्यूनतमों से निर्मित) और नाडीर बिंदु (अग्र पर तत्व-वार अधिकतमों से निर्मित) द्वारा परिबद्ध होती है।

उदाहरण

• रैखिक समस्या: $f_1(x)=-x_1$ और $f_2(x)=-x_2$ को प्रतिबंध $x_1+x_2\le 1$, $x_1,x_2\ge 0$ के अंतर्गत न्यूनतम करना। यहाँ एक मानदंड में सुधार (उदाहरण के लिए, $x_1$ बढ़ाना) अनिवार्यतः दूसरे में गिरावट ($x_2$ घटना) की ओर ले जाता है। Pareto-इष्टतम हलों का समुच्चय रेखाखंड $x_1+x_2=1$ है।
• अनुत्तल समस्या: $f_1(x)=x^2$ और $f_2(x)=(x-2{)}^2$ को खंड $[0,2]$ पर न्यूनतम करना। Pareto अग्र अनुत्तल है। धनात्मक भारों के साथ भारित योग विधि इस खंड के आंतरिक भाग में हल (जैसे बिंदु $x=1$ पर) नहीं खोज सकती, क्योंकि मानदंडों का रैखिक संयोजन अपना न्यूनतम केवल सिरे के बिंदुओं $x=0$ या $x=2$ पर ही प्राप्त करेगा।

संबंधित अवधारणाएँ और अनुप्रयोग

बहुमानदंड अनुकूलन का बहुमानदंड निर्णय लेने (MCDM) से गहरा संबंध है, जो निर्णय लेने वाले व्यक्ति की प्राथमिकताओं को ध्यान में रखते हुए सर्वोत्तम विकल्प के चयन का अध्ययन करता है। बहुमानदंड समस्या को अदिश रूप में बदलने (scalarization) की मुख्य विधियाँ निम्नलिखित हैं:

• भारित योग विधि।
• $\epsilon$-प्रतिबंध विधि: एक मानदंड का अनुकूलन किया जाता है और शेष मानदंडों को $f_i(x)\le {\epsilon }_i$ रूप के प्रतिबंधों में बदल दिया जाता है। यह विधि अग्र के अनुत्तल भागों पर भी हल खोजने में सक्षम है।

बहुमानदंड अनुकूलन का इंजीनियरिंग डिज़ाइन, अर्थशास्त्र (जैसे पोर्टफोलियो अनुकूलन), प्रबंधन और पर्यावरण विज्ञान में व्यापक रूप से उपयोग होता है।

यह भी देखें

• Pareto इष्टतमता
• सदिश अनुकूलन
• निर्णय सिद्धांत
• निर्णय समर्थन प्रणालियाँ
• संक्रिया अनुसंधान