Modellazione matematica

La modellazione matematica è un metodo di ricerca in cui un oggetto reale, un processo o un fenomeno viene sostituito dal suo modello matematico, che consente di analizzare il comportamento del sistema mediante metodi matematici.

Essenza della modellazione matematica

La modellazione matematica comprende:

• la formalizzazione delle caratteristiche essenziali dell'oggetto studiato;
• la costruzione di un modello matematico che esprime le relazioni tra i parametri;
• lo studio del modello con metodi analitici, numerici o simulativi;
• l'interpretazione dei risultati in relazione al sistema reale.

Il modello è sempre una semplificazione della realtà, riflettendo intenzionalmente solo quegli aspetti che sono importanti per gli obiettivi prefissati della ricerca o della progettazione.

Obiettivi della modellazione matematica

I modelli matematici vengono sviluppati per:

• descrivere la struttura, le proprietà e il funzionamento dei sistemi;
• spiegare i fenomeni osservati attraverso l'individuazione di regolarità;
• prevedere il comportamento futuro dei sistemi sotto determinate sollecitazioni;
• ottimizzare i processi e i sistemi di controllo;
• condurre esperimenti virtuali, inaccessibili o indesiderabili nella realtà.

Classificazione dei modelli matematici

• Per modalità di descrizione: Deterministici e stocastici (probabilistici).
• Per natura del tempo: Statici e dinamici.
• Per natura delle variabili: Discreti e continui.
• Per grado di dettaglio: Macroscopici, microscopici, mesoscopici.
• Per apparato utilizzato: Analitici, numerici, simulativi.
• Per finalità: Descrittivi, predittivi, di ottimizzazione, simulativi.
• Per struttura: Lineari e non lineari.
• Per approccio alla costruzione: Fenomenologici (empirici) e meccanicistici (teorici).

Fasi della modellazione matematica

In linea generale, le fasi della modellazione matematica sono le seguenti:

1. Definizione del problema:
   • Determinazione dell'obiettivo della modellazione (cosa vogliamo scoprire o fare?).
   • Descrizione dell'oggetto o del processo e dei suoi confini.
   • Identificazione dei fattori e delle caratteristiche chiave da considerare.
2. Costruzione (o scelta) del modello:
   • Formalizzazione: Traduzione della descrizione dell'oggetto e delle relazioni nel linguaggio della matematica (equazioni, funzioni, regole logiche, algoritmi, ecc.).
   • Introduzione di ipotesi e semplificazioni per isolare l'essenziale.
   • Definizione dei parametri del modello e delle loro relazioni.
3. Studio del modello:
   • Risoluzione del problema matematico (analiticamente, numericamente, simulativamente).
   • Conduzione di esperimenti computazionali per studiare il comportamento del modello in diverse condizioni.
4. Verifica dell'adeguatezza (validazione) del modello:
   • Confronto dei risultati della modellazione con dati reali (sperimentali, osservati) o fatti noti.
   • Valutazione di quanto bene il modello riflette la realtà per l'obiettivo prefissato.
5. Interpretazione e applicazione dei risultati:
   • Analisi dei dati di modellazione ottenuti.
   • Traduzione dei risultati nel linguaggio del problema originale.
   • Formulazione di conclusioni, previsioni, elaborazione di raccomandazioni o adozione di decisioni basate sul modello.

Questo processo è spesso iterativo. Risultati insoddisfacenti della validazione o dell'interpretazione possono richiedere il ritorno alle fasi precedenti (ridefinizione del problema, modifica delle ipotesi, revisione del modello).

Approccio fondamentale

L'approccio fondamentale, basato sulle opere di Clive Dym (Principles of Mathematical Modeling), propone di considerare la modellazione come una sequenza di risposte a domande chiave:

