Modellen van operationeel onderzoek

Modellen van operationeel onderzoek

Operationeel onderzoek (OO) maakt gebruik van modellen voor de analyse en oplossing van vraagstukken op het gebied van beheer en besluitvorming. Een model in het OO is een vereenvoudigde, geformaliseerde weergave van een reële operatie of systeem, bedoeld om het gedrag ervan te bestuderen en de beste oplossingen te vinden.

Voor de toepassing van kwantitatieve onderzoeksmethoden is het noodzakelijk een wiskundig model van de operatie te construeren. Bij het opbouwen van het model wordt de operatie doorgaans vereenvoudigd en geschematiseerd, en dit schema wordt beschreven met behulp van een bepaald wiskundig formalisme. Een operatiemodel is een voldoende nauwkeurige beschrijving van de operatie met behulp van wiskundige middelen (functies, vergelijkingen, stelsels van vergelijkingen en ongelijkheden van uiteenlopende aard). De effectiviteit van een operatie wordt gedefinieerd als de mate waarin zij geschikt is om de taak uit te voeren.

Algemene probleemstelling en modelstructuur in het OO

In het operationeel onderzoek omvat een managementsituatie doelstellingen en beslissingen. Beslissingen worden genomen om de doelstelling te bereiken. De managementsituatie wordt beschreven door een model.

Het model bevat een expliciete effectiviteitsindicator, waaraan men afleest in hoeverre de beslissing de doelstelling benadert. Deze indicator hangt af van factoren die de operatie beïnvloeden. Alle factoren die deel uitmaken van de beschrijving van de operatie kunnen worden onderverdeeld in twee groepen:

• Niet-beheersbare (constante) factoren: Externe omstandigheden of systeemparameters waarop de beslisser geen invloed kan uitoefenen (bijvoorbeeld marktvraag, grondstofprijzen, weer).
• Beheersbare (stuurbare) factoren: Parameters van de operatie waarvan de beslisser de waarden kan kiezen en aanpassen (bijvoorbeeld productievolume, afleverroute, verdeling van middelen). Deze factoren worden ook beslissingsvariabelen genoemd.

Conceptueel kan het OO-model worden voorgesteld als een 'zwarte doos', waarbij de aandacht hoofdzakelijk wordt gericht op het bepalen van in- en uitvoer:

• Invoer: Beheersbare en niet-beheersbare variabelen (factoren).
• Model: Wiskundig formalisme (functies, vergelijkingen, ongelijkheden) dat de samenhangen tussen invoer en uitvoer beschrijft.
• Uitvoer: Effectiviteitscriterium (doelfunctie).

Het effectiviteitscriterium, uitgedrukt door een bepaalde functie, wordt de doelfunctie genoemd. De doelfunctie is een wiskundig geformuleerde (geformaliseerde) effectiviteitsindicator die gemaximaliseerd of geminimaliseerd dient te worden.

Wiskundige definitie van het model

Onder een wiskundig model in het OO wordt verstaan elke operator die het mogelijk maakt om op basis van de overeenkomstige waarden van de invoerparameters de uitvoerwaarden van de parameters van het te modelleren object vast te stellen, binnen het verzameling toelaatbare waarden van de invoer- en uitvoerparameters voor het gemodelleerde object.

Typisch wiskundig model van het OO

De meeste OO-vraagstukken leiden tot optimalisatie en worden geformuleerd in de vorm van het volgende wiskundige model:

Maximaliseer (of minimaliseer) de doelfunctie onder de voorwaarde dat aan de beperkingen wordt voldaan.

• Doelfunctie: Drukt kwantitatief het criterium uit waarop de oplossing wordt beoordeeld (bijvoorbeeld winst, kosten, tijd). De keuze van de doelfunctie is het centrale en meest verantwoordelijke moment van het onderzoek. Het is beter een niet-optimale oplossing te vinden bij een juist gekozen criterium dan een optimale oplossing bij een onjuist criterium.
• Beperkingen: Wiskundige uitdrukkingen (in de vorm van gelijkheden of ongelijkheden) waaraan de variabelen van het model moeten voldoen. Zij weerspiegelen de werkelijke limieten van middelen, technologische vereisten, planningstaken en andere condities. Beperkingen verkleinen het verzameling mogelijke oplossingen.

