Multi-objective optimization — کثیر المقاصد اصلاح

کثیر المعیار اصلاح (نیز کثیر المعیار پروگرامنگ، انگریزی: multi-objective optimization, multi-criteria optimization) — یہ ریاضیاتی اصلاح کا وہ شعبہ ہے جو بیک وقت دو یا دو سے زیادہ مقصدی افعال (معیارات) کی اصلاح کے مسائل کا مطالعہ کرتا ہے، جو عموماً ایک دوسرے سے متصادم ہوتے ہیں۔ رسمی طور پر یہ مسئلہ قابلِ قبول حلوں کے مجموعے پر ویکٹر مقصدی فنکشن کی کمینہ سازی کے طور پر لکھا جاتا ہے۔

تعریف اور اصطلاحات

کثیر المعیار اصلاح کا مسئلہ عمومی صورت میں اس طرح لکھا جاتا ہے: $\underset{x\in S}{min}\{f_1(x),f_2(x),\dots ,f_k(x)\}$ جہاں $S\subseteq {ℝ}^n$ — قابلِ قبول حلوں کا غیر خالی مجموعہ ہے، اور $f_i:S\to ℝ$ — مقصدی افعال ہیں ($k\ge 2$)۔ ویکٹر $f(x)=(f_1(x),\dots ,f_k(x))$ کو مقصدی ویکٹر کہا جاتا ہے۔

اسکیلر اصلاح کے برعکس، کثیر المعیار صورت میں عموماً کوئی واحد حل موجود نہیں ہوتا جو تمام معیارات کی قدروں کو بیک وقت بہتر بنائے۔ اس لیے اصلاح کا کلاسیکی تصور پیریٹو اصلاح کے تصور کے ذریعے عمومی بنایا جاتا ہے۔

• پیریٹو حل (پیریٹو-اصلاحی یا مؤثر حل): وہ قابلِ قبول حل $x^{\ast }\in S$، جس کے لیے کوئی دوسرا حل $x\in S$ موجود نہ ہو، ایسا کہ $f_i(x)\le f_i(x^{\ast })$ تمام $i=1,\dots ,k$ کے لیے، اور ساتھ ہی $f_j(x)<f_j(x^{\ast })$ کم از کم ایک اشاریہ $j$ کے لیے۔ دوسرے الفاظ میں، حل پیریٹو-اصلاحی ہے اگر کسی بھی معیار کی قدر کو کم از کم کسی ایک دوسرے معیار کو خراب کیے بغیر بہتر نہ کیا جا سکے۔
• پیریٹو فرنٹ (یا پیریٹو مجموعہ): تمام پیریٹو-اصلاحی حلوں سے متعلق مقصدی ویکٹروں کا مجموعہ۔
• کمزور پیریٹو-اصلاحی حل: حل $x^{\ast }\in S$، جس کے لیے کوئی دوسرا حل $x\in S$ موجود نہ ہو، ایسا کہ $f_i(x)<f_i(x^{\ast })$ تمام $i$ کے لیے۔

کلیدی خصوصیات اور قضایا

• وزنی مجموع کا قضیہ: محدب مسائل میں (جہاں تمام افعال $f_i(x)$ اور مجموعہ $S$ محدب ہوں) ہر پیریٹو-اصلاحی حل $x^{\ast }$ معیارات کے وزنی مجموع $\underset{x\in S}{min}\sum _{i=1}^k{w}_i{f}_i(x)$ کی اسکیلر کمینہ سازی کے مسئلے کا حل ہوتا ہے، کسی غیر منفی اوزان کے مجموعے $w_i\ge 0$ کے لیے۔ تاہم غیر محدب مسائل میں یہ طریقہ پیریٹو فرنٹ کے بعض حصوں کو نہیں ڈھونڈ سکتا۔

• کاروش-کون-ٹکر (KKT) اصلاحیت کی شرائط: ہموار مسائل کے لیے اصلاحیت کی لازمی شرائط کثیر المعیار صورت تک عمومی بنائی جاتی ہیں۔ پیریٹو اصلاحیت کے مقام پر غیر منفی ضربوں (اوزان) کا ایک غیر صفر مجموعہ موجود ہوتا ہے جس کے لیے مقصدی افعال اور فعال قیود کے گریڈینٹ خطی طور پر منحصر ہوتے ہیں۔

• حلوں کے مجموعے کی خصوصیات: پیریٹو فرنٹ کئی اہم معیاری خصوصیات کا حامل ہوتا ہے۔ اس کی سرحد آئیڈیل نقطے (تمام معیارات کے عناصر کے حساب سے کمینوں سے مرکب) اور نادر نقطے (فرنٹ پر عناصر کے حساب سے بیشینوں سے مرکب) سے محدود ہوتی ہے۔

مثالیں

• خطی مسئلہ: $f_1(x)=-x_1$ اور $f_2(x)=-x_2$ کو قید $x_1+x_2\le 1$، $x_1,x_2\ge 0$ کے ساتھ کم سے کم کرنا۔ یہاں ایک معیار کی بہتری (مثلاً $x_1$ کا بڑھنا) لازمی طور پر دوسرے کی خرابی ($x_2$ کا گھٹنا) کا باعث بنتی ہے۔ پیریٹو-اصلاحی حلوں کا مجموعہ ایک خط $x_1+x_2=1$ کا ٹکڑا ہے۔
• غیر محدب مسئلہ: $f_1(x)=x^2$ اور $f_2(x)=(x-2{)}^2$ کو قطعہ $[0,2]$ پر کم سے کم کرنا۔ پیریٹو فرنٹ غیر محدب ہے۔ مثبت اوزان کے ساتھ وزنی مجموع کا طریقہ اس قطعے کے اندر کے حلوں کو (مثلاً نقطہ $x=1$ پر) نہیں ڈھونڈ سکتا، کیونکہ معیارات کا خطی امتزاج صرف سروں کے نقاط $x=0$ یا $x=2$ پر کم سے کم قدر اختیار کرے گا۔

متعلقہ تصورات اور اطلاقات

کثیر المعیار اصلاح کا گہرا تعلق کثیر المعیار فیصلہ سازی (MCDM) سے ہے، جو فیصلہ ساز کی ترجیحات کو مدنظر رکھتے ہوئے بہترین متبادل کے انتخاب کا مطالعہ کرتی ہے۔ کثیر المعیار مسئلے کو اسکیلر میں تبدیل کرنے (اسکیلرائزیشن) کے بنیادی طریقوں میں شامل ہیں:

• وزنی مجموع کا طریقہ۔
• $\epsilon$-قیود کا طریقہ: ایک معیار کو اصلاحی بنایا جاتا ہے، جبکہ باقی کو $f_i(x)\le {\epsilon }_i$ کی صورت کی قیود میں تبدیل کیا جاتا ہے۔ یہ طریقہ فرنٹ کے غیر محدب حصوں پر بھی حل تلاش کر سکتا ہے۔

کثیر المعیار اصلاح انجینئری ڈیزائن، معاشیات (مثلاً پورٹ فولیو کی اصلاح)، انتظام اور ماحولیات میں وسیع پیمانے پر استعمال ہوتی ہے۔

یہ بھی دیکھیں

• پیریٹو اصلاحیت
• ویکٹر اصلاح
• فیصلہ سازی کا نظریہ
• فیصلہ سازی کی معاون نظام
• آپریشنز ریسرچ