• Why? (Perché?): Qual è la necessità del modello? È necessario definire chiaramente l'obiettivo della modellazione e il problema che il modello deve contribuire a risolvere.
• Find? (Trovare?): Cosa vogliamo scoprire? Quali specifici dati di output, caratteristiche o informazioni deve fornire il modello per raggiungere l'obiettivo?
• Given? (Dato?): Cosa sappiamo già? Quali informazioni, dati (sperimentali, statistici), conoscenze del sistema e risorse disponibili sono già in nostro possesso?
• Assume? (Ipotesi?): Quali ipotesi facciamo? Definizione delle semplificazioni, idealizzazioni, ipotesi sul comportamento del sistema e dei limiti di applicabilità del modello. Questo passaggio è fondamentale, poiché determina l'adeguatezza del modello.
• How? (Come?): Come funziona il sistema? Identificazione delle leggi principali (fisiche, chimiche, biologiche, economiche, ecc.), dei meccanismi e delle interrelazioni che governano il comportamento dell'oggetto della modellazione.
• Predict? (Previsione?): Cosa predirà il modello? Formulazione delle equazioni matematiche, disuguaglianze, regole logiche o algoritmi che costituiscono il nucleo del modello e definizione dei calcoli che verranno eseguiti.
• Valid? (Validità?): Quanto le previsioni del modello corrispondono alla realtà? Confronto dei risultati della modellazione con dati reali o fatti noti per verificare l'adeguatezza del modello agli obiettivi prefissati.
• Verified? (Utilità/Verifica?): Il modello è utile per raggiungere l'obiettivo originale (Why?)? I risultati ottenuti e la precisione del modello soddisfano la necessità originale? (In questa fase può anche essere condotta la verifica — controllo della correttezza dei passaggi matematici e dell'implementazione software).
• Improve? (Miglioramento?): Il modello può e deve essere migliorato? Identificazione dei parametri che richiedono affinamento, delle ipotesi che possono essere allentate, o degli aspetti non considerati che devono essere aggiunti per una maggiore precisione o ampiezza di applicazione.
• Use? (Utilizzo?): Come applicare i risultati? Interpretazione delle previsioni e delle conclusioni del modello per prendere decisioni, acquisire nuove conoscenze, effettuare previsioni, ottimizzare o controllare il sistema.

Problema diretto e problema inverso della modellazione matematica

Tradizionalmente si distinguono due classi principali di problemi legati ai modelli matematici:

• Il problema diretto consiste nello studio del modello con struttura e parametri predefiniti e noti, al fine di ottenere informazioni sul comportamento dell'oggetto.
• Il problema inverso consiste nella scelta di un modello specifico o nella determinazione dei suoi parametri sulla base dei dati sperimentali o empirici disponibili.

Problema diretto

L'obiettivo del problema diretto è rispondere, sulla base delle proprietà note del sistema, alla domanda sulla sua reazione alle sollecitazioni esterne o determinarne le caratteristiche in diverse condizioni. Aspetti principali dell'obiettivo del problema diretto:

• Studio del comportamento dell'oggetto sulla base di un dato modello matematico con struttura e parametri noti.
• Ottenimento di caratteristiche quantitative o qualitative del sistema: ad esempio, determinazione delle tensioni, dei campi di temperatura, delle risposte dinamiche ai carichi, ecc.
• Previsione dello stato dell'oggetto sotto diverse sollecitazioni esterne (carichi, variazioni delle condizioni ambientali, azioni controllate).
• Analisi della stabilità e dell'affidabilità dei sistemi, determinazione dei loro regimi limite di funzionamento.
• Verifica delle ipotesi sul comportamento dell'oggetto, formulate sulla base del modello.
• Ottimizzazione dei processi di controllo mediante il calcolo delle risposte del modello alle azioni di controllo.
• Valutazione della sensibilità delle soluzioni alle variazioni delle condizioni iniziali e dei parametri del modello.

Problema inverso

L'obiettivo del problema inverso è determinare la struttura del modello o i suoi parametri sulla base dei dati disponibili sul comportamento del sistema reale.

Aspetti principali dell'obiettivo del problema inverso:

• Trovare i parametri sconosciuti del modello (ad esempio, coefficienti di elasticità, conduttività termica, resistenza, ecc.).
• Determinare la struttura nascosta dei processi sulla base dei dati di output osservati.
• Costruire o correggere il modello matematico in modo che il suo comportamento sia coerente con i dati sperimentali o empirici.
• Sviluppare metodi adeguati di elaborazione e interpretazione dei dati di osservazione e di esperimento.

Verifica e validazione

Dopo la costruzione di un modello matematico e l'ottenimento della sua implementazione software o algoritmica, un passaggio fondamentale è la valutazione della sua correttezza e applicabilità. A tale scopo vengono utilizzati due processi correlati ma distinti: verifica e validazione.