Oplossingen in OO-modellen

• Toelaatbare oplossing: Elke combinatie van variabelewaarden die voldoet aan alle beperkingen van het model. Het verzameling van alle toelaatbare oplossingen vormt het toelaatbaar gebied (TG). Er kunnen oneindig veel zulke oplossingen zijn.
• Optimale oplossing: Een toelaatbare oplossing waarbij de doelfunctie haar extremale (maximale of minimale) waarde bereikt. De optimale oplossing (indien deze bestaat) bevindt zich altijd in het TG.
  • In sommige gevallen kan er geen optimale oplossing bestaan (bijvoorbeeld als het TG leeg is of de doelfunctie onbegrensd is op het TG).
  • Een oplossing wordt optimaal genoemd wanneer zij op basis van het gegeven optimalisatiecriterium de voorkeur verdient boven alle andere.
  • Optimaliteit is altijd relatief ten opzichte van het criterium ("optimaal naar...").

Classificatie van modellen van operationeel onderzoek

OO-modellen kunnen worden geclassificeerd aan de hand van verschillende kenmerken, in het bijzonder het toegepaste wiskundige formalisme en het type vraagstuk:

Naar wiskundige structuur

• Modellen van lineaire programmering (LP): De doelfunctie en alle beperkingen zijn lineaire functies van de variabelen.
• Modellen van geheel-getallige LP: Een deel of alle variabelen moeten gehele waarden aannemen.

• Modellen van niet-lineaire programmering (NLP): De doelfunctie en/of de beperkingen zijn niet-lineaire functies.
• Modellen van convexe programmering: Een bijzonder geval van NLP, waarbij de doelfunctie wordt geminimaliseerd (of een concave functie wordt gemaximaliseerd) en het TG een convexe verzameling is.

• Modellen van dynamische programmering (DP): Worden gebruikt voor vraagstukken waarbij de beslissing stapsgewijs in de tijd wordt genomen en het optimaliteitscriterium wordt uitgedrukt via recurrente betrekkingen.
• Heuristische modellen: Worden toegepast wanneer het vinden van het exacte optimum onmogelijk is vanwege de grote rekenkundige complexiteit. Heuristische methoden worden gebruikt om een "voldoende goede" oplossing te vinden.

Naar typische OO-vraagstukken

• Vraagstukken van netwerkplanning en -beheer: Optimalisatie van de doorlooptijd en kosten van de uitvoering van complexen van werkzaamheden (bijvoorbeeld de methode van het kritieke pad).
• Vraagstukken van massabediening (wachtrijtheorie): Analyse en optimalisatie van systemen met wachtrijen (bepaling van het aantal bedieningskanalen, bedieningstijd).
• Voorraadbeheervraagstukken: Bepaling van optimale voorraadniveaus en bestelgroottes ter minimalisatie van kosten bij het voldoen aan de vraag.
• Vraagstukken van middelenverdeling: Optimale toewijzing van beperkte middelen aan concurrerende operaties of activiteiten.
• Vraagstukken van onderhoud en vervanging van apparatuur: Bepaling van optimale momenten voor onderhoud of vervanging van apparatuur, rekening houdend met slijtage en veroudering.
• Modellen van de speltheorie: Analyse van conflictsituaties met meerdere partijen die verschillende doelstellingen nastreven, en het vinden van optimale strategieën.

Literatuur

• Wentzel, E.S. Operationeel onderzoek: vraagstukken, principes, methodologie. — Moskou: Nauka, 1988.
• Ackoff, R., Sasieni, M. Grondslagen van operationeel onderzoek. — Moskou: Mir, 1971.
• Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (10th ed., 2017)

Zie ook

• Operationeel onderzoek
• Wiskundig model
• Optimalisatie
• Doelfunctie
• Beperkingen
• Toelaatbare oplossing
• Optimale oplossing
• Lineaire programmering
• Dynamische programmering
• Wachtrijtheorie
• Speltheorie
• Simulatiemodellering
• Systeemanalyse