Modelli della ricerca operativa

Modelli della ricerca operativa

La ricerca operativa (RO) utilizza modelli per analizzare e risolvere problemi di gestione e di processo decisionale. Un modello nella RO è una rappresentazione semplificata e formalizzata di un'operazione o di un sistema reale, destinata allo studio del suo comportamento e alla ricerca delle soluzioni migliori.

Per applicare i metodi quantitativi di ricerca è necessario costruire un modello matematico dell'operazione. Durante la costruzione del modello, l'operazione viene di norma semplificata e schematizzata, e questo schema viene descritto mediante un determinato apparato matematico. Il modello di un'operazione è una descrizione sufficientemente accurata dell'operazione tramite un apparato matematico (funzioni, equazioni, sistemi di equazioni e disuguaglianze di vario tipo). L'efficacia dell'operazione è definita come il grado di adeguatezza al compito da svolgere.

Impostazione generale del problema e struttura del modello nella RO

Nella ricerca operativa, la situazione gestionale comprende obiettivi e decisioni. Le decisioni vengono prese per raggiungere l'obiettivo. La situazione gestionale è descritta da un modello.

Il modello contiene un indicatore esplicito di efficacia, in base al quale si determina quanto la decisione sia vicina all'obiettivo. Tale indicatore dipende dai fattori che influenzano l'operazione. Tutti i fattori che rientrano nella descrizione dell'operazione possono essere suddivisi in due gruppi:

• Fattori non controllabili (costanti): Condizioni esterne o parametri del sistema sui quali il decisore non può influire (ad esempio, la domanda di mercato, i prezzi delle materie prime, le condizioni meteorologiche).
• Fattori controllabili (gestibili): Parametri dell'operazione i cui valori il decisore può scegliere e modificare (ad esempio, il volume di produzione, il percorso di consegna, la distribuzione delle risorse). Questi fattori sono denominati anche variabili di decisione.

Concettualmente, il modello della RO può essere rappresentato come una «scatola nera», dove l'attenzione principale è rivolta alla definizione degli ingressi e delle uscite:

• Ingressi: Variabili (fattori) controllabili e non controllabili.
• Modello: Apparato matematico (funzioni, equazioni, disuguaglianze) che descrive le relazioni tra ingressi e uscite.
• Uscita: Criterio di efficacia (Funzione obiettivo).

Il criterio di efficacia, espresso mediante una certa funzione, è denominato funzione obiettivo. La funzione obiettivo è un indicatore di efficacia formulato (formalizzato) matematicamente, che deve essere massimizzato o minimizzato.

Definizione matematica del modello

Per modello matematico nella RO si intende qualsiasi operatore che consenta di determinare, a partire dai valori corrispondenti dei parametri di ingresso, i valori di uscita dei parametri dell'oggetto da modellare, nell'ambito dell'insieme dei valori ammissibili dei parametri di ingresso e di uscita per l'oggetto modellato.

Modello matematico tipico della RO

La maggior parte dei problemi della RO si riconduce all'ottimizzazione e viene formulata nel seguente modello matematico:

Massimizzare (o minimizzare) la funzione obiettivo nel rispetto dei vincoli

• Funzione obiettivo: Esprime quantitativamente il criterio in base al quale viene valutata la decisione (ad esempio, profitto, costi, tempo). La scelta della funzione obiettivo è il momento centrale e più delicato della ricerca. È preferibile trovare una soluzione non ottimale con un criterio correttamente scelto, piuttosto che una soluzione ottimale con un criterio errato.
• Vincoli: Espressioni matematiche (in forma di uguaglianze o disuguaglianze) che le variabili del modello devono soddisfare. Riflettono i limiti reali delle risorse, i requisiti tecnologici, gli obiettivi pianificati e altre condizioni. I vincoli restringono l'insieme delle soluzioni possibili.

Soluzioni nei modelli della RO

• Soluzione ammissibile: Qualsiasi insieme di valori delle variabili che soddisfa tutti i vincoli del modello. L'insieme di tutte le soluzioni ammissibili costituisce la regione ammissibile (RA). Il numero di tali soluzioni può essere infinito.
• Soluzione ottimale: La soluzione ammissibile per la quale la funzione obiettivo raggiunge il suo valore estremo (massimo o minimo). La soluzione ottimale (se esiste) si trova sempre nella RA.
  • In alcuni casi la soluzione ottimale può non esistere (ad esempio, se la RA è vuota o se la funzione obiettivo non è limitata sulla RA).
  • Si definisce ottimale la soluzione che, secondo il criterio di ottimizzazione stabilito, è preferibile rispetto alle altre.
  • L'ottimalità è sempre relativa al criterio («ottimale secondo...»).

Classificazione dei modelli della ricerca operativa

I modelli della RO possono essere classificati secondo vari criteri, in particolare in base all'apparato matematico utilizzato e al tipo di problema:

In base alla struttura matematica

• Modelli di programmazione lineare (PL): La funzione obiettivo e tutti i vincoli sono funzioni lineari delle variabili.
• Modelli di PL intera: Alcune o tutte le variabili devono assumere valori interi.

• Modelli di programmazione non lineare (PNL): La funzione obiettivo e/o i vincoli sono funzioni non lineari.
• Modelli di programmazione convessa: Caso particolare della PNL, in cui la funzione obiettivo viene minimizzata (o viene massimizzata una funzione concava) e la RA è un insieme convesso.

• Modelli di programmazione dinamica (PD): Utilizzati per problemi in cui la decisione viene presa per fasi nel tempo e il criterio di ottimalità è espresso tramite relazioni ricorrenti.
• Modelli euristici: Applicati quando la ricerca dell'ottimo esatto è impossibile a causa dell'elevata complessità computazionale. Si utilizzano metodi euristici per trovare una soluzione «sufficientemente buona».

In base ai problemi tipici della RO

• Problemi di pianificazione e controllo reticolare: Ottimizzazione dei tempi e dei costi di esecuzione di complessi di lavori (ad esempio, il metodo del percorso critico).
• Problemi di teoria delle code (Teoria del servizio di massa): Analisi e ottimizzazione dei sistemi con code (determinazione del numero di canali di servizio, del tempo di servizio).
• Problemi di gestione delle scorte: Determinazione dei livelli ottimali di scorte e delle dimensioni degli ordini per minimizzare i costi nel soddisfacimento della domanda.
• Problemi di distribuzione delle risorse: Assegnazione ottimale di risorse limitate tra operazioni o attività in competizione.
• Problemi di manutenzione e sostituzione delle apparecchiature: Determinazione dei momenti ottimali per la riparazione o la sostituzione delle apparecchiature, tenendo conto dell'usura e dell'obsolescenza.
• Modelli della teoria dei giochi: Analisi di situazioni conflittuali con più parti che perseguono obiettivi diversi e ricerca delle strategie ottimali.

Vedi anche

• Ricerca operativa
• Modello matematico
• Ottimizzazione
• Funzione obiettivo
• Vincoli
• Soluzione ammissibile
• Soluzione ottimale
• Programmazione lineare
• Programmazione dinamica
• Teoria delle code
• Teoria dei giochi
• Simulazione
• Analisi dei sistemi

Letteratura

• Ventcel' E. S. Ricerca operativa: problemi, principi, metodologia. — Mosca: Nauka, 1988.
• Ackoff R., Sasieni M. Fondamenti di ricerca operativa. — Mosca: Mir, 1971.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)