• Verifica (Verification):
  • Domanda: Stiamo implementando (costruendo) il modello correttamente?
  • Significato: Controllo che l'implementazione software o l'algoritmo computazionale del modello corrisponda esattamente alla sua formulazione matematica e alla descrizione concettuale. In altre parole, la verifica accerta che le equazioni vengano risolte correttamente e che l'algoritmo funzioni senza errori secondo la logica incorporata.
  • Metodi: Analisi e revisione del codice, test su soluzioni analitiche note (se esistenti), confronto con i risultati di altri programmi collaudati, verifica della stabilità numerica e della convergenza degli algoritmi.
• Validazione (Validation):
  • Domanda: Abbiamo costruito il modello giusto?
  • Significato: Determinazione del grado di corrispondenza del modello all'oggetto reale, al processo o al fenomeno che esso è destinato a descrivere, in relazione agli obiettivi della modellazione. La validazione risponde alla domanda di quanto bene il modello rifletta gli aspetti della realtà che ci interessano.
  • Metodi: Confronto dei risultati della modellazione con dati sperimentali, dati di osservazione del sistema reale, dati statistici, fatti noti o risultati di altri modelli già consolidati. Valutazione della sensibilità del modello alla variazione dei parametri.

Differenza fondamentale:

• La verifica confronta l'implementazione del modello con la sua specifica (descrizione matematica).
• La validazione confronta il modello (nel suo insieme) con la realtà.

Si può avere un modello matematicamente corretto ma inadeguato al processo reale (verificato, ma non validato), oppure un modello concepito come adeguato ma implementato con errori (non verificato).

I processi di verifica e validazione sono parte integrante del processo di modellazione matematica. Garantiscono la fiducia nei risultati della modellazione e permettono di valutare i limiti di applicabilità del modello. Senza di essi, l'utilizzo del modello per la previsione, l'ottimizzazione o la presa di decisioni può risultare scorretto.

Limitazioni e ipotesi

Qualsiasi modello matematico è un'astrazione — una semplificazione mirata della realtà studiata. Si basa su una serie di ipotesi e, come qualsiasi mappa, non è il territorio stesso, ma solo la sua descrizione per scopi specifici. Ciò impone le seguenti limitazioni:

1. Incompletezza: Il modello tiene conto solo dei fattori e delle relazioni essenziali (dal punto di vista dell'obiettivo della ricerca e delle ipotesi adottate), ignorando deliberatamente altri dettagli per semplificare l'analisi.
2. Dipendenza dalle ipotesi: La correttezza, la precisione e il campo di applicabilità del modello dipendono direttamente dalla validità delle ipotesi adottate. Ipotesi errate o violate portano a risultati imprecisi o errati.
3. Campo di applicabilità limitato: Il modello descrive adeguatamente la realtà solo in determinate condizioni (corrispondenti alle ipotesi) e per la risoluzione di uno specifico insieme di problemi per i quali è stato creato e testato. L'estrapolazione al di fuori di questi limiti non è corretta.
4. Errore: A causa delle semplificazioni, i risultati della modellazione presentano sempre un certo errore rispetto al comportamento reale dell'oggetto.
5. Necessità di validazione: Poiché il modello è una semplificazione, la sua adeguatezza richiede sempre una verifica (validazione) basata su dati reali (sperimentali o osservati).
6. Sensibilità: I risultati della modellazione possono essere sensibili alle variazioni dei dati di input, dei parametri del modello e delle ipotesi adottate, il che spesso richiede l'esecuzione di un'analisi di sensibilità.

Esempi di applicazione

• In fisica: modellazione della conduzione del calore, dell'idrodinamica, dei processi elettromagnetici.
• In ingegneria: calcolo della resistenza delle strutture, ottimizzazione dei processi tecnologici.
• In biologia: modellazione della dinamica delle popolazioni e della diffusione delle malattie.
• In economia: costruzione di modelli macroeconomici e di modelli di controllo ottimale.
• In sociologia: modellazione dei processi migratori e della dinamica sociale.

Relazione con altri concetti

• Modello matematico
• Modello di sistema
• Processo di modellazione
• Formalizzazione dei modelli di sistema
• Modellazione
• Ricerca operativa

Bibliografia

• Introduzione alla modellazione matematica / A cura di P.V. Trusov. — Mosca: Universitetskaya kniga, Logos, 2007.
• Modellazione matematica. Idee. Metodi. Esempi. Moiseev N.N. — Mosca: Nauka, 1981.
• Modellazione matematica. Galanin M.P., Galanina E.M., Sergeev A.V., Shalaeva A.K. — Mosca: LKI, 2022.
• Principles of Mathematical Modeling. Dym, C.L. (2004)